ЕГЭ 2022. Вариант 21 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Представим число $$0,5=\frac{1}{2}=2^{-1},$$ а число $$64=2^6,$$ получаем такое уравнение:

$$2^{-1(4-5x)}=2^6,$$

и, так как основания у степеней равны, то можно перейти к их равенству:

$$-(4-5x)=6$$

$$5x=6+4$$

$$x=2$$

m  — число благоприятствующих этому событию исходов, то есть число исходов, когда купленная сумка окажется без дефектов. Это число равно количеству сумок без дефектов:

$$m=120–2=118$$

n – общее число всевозможных исходов, оно равно общему количеству сумок:

$$n=120$$

$$Р(А)=\frac{m}{n}=\frac{118}{120}=0,9833….$$

Результат округляем до сотых:

$$Р(А)=0,98$$

Радиус окружности будет равен половине стороны AD, т.к. AD по длине совпадает с диаметром окружности. Найдем сторону AD. Воспользуемся свойством четырехугольника вписанного в окружность. Для длин его сторон можно записать такое равенство:

$$AD+CB=DC+AB$$  (1)

Далее, по условию задания нам дана длина стороны CB=37 и периметр трапеции:

$$AD+CB+DC+AB=100$$

Из условия (1) следует, что

$$AD+CB=\frac{100}{2}=50$$

откуда

$$AD=50-CB=50-37=13$$

и радиус окружности:

$$R=\frac{AD}{2}=\frac{13}{2}=6,5$$

Вычислим выражение, используя правило

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$

получим:

$$(\sqrt{3}-\sqrt{13})(\sqrt{3}+\sqrt{13})-(\sqrt{3})^2-(\sqrt{13})^2=3-13=-10$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Известно, что если производная $$f’(x)$$ принимает отрицательные значения, то в этих точках функция $$f(x)$$ убывает. Из рисунка видно, что на интервале $$[-2; 2]$$ производная всюду принимает отрицательные значения, следовательно, на этом интервале функция $$f(x)$$ убывает и наименьшее значение будет достигнуто на правой границе интервала со значением $$2.$$

По условию задания нам даны параметры:

$$\beta=6^{\circ}/мин; \omega=60^{\circ}/мин; \varphi=3375^{\circ}$$

Подставляем их в формулу изменения угла:

$$3375=60t+\frac{6}{2}t^2$$

Решаем квадратное уравнение:

$$3t^2+60t-3375=0$$

$$t^2+20t-1125=0$$

$$D=b^2-4ac=400+4\cdot1125=4900=70^2$$

$$t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-20+70}{2}=25$$

$$t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-20-70}{2}=-45$$

Так как время наматывания не должно быть отрицательным, подходит только один корень $$t=25$$ минут.

Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая будет наполнять этот же резервуар за $$x+54$$ минуты. Условно примем объем резервуара за 1. Тогда первая труба будет наполнять его со скоростью $$\frac{1}{x+54},$$ а вторая со скоростью $$\frac{1}{x}.$$ И так как обе трубы заполняют этот резервуар за 36 минут, то можно записать уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+54}=\frac{1}{36}$$

Преобразуем это выражение:

$$\frac{x+54+x}{x\cdot(x+54)}=\frac{1}{36}$$

$$36\cdot(2x+54)=x^2+54x$$

$$62x+1944=x^2+54x$$

$$x^2-18x-1944=0$$

$$D=324+776=8100=90^2$$

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{18+90}{2}=54$$

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}<0$$

то есть вторая труба будет наполнять этот резервуар 54 минуты.

Для того чтобы найти $$f(-18)$$ нам необходимо знать уравнение прямой, то есть значение коэффициентов k и b.

Прямая проходит через точки $$(3;-1)$$ и $$(-4;-3).$$ Подставим их координаты в уравнение прямой:

$$-1=3k+b$$ (1)

$$-3=-4k+b$$ (2)

Вычтем из (1) уравнения (2):

$$-1-(-3)=3k+b-(-4k+b)$$

Раскроем скобки:

$$-1+3=3k+b+4k- b$$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$$2=7k$$

Найдем k:

$$k=\frac{2}{7}$$

Найдем b из (1), подставив в него значение коэффициента $$k = \frac{2}{7}:$$

$$-1=3\cdot\frac{2}{7}+b$$

$$-1=\frac{6}{7}+b$$

$$b=-1-\frac{6}{7}$$

$$b=-\frac{13}{7}$$

Получим следующее уравнение прямой:

$$f(x)=\frac{2}{7}\cdot x-\frac{13}{7}$$

Найдем $$f(-18):$$

$$f(-18)=\frac{2}{7}\cdot(-18)-\frac{13}{7}$$

$$f(-18)=-\frac{36}{7}-\frac{13}{7}$$

$$f(-18)=-\frac{49}{7}$$

$$f(-18)=-7$$

Первые два фломастера, которые мы вытащим должны быть красные

​$$P_{иск}=\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=0,2​$$

Функция будет иметь точку минимума в своей точке экстремума. Найдем эти точки. Вычислим производную функции и приравняем ее нулю, получим:

$$y'=2x-28+96\cdot\frac{1}{x}=0, x\neq0$$

Вычисляем точки экстремума функции:

$$2x^2-28x+96=0$$

$$x^2-14+48=0$$

$$D=196-192=4=2^2$$

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{14+2}{2}=8$$

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{14-2}{2}=6$$

Известно, что в точке минимума производная функции меняет свой знак с минуса на плюс. Определим знаки производной в окрестностях наших точек экстремума:

Получаем точку минимума функции $$x=8.$$

а) $$\cos 2x-\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}+x)+1=0$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x+1=0$$

$$1-\sin^2 x-\sin^ 2+\sqrt{2}\sin x+1=0$$

$$-2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin x+2=0$$

Введём замену: $$\sin x=t$$

$$-2t^2+\sqrt{2}t+2=0$$

$$D=(\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot(-2)=2+16=18$$

$$t_{1}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{18}}{-4}=\frac{-\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{-4}=\frac{2\sqrt{2}}{-4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$t_{2}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{18}}{-4}=\frac{-\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{-4}=\frac{-4\sqrt{2}}{-4}=\sqrt{2}$$

Обратная замена:

$$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$$

$$x=-\frac{3\pi}{4}+2pi n, n\in Z$$

и

$$\sin x=\sqrt{2}$$

корней нет, т. к. $$\sin x\in [-1;1]$$

б) Отбор корней на отрезке $$[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$$

$$x_1=-5\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{19\pi}{4}$$

$$x_2=-4\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{17\pi}{4}$$

а) Пусть плоскость α пересекает ребро SB в точке L. Поскольку прямая ВС параллельна плоскости α, прямые LM и ВС параллельны, а значит,

$$\frac{SL}{LB}=\frac{SM}{MC}=\frac{AK}{KB}$$

Следовательно, прямые KL и SA параллельны. Таким образом, плоскость α, содержащая прямую KL, параллельна прямой SA.

б) Пусть точка Н — середина ребра ВС. Тогда медианы АН и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой ВС. Следовательно, плоскость ASH перпендикулярна плоскости α, параллельной прямой ВС, и плоскости SBC, содержащей прямую ВС.

Поскольку плоскость α параллельна прямой SA, лежащей в плоскости ASH, искомый угол равен углу между прямой SA и плоскостью SBC. Таким образом, угол между плоскостями α и SBC равен углу ASH. В треугольнике ASH имеем:

$$AS=7, АН=3\sqrt{3}$$

$$SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\sqrt{SB^2-\frac{BC^2}{4}}=2\sqrt{10}.$$

По теореме косинусов

$$\cos\angle ASH=\frac{SA^2+SH^2-AH^2}{2SA\cdot SH}$$

$$\cos\angle ASH=\frac{49+40-27}{2\cdot7\cdot2\sqrt{10}}=\frac{31\sqrt{10}}{140}$$

и угол ASH, равен:

$$\angle ASH=\arccos\frac{31\sqrt{10}}{140}$$

ОДЗ неравенства:

$$\Rightarrow x\in (-3;2)$$

Преобразуем неравенство:

$$\log_{0,5}(12-6x)\geq\log_{0,5}(x^2-6x+8)+\log_{0,5}(x+3)$$

$$\log_{0,5} 6(2-x)\geq\log_{0,5}((x-4)(x-2))+\log_{0,5}(x+3)$$

$$\log_{0,5} 6(2-x)\geq\log_{0,5}((4-x)(2-x))+\log_{0,5}(x+3)$$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

$$\log_{0,5}6+\log_{0,5}(2-x)\geq\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(2-x)+\log_{0,5}(x+3)$$

$$\log_{0,5} 6\geq\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(x+3)$$

Сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений:

$$\log_{0,5} 6\geq\log_{0,5} ((4-x)(x+3))$$

Так как основание логарифмического неравенства 0 < 0,5 < 1, то логарифмическое неравенство равносильно неравенству:

$$6\leq(4-x)(x+3)$$

$$6\leq4x+12-x^2-3x$$

$$6-4x-12+x^2+3x\leq0$$

$$x^2-x-6\leq0$$

Решим неравенство методом интервалов, найдем нули квадратного трехчлена:

$$x^2-x-6=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm5}{2}$$

$$x_1=-2; x_2=3$$

$$x\in (-2;3)$$

Учитывая ОДЗ неравенства, найдем его решение:

$$x\in [-2;2)$$

Пусть сумма кредита равна S, а кредит планируется взять на n месяцев. По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:

$$S;\frac{S(n-1)}{n};\cdots;\frac{2S}{n};\frac{S}{n};0$$

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 1%, значит, последовательность размеров долга на 1-е число каждого месяца такова:

$$1,01S;\frac{1,01S(n-1)}{n};\cdots;\frac{2,02S}{n};\frac{1,01S}{n}$$

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

$$0,01S+\frac{S}{n};\frac{0,01S(n-1)}{n};\cdots;\frac{0,02S}{n}+\frac{S}{n};\frac{0,01S}{n}+\frac{S}{n}$$

Всего следует выплатить

$$S+0,01S(\frac{n}{n}+\frac{n-1}{n}+\cdots+\frac{2}{n}+\frac{1}{n})=S(1+\frac{0,01(n+1)}{2})$$

Общая сумма выплат на 20 % больше суммы, взятой в кредит, поэтому

$$\frac{0,01(n+1)}{2}=0,2\Rightarrow n=39$$

а) Поскольку точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности, лучи АО и ВО являются биссектрисами углов треугольника ABC. Угол РОА является внешним углом треугольника АОВ. Следовательно,

$$\angle POA=\angle BAO+\angle ABO=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC$$

Углы РАС и РВС равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому

$$\angle PAO=\angle PAC+\angle OAC=\angle PBC+\angle OAC=\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle BAC$$

Таким образом, $$\angle POA=\angle PAO$$.

б) Пусть R = 6 — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Поскольку $$\angle POA=\angle PAO,$$ треугольник АРО равнобедренный, следовательно,.

$$OP=AP=2R\sin\angle ABP=2R\sin 30^{\circ}=6$$

Таким образом, площадь треугольника АРО равна

$$\frac{AP\cdot OP\cdot\sin\angle APO}{2}=\frac{AP^2\cdot\sin\angle ACB}{2}=\frac{AP^2\cdot\sin 45^{\circ}}{2}=9\sqrt{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!