ЕГЭ 2020. Вариант 26. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Скрыть Для определения исходного числа участников, нужно 20 разделить на коэффициент $$\frac{1}{10}=0,1$$, получим: $$\frac{20}{0,1}=200$$ участников.

Скрыть Россия занимает 1-е место и ее столбец самый высокий, значит, чем выше столбец, тем более призовое место занимает страна. Из рисунка видно, что высота столбца Норвегии 6-е по высоте (отсчитывая с самого высокого), следовательно, она занимает 6-е место.

Скрыть Проведем DC, тогда треугольник $$\triangle BCD$$ - равнобедренный треугольник с основанием DС. Высота, проведенная из вершины В равнобедренного треугольника $$\triangle BCD$$, является биссектрисой этого треугольника. Следовательно, ВК - биссектриса угла В и ВК - биссектриса треугольника $$\triangle АВС$$. Получим ВК = 6.

Скрыть Допустим, первая девочка уже села на какое-то место. Вероятность этого события 1. Осталось $$11-1=10$$ мест. Чтобы вторая девочка оказалась рядом с первой, она может сесть либо слева, либо справа от нее. Получаем число благоприятных исходов $$m=2$$. Учитывая, что всех возможных исходов $$n=10$$, получаем значение искомой вероятности: $$P=\frac{m}{n}=\frac{2}{10}=0,2$$

Скрыть Число $$729=9^3$$, получаем уравнение вида $${\left(x-4\right)}^3=9^3\to x-4=9\to x=13$$

Скрыть

$$\angle ABC=72{}^\circ $$ - вписанный в окружность угол.

Вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга $$AD=144{}^\circ $$. Угол $$\angle CAD=58{}^\circ $$ - вписанный в окружность угол, следовательно, дуга $$CD=116{}^\circ $$. Дуга $$AC=AD+DC=144{}^\circ +116{}^\circ =260{}^\circ $$.

Угол $$\angle ABC$$ - вписанный в окружность угол, который опирается на дугу АС, следовательно, $$\angle ABC=130{}^\circ $$.

Скрыть

Значение производной положительно в некоторой точке $$x$$, если в окрестности этой точки функция возрастает. Наоборот, если в окрестности точки $$x$$ функция убывает, то производная в ней отрицательна. Причем значение производной тем больше, чем сильнее изменение функции в окрестности точки $$x$$.

Выберем точку на графике, в которой функция возрастает наибольшим образом. Это точка 1.

Скрыть $$V=abc$$, где $$a=b=7\cdot 2=14$$, $$c=7\to $$ $$V={14}^2\cdot 7=1372$$.

Скрыть Так как $${\cos 2\alpha \ }={{\rm cos}}^{{\rm 2}}\alpha -{{\rm sin}}^{{\rm 2}}\alpha $$, то исходное выражение можно записать в виде: $$2\sqrt{3}{\cos (2\cdot \frac{17\pi }{12})\ }=2\sqrt{3}{\cos \frac{17\pi }{6}\ }=2\sqrt{3}{\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)\ }=-2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-3$$.

Скрыть Чтобы определить время, через которое масса $$m\left(t\right)=13$$ мг, подставим в закон изменения массы изотопа от времени все числовые значения и выразим (найдем) время $$t$$, получим: $$13=52\cdot 2^{-\frac{t}{9}}\to \frac{1}{4}=2^{-\frac{t}{9}}=2^{-2}\to \frac{t}{9}=2\to t=18$$

Скрыть

Обозначим через $$x$$ км/ч скорость течения. Тогда при движении ложки против течения, ее скорость была равна $$12-x$$ км/ч и на преодоления 143 км было потрачено $$\frac{143}{12-x}$$ часов. При обратном движении лодка шла по течению, то есть ее скорость была равна $$12+x$$ км/ч и на преодоления 143 км было затрачено $$\frac{143}{12+x}$$ часов. Известно, что на обратный путь было потрачено на 2 часа меньше. Имеем уравнение: $$\frac{143}{12-x}-\frac{143}{12+x}=2$$, откуда $$143\left(12+x\right)-143\left(12-x\right)=2(12-x)(12+x)\to $$ $$\to 2x^2+286x-288=0\to D=84100\to x_1=\frac{-286+290}{4}=1;\ x_2<0$$.

Получаем один положительный корень x=1 км/ч.

Скрыть

Вычислим производную функции: $$y'=\left(4x-26\right)e^{x-17}+\left(2x^2-26x+26\right)e^{x-17}\to y'=e^{x-17}(2x^2-22x)$$

Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума: $$e^{x-17}\left(2x^2-22x\right)=0$$, так как $$e^{x-17}>0$$, то $$2x^2-22x=0\to x-11x=0\to \left[ \begin{array}{c} x_1=0 \\ x_2=11 \end{array} \right.$$

Найдем точку минимума функции. В окрестности этой точки производная должна менять свой знак с «-» на «+». Анализ показывает, что это точка $$x=11$$.

Скрыть

а) Упростим выражение, имеем: $$2{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\cos x\ }-1=0\to 2\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+{\cos x\ }-1=0\to 2{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos x\ }-1=0$$

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,\ t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$2t^2-t-1=0\to \left[ \begin{array}{c} t_1=1 \\ t_2=-\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Имеем два уравнения: $$1: {\cos x\ }=1\to x=2\pi n,\ n\in Z$$ $$2: {\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,\ l\in Z$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке [$$-5\pi ;\ -4\pi $$]. Получим числа: $$-4\pi ;\ -\frac{14\pi }{3}$$.

Скрыть

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 10$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Рассмотрим $$\triangle ADC$$. $$AD=DC$$ как ребра правильной пирамиды, значит $$\triangle ADC$$ - равнобедренный. $$DM:MA=DN:NC=3:2$$, значит $$\triangle DMN$$ подобен $$\triangle ADC$$.

$$DN:MN=DC:AC\to \frac{3}{MN}=\frac{5}{10}\to MN=6$$; $$AC^2=2DC^2\to DC=\sqrt{\frac{AC^2}{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$, тогда $$DN=\frac{5\sqrt{2}}{5}\cdot 3=3\sqrt{2}$$. $$BC=DC\to BN=\sqrt{(BD^2+DN^2)}=2\sqrt{17}$$

Опустим высоту ВН на основание MN: $$BH=\sqrt{(BN^2+HN^2)}=\sqrt{(4\cdot 17-3^2)}=\sqrt{59}$$. Тогда $$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{59}=3\sqrt{59}$$.

Скрыть

ОДЗ: $$x>0$$.

Преобразуем неравенство, учитывая, что $${{\log }_3 \left(\frac{x^8}{81}\right)\ }={{\log }_3 x^8\ }-{{\log }_3 81\ }=8{{\log }_3 \left|x\right|\ }-4=8{{\log }_3 x\ }-4$$ и $${{\log }^2_3 x\ }-{{\log }_3 \left(\frac{x^8}{81}\right)\ }+12={{\log }^2_3 x\ }-8{{\log }_3 x\ }+16={\left({{\log }_3 x\ }-4\right)}^2$$ получим: $$1+\frac{13}{{{\log }_3 x\ }-4}+\frac{42}{{\left({{\log }_3 x\ }-4\right)}^2}\ge 0$$.

Пусть $${{\log }_3 x\ }-4=t$$, имеем: $$1+\frac{13}{t}+\frac{42}{t^2}\ge 0\to \frac{t^2-13t+42}{t^2}\ge 0\to \frac{(t+6)(t+7)}{t^2}\ge 0$$

Имеем следующие точки, делящие числовую ось: $$t=-6;t=-7;t\ne 0$$

Рассмотрим два случая: $$1: t\le -7\to {{\log }_3 x\ }-4\le -7\to {{\log }_3 x\ }\le -3\to x\le \frac{1}{27}$$

$$2: \left\{ \begin{array}{c} t\ge -6 \\ t\ne 0 \end{array} \to \left\{ \begin{array}{c} {{\log }_3 x\ }-4\ge -6 \\ {{\log }_3 x\ }-4\ne 0 \end{array} \right.\right.\to \left\{ \begin{array}{c} x\ge \frac{1}{9} \\ x\ne 81 \end{array} \right.$$ $$x\in \left(0;\frac{1}{27}\right]\cup [\frac{1}{9};81)\cup (81;+\infty )$$

Скрыть

а) В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Стороны AB и AC - касательные к окружности и по теореме об отрезках касательных $$AC_1=AB_1$$ и, следовательно, треугольник$$\ AC_1B_1$$ - равнобедренный. AQ - биссектриса угла A по условию и в равнобедренном треугольнике $$AC_1B_1$$ биссектриса $$AA_2$$ (продолжение AQ) является медианой и высотой. Следовательно, $$QA_2$$ в треугольнике $$C_1QB_1$$ является также медианой и высотой, а сам треугольник $$C_1QB_1$$ - равнобедренный, так как $$\angle 1=\angle 2$$.

По теореме об угле между касательной $$AC_1$$ и хордой $$C_1B_1$$, имеем: $$\angle AC_1B_1=2\cdot \angle 1=2\cdot \angle 2$$, следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Рассмотрим треугольник $$AC_1B_1$$. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов, поэтому для $$AC_1B_1$$ центр вписанной окружности соответствует точке Q.

Найдем расстояние от точки O до точки Q, равный радиусу r вписанной окружности в треугольник ABC. Используя формулу площади треугольника ABC, можно записать $$S_{ABC}=p\cdot r$$, где p - полупериметр треугольника ABC. То есть, радиус r, равен: $$r=S_{ABC}/p$$.

Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле Герона.

Делаем вычисления. Полупериметр треугольника ABC, равен: $$p=\frac{7+15+20}{2}=21$$, площадь треугольника ABC, равна: $$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot \left(21-7\right)\cdot \left(21-15\right)\cdot (21-20)}=42$$ и радиус вписанной окружности $$r=\frac{42}{21}=2$$, то есть $$OQ = r = 2$$.

Скрыть

Пусть $$S=427000$$ рублей, $$k=1,25$$ - процент, $$x$$ - ежегодный платеж по кредиту.

Тогда: $$k\left(k\left(Sk-x\right)-x\right)-x=0\to Sk^3-xk^2-xk-x=0\to $$ $$\to Sk^3=x(k^2+k+1)$$;

$$x=\frac{Sk^3}{k^2+k+1}=\frac{427000\cdot {1,25}^3}{{1,25}^2+1,25+1}=\frac{833984,375}{3,8125}=218750$$ рублей.

Банку будет выплачено за 3 года: $$218750\cdot 3={\rm 656250}$$.

Скрыть

Найдем ограничения на переменную и на параметр $$\left\{ \begin{array}{c}x+a>0 \\ 2x-a>0\end{array}\to \left\{ \begin{array}{c}a>-x \\ a<2x \end{array}\right.\right.\to -x<a<2x$$; 
$$\left(9x-4\right){\ln \left(x+a\right)\ }-\left(9x-4\right){\ln \left(2x-a\right)\ }=0; \left(9x-4\right)\left({\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(2x-a\right)\ }\right)=0;$$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Перейдем к совокупности. $$\left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ {\ln \left(\frac{x+a}{2x-a}\right)=0\ } \end{array}\right.\to \left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ \frac{x+a}{2x-a}=1 \end{array}\right.$$.

С учетом ограничения, получим $$\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ a=\frac{1}{2}x\end{array}\right. \\ -x<a<2x \end{array}\right.\to \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x=\frac{4}{9} \\ a=\frac{1}{2}x \end{array}\right. \\ -x<a<2x \end{array}\right.$$ 

Решим систему координатно-параметрическим методом: 

Для вычисления параметра необходимо знать координаты точек. 

1) В точке $$N\ \left(\frac{4}{9};-\frac{4}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=-x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=-\frac{4}{9}$$ - нет решений.

2) На промежутке от N до B $$\to a\in (-\frac{4}{9};0)$$ - одно решение. 

3) В точке $$B\ \left(1;0\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=0 \\ x=1 \end{array}\right.\to a=0$$ - одно решение.

4) На промежутке от B до A $$\to a\in (0;\frac{2}{9})$$ - два решения.

5) В точке $$A\left(\frac{4}{9};\frac{2}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{1}{2}x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=\frac{2}{9}$$ - одно решение.

6) На промежутке от A до M $$\to a\in (\frac{2}{9};\frac{1}{2})$$ - два решения. 

7) В точке $$M\left(1;\frac{1}{2}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{1}{2}x \\ x=1 \end{array}\right.\to a=\frac{1}{2}$$ - два решения. 

8) На промежутке от M до L $$\to a\in (\frac{1}{2};\frac{8}{9})$$ - одно решение. 

9) В точке $$L\ \left(\frac{4}{9};\frac{8}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=2x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=\frac{8}{9}$$ - нет решений.

Скрыть

а) Пусть в первый день Маша сделала m фотографий, тогда за 13 дней она сделает $$m+\left(m+1\right)+\left(m+2\right)+\dots +\left(m+13\right)=13m+91$$

Аналогично Наташа, за первый день она сделала n фотографий, а за 13 дней $$13n+91.$$ фотографий.

Необходимо найти такие m и n, чтобы выполнялось условие: $$13n+91-13m-91={\rm 1131}\to n-m=\frac{{\rm 1131}}{13}=87$$. Очевидно, можно взять, например, числа $$n=88$$ и $$m=1$$.

б) Если фотографии делались в течение 12 дней, то получим условие: $$n-m=\frac{1131}{12}$$. Так как 1131 не делится нацело на 12, то подобрать целые значения n и m невозможно.

в) Допустим, что Маша и Наташа делали фотографии x дней. Тогда в последний день Маша должна была сделать $$m+x-1<35\to m+x<36$$. То есть число дней должно быть $$1<x<36$$. Кроме того из условия $$nx-mx=1131\to n-m=\frac{1131}{x}$$ число x должно являться делителем числа 1131. Отсюда получаем, что $$x=3,\ 13,\ 29.$$

Сначала вычислим максимальное число фотографий, сделанных Машей, получим:

- для $$x=3$$ имеем: $$m+3<36\to m=33$$. $$S=\frac{2\cdot m+x-1}{2}\cdot x\to S_3=102$$.

- для $$x=13$$ имеем: $$m=23,\ S_{13}=377$$. 

- для $$x=29$$ имеем: $$m=7,\ S_{29}=580$$.

Следовательно, максимальное число фотографий, сделанных Наташей, равно: $$580+1131=1711$$.