Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 26. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Призёрами городской олимпиады по математике стали 20 учеников, что составило 10% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Ответ: 200
Скрыть Для определения исходного числа участников, нужно 20 разделить на коэффициент $$\frac{1}{10}=0,1$$, получим: $$\frac{20}{0,1}=200$$ участников.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2016 год. Среди представленных стран первое место по выплавке алюминия занимала Россия, десятое место занимал Катар. Какое место занимала Норвегия?
Ответ: 6
Скрыть Россия занимает 1-е место и ее столбец самый высокий, значит, чем выше столбец, тем более призовое место занимает страна. Из рисунка видно, что высота столбца Норвегии 6-е по высоте (отсчитывая с самого высокого), следовательно, она занимает 6-е место.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.
Ответ: 6
Скрыть Проведем DC, тогда треугольник $$\triangle BCD$$ - равнобедренный треугольник с основанием DС. Высота, проведенная из вершины В равнобедренного треугольника $$\triangle BCD$$, является биссектрисой этого треугольника. Следовательно, ВК - биссектриса угла В и ВК - биссектриса треугольника $$\triangle АВС$$. Получим ВК = 6.
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

Ответ: 0,2
Скрыть Допустим, первая девочка уже села на какое-то место. Вероятность этого события 1. Осталось $$11-1=10$$ мест. Чтобы вторая девочка оказалась рядом с первой, она может сесть либо слева, либо справа от нее. Получаем число благоприятных исходов $$m=2$$. Учитывая, что всех возможных исходов $$n=10$$, получаем значение искомой вероятности: $$P=\frac{m}{n}=\frac{2}{10}=0,2$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $${\left(x-4\right)}^3=729$$
Ответ: 13
Скрыть Число $$729=9^3$$, получаем уравнение вида $${\left(x-4\right)}^3=9^3\to x-4=9\to x=13$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 72$${}^\circ$$, угол CAD равен 58$${}^\circ$$. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 130
Скрыть

$$\angle ABC=72{}^\circ $$ - вписанный в окружность угол.

Вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга $$AD=144{}^\circ $$. Угол $$\angle CAD=58{}^\circ $$ - вписанный в окружность угол, следовательно, дуга $$CD=116{}^\circ $$. Дуга $$AC=AD+DC=144{}^\circ +116{}^\circ =260{}^\circ $$.

Угол $$\angle ABC$$ - вписанный в окружность угол, который опирается на дугу АС, следовательно, $$\angle ABC=130{}^\circ $$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки -2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: 1
Скрыть

Значение производной положительно в некоторой точке $$x$$, если в окрестности этой точки функция возрастает. Наоборот, если в окрестности точки $$x$$ функция убывает, то производная в ней отрицательна. Причем значение производной тем больше, чем сильнее изменение функции в окрестности точки $$x$$.

Выберем точку на графике, в которой функция возрастает наибольшим образом. Это точка 1.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 7. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 1372
Скрыть $$V=abc$$, где $$a=b=7\cdot 2=14$$, $$c=7\to $$ $$V={14}^2\cdot 7=1372$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$2\sqrt{3}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{17\pi }{12}\ }-2\sqrt{3}{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{17\pi }{12}\ }$$

Ответ: -3
Скрыть Так как $${\cos 2\alpha \ }={{\rm cos}}^{{\rm 2}}\alpha -{{\rm sin}}^{{\rm 2}}\alpha $$, то исходное выражение можно записать в виде: $$2\sqrt{3}{\cos (2\cdot \frac{17\pi }{12})\ }=2\sqrt{3}{\cos \frac{17\pi }{6}\ }=2\sqrt{3}{\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)\ }=-2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-3$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $$m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$, где $$m_0$$ - начальная масса изотопа, t - время, прошедшее от начального момента, Т - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 52 мг. Период его полураспада составляет 9 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 13 мг.

Ответ: 18
Скрыть Чтобы определить время, через которое масса $$m\left(t\right)=13$$ мг, подставим в закон изменения массы изотопа от времени все числовые значения и выразим (найдем) время $$t$$, получим: $$13=52\cdot 2^{-\frac{t}{9}}\to \frac{1}{4}=2^{-\frac{t}{9}}=2^{-2}\to \frac{t}{9}=2\to t=18$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 1
Скрыть

Обозначим через $$x$$ км/ч скорость течения. Тогда при движении ложки против течения, ее скорость была равна $$12-x$$ км/ч и на преодоления 143 км было потрачено $$\frac{143}{12-x}$$ часов. При обратном движении лодка шла по течению, то есть ее скорость была равна $$12+x$$ км/ч и на преодоления 143 км было затрачено $$\frac{143}{12+x}$$ часов. Известно, что на обратный путь было потрачено на 2 часа меньше. Имеем уравнение: $$\frac{143}{12-x}-\frac{143}{12+x}=2$$, откуда $$143\left(12+x\right)-143\left(12-x\right)=2(12-x)(12+x)\to $$ $$\to 2x^2+286x-288=0\to D=84100\to x_1=\frac{-286+290}{4}=1;\ x_2<0$$.

Получаем один положительный корень x=1 км/ч.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку минимума функции $$y=\left(2x^2-26x+26\right)e^{x-17}$$

Ответ: 11
Скрыть

Вычислим производную функции: $$y'=\left(4x-26\right)e^{x-17}+\left(2x^2-26x+26\right)e^{x-17}\to y'=e^{x-17}(2x^2-22x)$$

Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума: $$e^{x-17}\left(2x^2-22x\right)=0$$, так как $$e^{x-17}>0$$, то $$2x^2-22x=0\to x-11x=0\to \left[ \begin{array}{c} x_1=0 \\ x_2=11 \end{array} \right.$$

Найдем точку минимума функции. В окрестности этой точки производная должна менять свой знак с «-» на «+». Анализ показывает, что это точка $$x=11$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\cos x\ }-1=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$$-5\pi ;\ -4\pi $$]

Ответ: а) $$x=2\pi n,\ n\in Z$$; $$x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,\ l\in Z$$ б)$$-4\pi ;\ -\frac{14\pi }{3}$$
Скрыть

а) Упростим выражение, имеем: $$2{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\cos x\ }-1=0\to 2\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+{\cos x\ }-1=0\to 2{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos x\ }-1=0$$

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,\ t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$2t^2-t-1=0\to \left[ \begin{array}{c} t_1=1 \\ t_2=-\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Имеем два уравнения: $$1: {\cos x\ }=1\to x=2\pi n,\ n\in Z$$ $$2: {\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,\ l\in Z$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке [$$-5\pi ;\ -4\pi $$]. Получим числа: $$-4\pi ;\ -\frac{14\pi }{3}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $${\rm АВ\ =\ ВС\ =\ АС\ =}10$$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём $${\rm DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 3:2}$$. Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$3\sqrt{59}$$
Скрыть

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 10$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Рассмотрим $$\triangle ADC$$. $$AD=DC$$ как ребра правильной пирамиды, значит $$\triangle ADC$$ - равнобедренный. $$DM:MA=DN:NC=3:2$$, значит $$\triangle DMN$$ подобен $$\triangle ADC$$.

$$DN:MN=DC:AC\to \frac{3}{MN}=\frac{5}{10}\to MN=6$$; $$AC^2=2DC^2\to DC=\sqrt{\frac{AC^2}{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$, тогда $$DN=\frac{5\sqrt{2}}{5}\cdot 3=3\sqrt{2}$$. $$BC=DC\to BN=\sqrt{(BD^2+DN^2)}=2\sqrt{17}$$

Опустим высоту ВН на основание MN: $$BH=\sqrt{(BN^2+HN^2)}=\sqrt{(4\cdot 17-3^2)}=\sqrt{59}$$. Тогда $$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{59}=3\sqrt{59}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$1+\frac{13}{{{\log }_3 x\ }-4}+\frac{42}{{{\log }^2_3 x\ }-{{\log }_3 \left(\frac{x^8}{81}\right)\ }+12}\ge 0$$

Ответ: $$x\in \left(0;\frac{1}{27}\right]\cup [\frac{1}{9};81)\cup (81;+\infty )$$
Скрыть

ОДЗ: $$x>0$$.

Преобразуем неравенство, учитывая, что $${{\log }_3 \left(\frac{x^8}{81}\right)\ }={{\log }_3 x^8\ }-{{\log }_3 81\ }=8{{\log }_3 \left|x\right|\ }-4=8{{\log }_3 x\ }-4$$ и $${{\log }^2_3 x\ }-{{\log }_3 \left(\frac{x^8}{81}\right)\ }+12={{\log }^2_3 x\ }-8{{\log }_3 x\ }+16={\left({{\log }_3 x\ }-4\right)}^2$$ получим: $$1+\frac{13}{{{\log }_3 x\ }-4}+\frac{42}{{\left({{\log }_3 x\ }-4\right)}^2}\ge 0$$.

Пусть $${{\log }_3 x\ }-4=t$$, имеем: $$1+\frac{13}{t}+\frac{42}{t^2}\ge 0\to \frac{t^2-13t+42}{t^2}\ge 0\to \frac{(t+6)(t+7)}{t^2}\ge 0$$

Имеем следующие точки, делящие числовую ось: $$t=-6;t=-7;t\ne 0$$

Рассмотрим два случая: $$1: t\le -7\to {{\log }_3 x\ }-4\le -7\to {{\log }_3 x\ }\le -3\to x\le \frac{1}{27}$$

$$2: \left\{ \begin{array}{c} t\ge -6 \\ t\ne 0 \end{array} \to \left\{ \begin{array}{c} {{\log }_3 x\ }-4\ge -6 \\ {{\log }_3 x\ }-4\ne 0 \end{array} \right.\right.\to \left\{ \begin{array}{c} x\ge \frac{1}{9} \\ x\ne 81 \end{array} \right.$$ $$x\in \left(0;\frac{1}{27}\right]\cup [\frac{1}{9};81)\cup (81;+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,\ A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $$AB_1C_1$$.

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла$$\ AC_1B_1$$

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1$$ если известно что ВС = 7, АВ = 15, АС = 20.

Ответ: 2
Скрыть

а) В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Стороны AB и AC - касательные к окружности и по теореме об отрезках касательных $$AC_1=AB_1$$ и, следовательно, треугольник$$\ AC_1B_1$$ - равнобедренный. AQ - биссектриса угла A по условию и в равнобедренном треугольнике $$AC_1B_1$$ биссектриса $$AA_2$$ (продолжение AQ) является медианой и высотой. Следовательно, $$QA_2$$ в треугольнике $$C_1QB_1$$ является также медианой и высотой, а сам треугольник $$C_1QB_1$$ - равнобедренный, так как $$\angle 1=\angle 2$$.

По теореме об угле между касательной $$AC_1$$ и хордой $$C_1B_1$$, имеем: $$\angle AC_1B_1=2\cdot \angle 1=2\cdot \angle 2$$, следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Рассмотрим треугольник $$AC_1B_1$$. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов, поэтому для $$AC_1B_1$$ центр вписанной окружности соответствует точке Q.

Найдем расстояние от точки O до точки Q, равный радиусу r вписанной окружности в треугольник ABC. Используя формулу площади треугольника ABC, можно записать $$S_{ABC}=p\cdot r$$, где p - полупериметр треугольника ABC. То есть, радиус r, равен: $$r=S_{ABC}/p$$.

Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле Герона.

Делаем вычисления. Полупериметр треугольника ABC, равен: $$p=\frac{7+15+20}{2}=21$$, площадь треугольника ABC, равна: $$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot \left(21-7\right)\cdot \left(21-15\right)\cdot (21-20)}=42$$ и радиус вписанной окружности $$r=\frac{42}{21}=2$$, то есть $$OQ = r = 2$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 427 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 656250
Скрыть

Пусть $$S=427000$$ рублей, $$k=1,25$$ - процент, $$x$$ - ежегодный платеж по кредиту.

Тогда: $$k\left(k\left(Sk-x\right)-x\right)-x=0\to Sk^3-xk^2-xk-x=0\to $$ $$\to Sk^3=x(k^2+k+1)$$;

$$x=\frac{Sk^3}{k^2+k+1}=\frac{427000\cdot {1,25}^3}{{1,25}^2+1,25+1}=\frac{833984,375}{3,8125}=218750$$ рублей.

Банку будет выплачено за 3 года: $$218750\cdot 3={\rm 656250}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\left(9x-4\right){\ln \left(x+a\right)\ }=(9x-4){\ln \left(2x-a\right)\ }$$ имеет ровно один корень на отрезке $$\left[0;1\right]$$.
Ответ:
Скрыть

Найдем ограничения на переменную и на параметр $$\left\{ \begin{array}{c}x+a>0 \\ 2x-a>0\end{array}\to \left\{ \begin{array}{c}a>-x \\ a<2x \end{array}\right.\right.\to -x<a<2x$$; 
$$\left(9x-4\right){\ln \left(x+a\right)\ }-\left(9x-4\right){\ln \left(2x-a\right)\ }=0; \left(9x-4\right)\left({\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(2x-a\right)\ }\right)=0;$$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Перейдем к совокупности. $$\left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ {\ln \left(\frac{x+a}{2x-a}\right)=0\ } \end{array}\right.\to \left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ \frac{x+a}{2x-a}=1 \end{array}\right.$$.

С учетом ограничения, получим $$\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ a=\frac{1}{2}x\end{array}\right. \\ -x<a<2x \end{array}\right.\to \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x=\frac{4}{9} \\ a=\frac{1}{2}x \end{array}\right. \\ -x<a<2x \end{array}\right.$$ 

Решим систему координатно-параметрическим методом: 

Для вычисления параметра необходимо знать координаты точек. 

1) В точке $$N\ \left(\frac{4}{9};-\frac{4}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=-x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=-\frac{4}{9}$$ - нет решений.

2) На промежутке от N до B $$\to a\in (-\frac{4}{9};0)$$ - одно решение. 

3) В точке $$B\ \left(1;0\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=0 \\ x=1 \end{array}\right.\to a=0$$ - одно решение.

4) На промежутке от B до A $$\to a\in (0;\frac{2}{9})$$ - два решения.

5) В точке $$A\left(\frac{4}{9};\frac{2}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{1}{2}x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=\frac{2}{9}$$ - одно решение.

6) На промежутке от A до M $$\to a\in (\frac{2}{9};\frac{1}{2})$$ - два решения. 

7) В точке $$M\left(1;\frac{1}{2}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{1}{2}x \\ x=1 \end{array}\right.\to a=\frac{1}{2}$$ - два решения. 

8) На промежутке от M до L $$\to a\in (\frac{1}{2};\frac{8}{9})$$ - одно решение. 

9) В точке $$L\ \left(\frac{4}{9};\frac{8}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=2x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=\frac{8}{9}$$ - нет решений.

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 13 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 12 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий?

Ответ: а) да б) нет в) 1711
Скрыть

а) Пусть в первый день Маша сделала m фотографий, тогда за 13 дней она сделает $$m+\left(m+1\right)+\left(m+2\right)+\dots +\left(m+13\right)=13m+91$$

Аналогично Наташа, за первый день она сделала n фотографий, а за 13 дней $$13n+91.$$ фотографий.

Необходимо найти такие m и n, чтобы выполнялось условие: $$13n+91-13m-91={\rm 1131}\to n-m=\frac{{\rm 1131}}{13}=87$$. Очевидно, можно взять, например, числа $$n=88$$ и $$m=1$$.

б) Если фотографии делались в течение 12 дней, то получим условие: $$n-m=\frac{1131}{12}$$. Так как 1131 не делится нацело на 12, то подобрать целые значения n и m невозможно.

в) Допустим, что Маша и Наташа делали фотографии x дней. Тогда в последний день Маша должна была сделать $$m+x-1<35\to m+x<36$$. То есть число дней должно быть $$1<x<36$$. Кроме того из условия $$nx-mx=1131\to n-m=\frac{1131}{x}$$ число x должно являться делителем числа 1131. Отсюда получаем, что $$x=3,\ 13,\ 29.$$

Сначала вычислим максимальное число фотографий, сделанных Машей, получим:

- для $$x=3$$ имеем: $$m+3<36\to m=33$$. $$S=\frac{2\cdot m+x-1}{2}\cdot x\to S_3=102$$.

- для $$x=13$$ имеем: $$m=23,\ S_{13}=377$$. 

- для $$x=29$$ имеем: $$m=7,\ S_{29}=580$$.

Следовательно, максимальное число фотографий, сделанных Наташей, равно: $$580+1131=1711$$.