Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 23. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

ЕГЭ 2020, полный разбор 23 варианта Ященко ФИПИ школе 36 вариантов. Решаем типовые варианты от Ященко 2020 года ЕГЭ профиль!

Решаем 23 вариант Ященко 2020 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 задания.

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Когда на русский язык переводили фантастический роман Жюля Верна «20 000 льё под водой», перевели и единицы расстояния тоже. Переводчики использовали почтовое льё, в котором примерно 4 километра. В результате получился роман «80 000 километров под водой». Но в 1 морском льё не 4 километра, а примерно 5,557 км. На сколько километров больше получилось бы у переводчиков, если бы они использовали не почтовое льё, а морское?
Ответ: 31140
Скрыть

Если использовать морское льё, то получим $$20000\cdot 5,557=111140$$ км. Следовательно, расхождение составило 111140-80000=31140 км.

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался до температуры 50 °С.

Ответ: 3
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Средняя линия трапеции равна 18, а меньшее основание равно 10. Найдите большее основание трапеции.

Ответ: 26
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Какова вероятность того, что последние три цифры телефонного номера случайного абонента совпадают?

Ответ: 0,01
Скрыть Цифры меняются от 0 до 9, значит, совпадение трех последних цифр - это одно из m = 10 событий: $$000, 111, 222, \dots , 999.$$ Всего возможных комбинаций из трех цифр $$n={10}^3=1000$$. Получаем значение искомой вероятности: $$P=\frac{M}{N}=\frac{10}{1000}=0,01$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\sqrt{\frac{5x-7}{2}}=3$$

Ответ: 5
Скрыть ОДЗ уравнения: $$5x-7\ge 0;x\ge \frac{7}{5}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$\frac{5x-7}{2}=9\to 5x-7=18\to 5x=25\to x=5$$ - корень удовлетворяет ОДЗ.
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC угол С равен $$90{}^\circ, АВ = 15, {\tan A\ }=\frac{1}{3}$$. Найдите высоту СН.

Ответ: 4,5
Скрыть По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла, длину CH можно вычислить так: $$CH=\sqrt{AH\cdot HB}$$. Найдем AH. Ее можно вычислить как: $$AH=AC\cdot {\cos A\ }$$. В свою очередь, $$AC=AB\cdot {\cos A\ }$$ Объединяем формулы, получаем: $$AH=AB\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} A\ }$$. Учитывая, что $${{\cos }^{{\rm 2}} A\ }=\frac{1}{1+{{\tan }^{{\rm 2}} A\ }}$$, имеем: $$AH=15\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{9}}=15\cdot \frac{9}{10}=13,5$$. Тогда $$HB=15-13,5=1,5$$, и высота равна: $$CH=\sqrt{13,5\cdot 1,5}=\sqrt{20,25}=4,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график некоторой функции $$y=f\left(x\right).$$ Одна из первообразных этой функции равна $$F\left(x\right)=-\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{3}x^2-4x+2$$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: 4,5
Скрыть Площадь фигуры, ограниченной по оси OY графиком функции $$f(x)$$, а по оси OX диапазоном значений от -4 до -1, можно вычислить с помощью определенного интеграла вида $$\int^{-1}_{-4}{f(x)dx}=F\left(-1\right)-F\left(-4\right)$$, где $$F\left(x\right)$$ - первообразная от $$f(x)$$. Значение первообразной дано по условию задачи, получаем значение площади $$F\left(-1\right)-F\left(-4\right)=\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4+2-\frac{64}{3}+\frac{80}{2}-16-2=-\frac{63}{3}+\frac{75}{2}-12=$$ $$=-21+37,5-12=4,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A,B,A_1,C_1$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 8.

Ответ: 24
Скрыть Из рисунка видно, что многогранник с вершинами$$\ A,B,A_1,C_1$$ представляет собой пирамиду $$ABA_1C_1$$ с вершиной в точке $$C_1$$. Можно заметить, что таких многогранников умещается ровно 3 в этом объеме призмы, то есть, объем искомого многогранника можно найти как: $$V=\frac{1}{3}V_{{\rm p}}=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot 9=24$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$-42\sqrt{3}\cdot {\sin 840{}^\circ \ }$$.

Ответ: -63
Скрыть Учитывая, что $${\sin 840{}^\circ \ }={\sin \left(720{}^\circ +120{}^\circ \right)={\sin 120{}^\circ \ }\ }={\sin 60{}^\circ \ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ имеем: $$-42\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-21\cdot 3=-63$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Высота деревянного стеллажа для книг равна $$h=\left(a+b\right)\cdot n+a$$ миллиметров, где a - толщина одной доски (в мм), b - высота одной полки (в миллиметрах), n - число таких полок. Найдите высоту книжного стеллажа из 8 полок, если a = 18 мм, b = 310 мм. Ответ выразите в миллиметрах.

Ответ: 2642
Скрыть Подставим числовые значения в формулу высоты, получим: $$h=\left(18+310\right)\cdot 8+18=328\cdot 8+18=2642$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=(x+20)^{2}\cdot e^{-18-x}$$ на отрезке $$[-19; -17]$$.

Ответ: 4
Скрыть Сначала найдем точки экстремума функции на отрезке $$[-19; -17]$$: $$y'=2(x+20)e^{-18-x}-(x+20)^{2}*e^{-18-x}=0$$; $$e^{-18-x}\cdot (2x+40-x^{2}-40x-400)=0$$; $$x^{2}+38x-360=0 \rightarrow$$ $$D=1444-1440=4\rightarrow x_{1}=-18, x_{2}=-20$$. В диапазон попадает только одна точка экстремума $$x=-18$$. Вычислим значения функции на границах диапазона: $$y(-19)=(-19+20)^{2}e^{-18+19}=e^{1}$$; $$y(-17)=(-17+20)^{2}e^{-1}$$. Не выражаются в конечных десятичных дробях – не являются ответами к ЕГЭ. Значение в точке экстремума: $$y(-18)=(-18+20)^{2}e^{0}=4$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

а) Решите уравнение $$log_{0,5}(cosx+sin2x+4)=-2$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-4\pi ;\frac{-5\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z; -\frac{\pi }{6}+2\pi m,m\in Z; -\frac{5\pi }{6}+2\pi k, k\in Z$$ б) $$-\frac{7\pi }{2}; -\frac{17\pi }{6}; -\frac{5\pi }{2}.$$
Скрыть а) ОДЗ $$cosx+sin2x+4>0$$. Преобразуем выражение: $$cosx+sin2x+4=(\frac{1}{2})^{-2}=4$$; $$cosx+2sinx\cdot cosx+4-4=0$$; $$cosx(1+2sinx)=0$$; Последнее равенство равно 0 когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем два уравнения: $$cosx=0\rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z$$ и $$1+2sinx=0\rightarrow sinx=-\frac{1}{2}\rightarrow$$ $$\rightarrow x_{1}=-\frac{\pi }{6}+2\pi m, m\in Z; x_{2}=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in Z$$ б) С помощью числовой окружности выберем корни, принадлежащие промежутку $$[-4\pi ;\frac{-5\pi }{2}]$$. Получаем следующие корни: $$-\frac{7\pi }{2}; -\frac{17\pi }{6}; -\frac{5\pi }{2}.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Ответ: 17:127
Скрыть

а) Пусть N — такая точка на ребре SB, что SN:NB = 5:1. Треугольники SAB и SMN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит, $$\angle SAB=\angle SMN$$ а прямые AB и MN параллельны, $$MN\neq AB$$. Прямая PQ также параллельна прямой АВ. Значит, отрезки MN и PQ параллельны и не равны, и поэтому сечение пирамиды плоскостью MPQ — это трапеция MNPQ.

Треугольники MAQ и NBP равны, поскольку MA = NB, QA = PB, и $$\angle MAQ=\angle NBP$$, поэтому MQ = NP, а значит, трапеция MNPQ равнобедренная.

б) Пусть объём пирамиды SABCD равен V. Пятигранник AMQBNP состоит из четырёхугольной пирамиды MABPQ с основанием ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP. 

Расстояние от точки М до плоскости BNP относится к расстоянию от точки A до этой плоскости как 5:6, а площади треугольников BNP и SBC относятся как 1:12. Значит, отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC равно 5:72, то есть объём пирамиды MBNP равен $$\frac{5V}{144}$$.

Площадь прямоугольника ABPQ составляет половину площади квадрата ABCD. Расстояние от точки М до плоскости ABCD относится к расстоянию от точки S до этой плоскости как 1: 6, поэтому объём пирамиды MABPQ равен $$\frac{V}{12}$$.

Таким образом, объём AMQBNP равен $$\frac{17V}{144}$$ то есть отношение объёмов многогранников AMQBNP и CDSNPQM равно 17 : 127.

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$log_{5}^{2}(25-x^{2})-3log_{5}(25-x^{2})+2\geq 0$$

Ответ: $$(-5;2\sqrt{5}]\cup {0} \cup [2\sqrt{5};5)$$
Скрыть

1. Определим ОДЗ: 

$$25-x^{2}>0$$
$$x^2-25<0$$
$$(x-5)(x+5)<0$$

Получаем два значения: $$x_{1}=5; x_{2}=-5$$ следовательно, $$x\in (-5;5).$$

2. Делаем замену $$log_{5}(25-x^{2})=t$$, получим: $$t^{2}-3t+2\geq 0$$. Получаем две точки, делящие числовую ось $$t_{1}=1; t_{2}=2$$

Переходя к $$x$$, имеем: $$\left[ \begin{array}{c}t\le 1 \\ t\ge 2 \end{array}\to \left[ \begin{array}{c}{{\log }_5 (25-x^2)\le 1\ } \\ {{\log }_5 \left(25-x^2\right)\ge {{\log }_5 25\ }\ } \end{array}\right.\to \left[ \begin{array}{c}25-x^2\le 5 \\ 25-x^2\ge 25 \end{array}\right.\to \left[ \begin{array}{c}x^2-20\ge 0 \\ x=0 \end{array}\right.\to \right.$$ 
$$\to \left[ \begin{array}{c}(x-2\sqrt{5})(x+2\sqrt{5})\ge 0 \\ x=0 \end{array}\right.$$ 

3. Пересечение с ОДЗ дает решение $$x\in (-5;2\sqrt{5}]\cup {0} \cup [2\sqrt{5};5)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 60°, угол ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Ответ: $$6\sqrt{3}$$
Скрыть

а) Высоты AM, BN, CP пересекаются в одной точке (одна из замечательных точек треугольника). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то есть, $$\angle PNB=\angle PCB$$ и $$\angle MNB=\angle MAB$$, следовательно,

$$\angle PNM=\angle PNB+\angle MNB=\angle PCB+\angle MAB (*)$$

$$\angle PNM=(90^\circ-\angle B)+(90^\circ-\angle B)$$

По условию $$\angle B=45^\circ$$, а треугольники $$CP_{1}B$$ и $$AM_{1}B$$ – прямоугольные с гипотенузой PM.

б) Аналогично с (*) находим $$\angle NMP=(90^\circ-60^\circ)+(90^\circ-60^\circ)=60^\circ$$

$$\angle MPN=90^\circ-60^\circ=30^\circ$$

По теореме синусов из треугольника ABC, имеем: $$\frac{BC}{sinA}=2R$$,где R – радиус описанной окружности. Получаем: $$\frac{6}{sin60^\circ}=2R\rightarrow R=2\sqrt{3}$$ и $$PM=4\sqrt{3}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP с катетом MN, лежащий против угла в 30°, то есть, $$MN=2\sqrt{3}$$. Найдем катет NP по теореме Пифагора: $$NP=\sqrt{MP^{2}-MN^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=6$$ 

Площадь треугольника MNP, равна: $$S=\frac{1}{2}NP\cdot NM=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.

Ответ: 20
Скрыть

Изначально была взята сумма долга, равная 300 000 рублей. По условию задачи сначала сумма долга увеличивается на r%, то есть в $$k=1+\frac{r}{100}$$ раз, получаем сумму $$300000\cdot k$$. После этого, вносится платеж, равный 160 000 рублей. Остаток суммы долга становится равным $$300000k-160000$$ рублей.

В следующем году остаток также увеличивается в k раз: $$(300000k-160000)k=300000k^{2}-160000k$$ и вносится сумма в 240 000 рублей: $$300000k^{2}-160000k-240000$$ рублей.

По условию задачи за два года долг полностью гасится, то есть, имеем:

$$300000k^{2}-160000k-240000=0\to 15k^{2}-8k-12=0$$

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня: $$D=784\to k_{1}=\frac{8+28}{30}=\frac{6}{5}, k_{2}< 0$$

Имеем один положительный корень 6/5 (отрицательный не берется, так как ставка по кредиту не может быть отрицательной). В результате получаем: $$1+\frac{r}{100}=6/5\rightarrow \frac{r}{100}=\frac{1}{5}\rightarrow r=20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$ax+\sqrt{5-4x-x^{2}}=3a+3$$ имеет единственный корень.

Ответ: $$a=0; -1,5\leq a < -0,375$$
Скрыть

$$\sqrt{5-4x-x^{2}}=3a-ax+3$$

а) $$y=\sqrt{5-4x-x^{2}}, y\geq 0$$

$$y^{2}=5-4x-x^{2}$$

$$(x+2)^{2}+y^{2}=9$$ - окружность с центром в точке $$(-2;0)$$  $$R=3; y\geq 0$$

б) $$y=3a-ax+3$$ - прямая проходящая через точку $$(3;3)$$

 

1-ая прямая проходит через точку $$(-2;3)\to a=0$$;

2-ая прямая проходит через точку $$(-5;0)\to 8a+3=0; a=-\frac{3}{8}$$;

3-я прямая проходит через точку $$(1;0)\to 2a+3=0; a=-1,5$$

Ответ: одно решение при $$a=0; -1,5\leq a < -0,375$$

 

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Ответ: a) 42; б) положительных; в) 24.
Скрыть

а) Обозначим через x число положительных чисел, через y - число отрицательных, а через z – количество чисел 0. Тогда можно записать равенство: $$14x-7y+0\cdot z=5\cdot (x+y+z)$$ или в виде $$\frac{7\cdot (2x-y)}{(x+y+z)}=5$$

Анализ данного выражения показывает, что сумма $$x+y+z$$ должна быть целым числом, кратным 7, чтобы в результате получилось целое 5. Кроме того, в задаче сказано, что $$35<x+y+z<49$$

В этом диапазоне числа кратные 7 это единственное число 42, следовательно, $$x+y+z=42$$

б) Ответ на этот вопрос дан в пункте в).

в) Наибольшее число положительных чисел будет при минимальном числе отрицательных и $$z=0$$. Из соотношения $$\frac{7\cdot (2x-y)}{(x+y)}=5$$ при $$x+y=42$$, имеем $$\left\{\begin{matrix}2x-y=30\\ x+y=42\end{matrix}\right.$$ откуда $$3x=72\to x=24$$ то есть на доске записано 24 положительных и 42-24=18 отрицательных чисел.