ЕГЭ 2022. Вариант 29 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Номер рейса в этой задаче не имеет значения. Важно, что за один рейс перевозятся 5 человек. То есть, вероятность попасть туристу З. на какой-либо рейс (в том числе и 3-й), равна:

$$P=\frac{m}{n}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}=0,2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть х - количество деталей, которое делает второй за час, тогда х+4 - количество, которое делает первый. Время изготовления заказа вычисляется как отношение объема к производительности, то есть, так как разница в времени равна 8 часам: $$\frac{77}{x}-\frac{33}{x+4}=8$$ $$77(\frac{7x+28}{x(x+4)}-\frac{3x}{x(x+4)})-\frac{8x^{2}+32x}{x(x+4)}=0$$ $$44x+308-8x^{2}-32x=0$$ $$2x^{2}-3x-77=0$$ $$x_{1}=7 , x_{2}$$ - меньше нуля. Поэтому ответ 7 деталей в час

Точки $$(1;3)$$ и $$(2;1)$$ принадлежат графику функции $$f(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 3=a^{1+b}\\ 1=a^{2+b} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3=\frac{a^{1+b}}{a^{2+b}}=a^{-1}\\ a^{2+b}=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3}\\ (\frac{1}{3})^{2+b}=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3}\\ b=-2 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$f(x)=(\frac{1}{3})^{x-2}$$

Тогда:

$$f(-1)=(\frac{1}{3})^{-1-2}=(\frac{1}{3})^{-3}=27$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Докажем, что угол между прямыми АМ и SN равен 60°. Прямые АМ и SN являются скрещивающимися.

Углом между скрещивающимися прямыми считают угол между соответственно параллельными им пересекающимися прямыми.

Прямую АМ заменим параллельной ей прямой FN. Углом между скрещивающимися прямыми  АМ и SN будет угол между пересекающимися прямыми FN и SN. Обозначим этот угол через α и докажем, что он равен 60°.

Проведём АК параллельно ВС. Соединим точки S и К. Так как точка М – середина ВС, а треугольник АВС равносторонний, то АМ – медиана, высота и биссектриса треугольника АВС. Тогда прямая FK, параллельная АМ будет также перпендикулярна  ВС. А так как АК параллельна ВС, то АК перпендикулярна и АМ, и  FK. Таким образом, четырёхугольник АМFК является прямоугольником. Прямая SК является наклонной к плоскости  АВС, SА – перпендикуляр к плоскости АВС, АК – проекция прямой  SК на плоскость АВС. Прямая FK, проведённая через основание наклонной SК перпендикулярно её проекции АК,  будет перпендикулярна наклонной SК на основании теоремы о трёх перпендикулярах. Значит, треугольник SNK является прямоугольным с прямым углом при вершине К. Катет NK равен половине FK, а значит, и половине АМ (противоположные стороны прямоугольника АМFК равны, а равенство отрезков FN и NK следует из равенства прямоугольных треугольников NFB и NKA по равным катетам BN и AN и вертикальным углам при вершине N).

$$NK=\frac{1}{2}FK=\frac{1}{2}AM.$$

По условию SN=AM , поэтому

$$NK=\frac{1}{2}SN$$

Итак, из прямоугольного треугольника SNK

$$\cos\alpha=\frac{NK}{SN}=\frac{\frac{1}{2}SN}{SN}=\frac{1}{2}.$$

Отсюда следует:

$$\alpha=\arccos\frac{1}{2}=60^{\circ},$$

что и требовалось доказать.

б) Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми АМ и SN. Используем метод проекций, опирающийся на следующую лемму.

Лемма Шарыгина И.Ф.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту плоскость.

У нас SKA – плоскость, перпендикулярная прямой АМ (АМ перпендикулярна SA по условию и АК по построению). А – проекция АМ на плоскость SKA. SN – наклонная к плоскости SKA, NK – перпендикуляр, SК – проекция наклонной SN к плоскости SKA. Расстояние от точки А до SК и будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми АМ и SN. Проведём АЕ перпендикулярно SК. Отрезок АЕ – это высота прямоугольного треугольника SKA, проведённая к гипотенузе SK.

$$AE=\frac{SA\cdot AK}{SK}.$$ По условию $$BC=3\sqrt{2}.$$

В равностороннем треугольнике АВС:

высота $$AM=BC\cdot\sin60^{\circ}=3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$

Тогда $$SN=AM=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$

Отрезок $$NK=\frac{1}{2}FK=\frac{1}{2}AM=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.$$

Так как в треугольнике АВМ точка N – середина стороны АВ, FN параллельна АМ, поэтому FN – средняя линия треугольника АВМ. Точка F – середина отрезка ВМ.

Тогда $$MF=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{4}BC=\frac{3\sqrt{2}}{4}.$$

АК = МF как противоположные стороны прямоугольника АМFК.

$$AK=\frac{3\sqrt{2}}{4}.$$

В прямоугольном треугольнике SAN гипотенуза

$$SN=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}},$$ катет $$AN=BN=\frac{1}{2}AB=\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}.$$

По теореме Пифагора SA² = SN² — AN².

$$SA^2=(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2-(\frac{3}{\sqrt{2}})^2=\frac{27}{2}-\frac{9}{2}=\frac{18}{2}=9.$$

Тогда SA = 3.

Из прямоугольного треугольника SKN

катет SK = SN ∙ sinα = SN ∙ sin60°.

$$SK=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$SK=\frac{9}{2\sqrt{2}}$$

Искомое расстояние:

$$AE=\frac{SA\cdot AK}{SK}=\frac{3\cdot\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{9}{2\sqrt{2}}}=\frac{3\cdot3\cdot\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}}{4\cdot9}=1.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Пусть $$x$$ см – длина стороны квадрата. Тогда ширина прямоугольника, равна $$x-3$$ см. Так как площади фигур равны, то можно записать равенство:

$$x^2=(x-3)\cdot a$$

где $$a$$ – высота прямоугольника. По условию $$x-3 = 8,$$ значит, $$x=11$$ и получаем равенство:

$$11^2=8a$$

$$a=\frac{121}{8}$$

Высота прямоугольника получается не целым числом, значит, ширина не может равняться $$8.$$

б) Аналогично рассчитаем для $$a=16,$$ имеем:

$$x^2=16(x-3)$$

$$x^2-16x+48=0$$

$$D=256-192=64=8^2$$

$$x_1=\frac{16+8}{2}=12$$

$$x_2=\frac{16-8}{2}=4$$

Имеем целые корни, значит, длина может быть равна $$16$$ см.

в) Из равенства $$x^2=(x-3)\cdot a$$ имеем, что $$x\geq4.$$ При минимальном значении $$x=4$$ параметр $$a=16$$ (см. п. б), и еще имеем второе значение $$x=12,$$ которое будет максимальным (иначе другая сторона будет $$0$$ или отрицательной). Получаем диапазон $$4\leq x\leq12.$$ В принципе, здесь достаточно просто перебрать варианты и проверить когда будут получаться целые значения, получим:

$$9x16$$ и $$12x12;$$ $$3x12$$ и $$6x6;$$ $$1x16$$ и $$4x4$$