Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 29. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Для приготовления абрикосового варенья на 1 кг абрикосов нужно 1,2 кг сахара. Какое наименьшее количество килограммовых упаковок сахара нужно, чтобы сварить варенье из 14 кг абрикосов?

Ответ: 17
Скрыть Для 14 кг абрикосов нужно $$14\cdot1,2=16,8$$ кг сахара. Следовательно, нужно купить 17 килограммовых упаковок сахара.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Томске впервые выпало ровно 0,5 миллиметра осадков.
Ответ: 17
Скрыть Чтобы найти число, в котором в Томске впервые выпало 0,5 миллиметров осадков, нужно найти первое значение на графике, равное 0,5. Анализ графика показывает, что это было 17-го числа.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Ответ: 14
Скрыть

Площадь трапеции можно найти как произведение ее высоты (красная линия на рисунке ниже) на среднюю линию.

Средняя линия трапеции определяется как полусумма ее оснований (синие линии на рисунке) и равна $$l=\frac{a+b}{2}$$ и площадь трапеции $$S=h\cdot l=4\cdot \frac{5+2}{2}=14$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Гигрометр измеряет влажность в помещении картинной галереи. Вероятность того, что влажность окажется выше 40%, равна 0,82. Вероятность того, что влажность окажется ниже 56%, равна 0,74. Найдите вероятность того, что влажность находится в пределах от 40% до 56%.
Ответ: 0,56
Скрыть

Введем два события:

А: «влажность окажется не выше 40%»

В: «влажность окажется в пределах от 40% до 56%»

Тогда, сумма этих двух событий $$C=A+B\ $$будет означать «влажность окажется ниже 56%». Вероятность события A, равна $$P(A)=1-0,82\ =\ 0,18$$, а вероятность события $$P(C)=0,74$$. Учитывая несовместность событий A и B, имеем:

$$P\left(A\right)+P\left(B\right)=P\left(C\right)\to P\left(B\right)=P\left(C\right)-P\left(A\right)=0,56$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-7}=3^x$$
Ответ: 3,5
Скрыть Преобразуем выражение $$3^{7-x}=3^x$$. Отсюда получим $$3^7=3^{2x}\to x=3,5$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30$${}^\circ$$. Боковая сторона треугольника равна 12. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 36
Скрыть По условию задачи дано значение угла $$C=30{}^\circ $$ и длина боковой стороны 12. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой $$S=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot {\sin 30{}^\circ \ }=36$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график $$у\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$. На оси абсцисс отмечены девять точек: $$x_1,\ x_2,\dots ,x_9$$. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $$f(x)$$?
Ответ: 4
Скрыть При возрастании функции значение производной положительно. Следовательно, чтобы определить точки, в которых производная возрастает, нужно выбрать те из них, которые находятся выше оси OX. Анализ рисунка показывает, что это точки $$x_1,x_2,x_5,x_6$$, т.е. 4 точки.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $$7\sqrt{2}$$. Найдите радиус сферы.
Ответ: 7
Скрыть Так как центр сферы находится в центре конуса, то образующие конуса пересекаются под прямым углом. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны образующей, а гипотенуза равна диаметру сферы. По теореме Пифагора имеем: $$d^2=2\cdot 7^2\cdot 2=2^2\cdot 7^2\to d=14$$. Соответственно, радиус равен $$R=\frac{d}{2}=\frac{14}{2}=7$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $${{\log }_{11} 24,2\ }+{{\log }_{11} 5\ }$$
Ответ: 2
Скрыть Вычислим выражение, преобразовав его следующим образом: $${{\log }_{11} \left(24,2\cdot 5\right)\ }={{\log }_{11} 121\ }=2$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Водолазный колокол, содержащий $$v\ =\ 2,5$$ моля воздуха при давлении $$p_1\ =\ 1,25$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $$p_2$$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A=\alpha vT{{\log }_2 \frac{p_2}{p_1}\ }$$, где $$\alpha =13,3$$ Дж/(моль*К) - постоянная, $$Т\ =\ 300$$ К - температура воздуха. Найдите, какое давление $$p_2$$ (в атм.) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 19 950 Дж.

Ответ: 5
Скрыть

Для того, чтобы найти давление $$p_2$$ выразим его из формулы работы, получим: $${{\log }_2 \frac{p_2}{p_1}\ }=\frac{A}{\alpha vT}$$, раскрываем знак логарифма $$p_2=p_1\cdot 2^{\frac{A}{\alpha vT}}$$.

Вычислим, чему равна степень $$\frac{A}{\alpha vT}$$: $$\frac{A}{\alpha vT}=\frac{19950}{13,3\cdot 2,5\cdot 300}=2$$.

Тогда давление $$p_2=1,25\cdot 2^2=5$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Имеется два сплава. Первый содержит 25% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 28% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Ответ: 30
Скрыть

Обозначим через $$x$$ массу первого сплава. Масса никеля в этом сплаве 25% или $$0,25\cdot x$$. Масса второго сплава $$150-x$$, в котором 30% никеля, т.е. $$0,3(150-x)$$. Третий сплав, равный сумме двух первых сплавов, содержит 150 кг с содержанием никеля 28%, т.е. $$0,28\cdot 150$$. В результате получаем уравнение $$0,25\cdot x+0,3\left(150-x\right)=0,28\cdot 150\to 0,25x+45-0,3x=42\to 3=0,05x\to $$ $$\to x=60$$.

Масса первого сплава равна 60 кг. Масса второго сплава равна $$150-60=90$$ кг. Разница в весе между этими сплавами 30 кг.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=27x+25{\cos x\ }-14$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$$.

Ответ: 11
Скрыть

Вычислим производную от функции y, получим: $$y'=27-25{\sin x\ }$$. В точках экстремума производная равна нулю, т.е. $$25{\sin x\ }=27\to {\sin x\ }=\frac{27}{25}\notin [-1;1]$$ следовательно, максимальное и минимальное значение функции находятся на границах диапазона $$\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$$.

Вычислим значение функции в этих точках, получим: $$y\left(-\frac{\pi }{2}\right)=27\cdot \left(-\frac{\pi }{2}\right)+25{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)\ }-14$$ данное значение не может быть выражено конечной десятичной дробью, а значит не является ответом в ЕГЭ;

$$y\left(0\right)=27\cdot 0+25{\cos 0\ }-14=11$$ точка максимума функции на отрезке.

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-2=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$$.

Ответ: а) $$-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z; -\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$ б) $$-\frac{13\pi }{6}$$
Скрыть

а) Преобразуем уравнение $$6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-2=0\to 6\left(1-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)+5{\sin x\ }-2=0\to $$ $$\to 6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-5{\sin x\ }-4=0$$.

Сделаем замену $${\sin x\ }=t,t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$6t^2-5t-4=0$$, решаем уравнение, получаем корни $$t_1=-\frac{1}{2};\ t_2=\frac{4}{3}\in [-1;1]$$.

Подставляем синус вместо $$t$$, получаем уравнение $${\sin x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z;\ x_2=-\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$$. Получим число $$-\frac{13\pi }{6}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{119}}{13}$$
Скрыть

а) Взаимно перпендикулярные образующие дают прямой угол, следовательно, искомое сечение - прямоугольный треугольник ASB с гипотенузой AB и катетами AS и BS (см. рисунок).

б) Расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса O есть отрезок OK (см. рисунок). Сначала найдем длину отрезка AB из прямоугольного треугольника ABS. Отрезки $$AS=SB=13$$ и по теореме Пифагора имеем: $$AB=\sqrt{2\cdot {13}^2}=13\sqrt{2}$$.

Теперь найдем длину ON из прямоугольного треугольника AON. Так как треугольник AOB равнобедренный, то высота ON также является медианой, следовательно, катет $$AN=AB:2$$, и ON равна: $$ON=\sqrt{AO^2-\frac{AB^2}{4}}=\sqrt{144-\frac{169}{2}}=\sqrt{\frac{119}{2}}$$.

Найдем длину отрезка SN из прямоугольного треугольника ASB. Можно заметить, что SN - это высота, проведенного из прямого угла, а отрезки AN и BN - это радиусы описанной окружности вокруг треугольника. Следовательно, SN - это тоже радиус и $$SN=NB=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$.

Отрезок OK является высотой прямоугольного треугольника SON. Найдем его высоту из формулы площади $$S=\frac{1}{2}\cdot OK\cdot SN\to OK=\frac{2S}{SN}$$, где $$S=\frac{1}{2}OS\cdot ON$$ - формула площади для прямоугольного треугольника, т.е. $$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \sqrt{\frac{119}{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{2\sqrt{2}}$$ и расстояние OK равно $$OK=\frac{5\sqrt{119}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{13\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{13}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $${\left({{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }\right)}^2+36{{\log }_2 x\ }+45<18{{\log }^2_2 x\ }$$.
Ответ: $$x\in (\frac{1}{8};\frac{1}{2})\cup (8;32)$$
Скрыть

1. Упрощаем выражение, получаем: $${\left({{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }\right)}^2+45<18\left({{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }\right)$$.

2. Делаем замену $${{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }=t$$: $$t^2-18t+45<0$$.

Решаем неравенство относительно $$t$$, имеем: $$t_1=3;\ t_2=15$$. $$\left\{ \begin{array}{c} {{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }>3 \\ {{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }<15 \end{array} \right.$$

3. Находим решения неравенств

1: Для $${{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }-3>0$$ - делаем замену $${{\log }_2 x\ }=m$$, получаем: $$m^2-2m-3>0$$ - решаем уравнение, имеем: $$m_1=-1,\ m_2=3$$ т.е. $$\left\{ \begin{array}{c} m<-1 \\ m>3 \end{array} \right.$$ - находим $$x$$: $$x\in (0;1)\cup (8;+\infty )$$

2: Для $${{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }-15<0$$ - делаем замену $${{\log }_2 x\ }=m$$, получаем: $$m^2-2m-15<0$$ - решаем уравнение, имеем: $$m_1=-3,\ m_2=5$$ т.е. $$-3<m<5$$

- находим $$x$$: $$x\in (\frac{1}{8};32)$$

4. Пересечение полученных множеств дает окончательный ответ: $$x\in (\frac{1}{8};\frac{1}{2})\cup (8;32)$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точка B лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и МС параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если $$AK=3,\ MK=12$$.

Ответ: 30
Скрыть

а) Для доказательства параллельности прямых AD и MC рассмотрим $$\triangle ADB$$ и $$\triangle CMB$$, они прямоугольные, т.к. вписанные углы ADB и CMB опираются на диаметры окружностей. Прямая DM перпендикулярна прямым $$AD,\ MC\to AD\parallel MC$$.

б) 1) Четырехугольник AMCD является трапецией $$AD\parallel MC$$, по свойству трапеции $$\triangle ABM,\ \triangle DBC$$ равновелики, значит $$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle DBC}=\frac{AM\cdot BK}{2}$$.

2) $$\triangle AKB\sim \triangle AMN$$ по двум углам ($$BK\bot AK,\ \angle AKB$$ - прямой; $$MN\bot AM,\ MN-$$ радиус, проведенный в точку касания) $$\to \frac{KB}{MN}=\frac{AK}{MN}\to \frac{KB}{MN}=\frac{1}{5}\to MN=5KB$$.

3) Проведем прямую BH, параллельную прямой $$AM\to BKMH$$ - прямоугольник. $$BH\bot MN.$$ Пусть $$BK=x=MH$$, тогда $$MN=5x,\ HN=MN-MH=4x.\ BH=KM=12$$.

4) Р/м $$\triangle BHM,\angle BHN=90{}^\circ ,BH=12,BN=MN=5x,\ HN=4x$$. По теореме Пифагора $$BN^2=BH^2+HN^2,\ 25x^2=144+16x^2$$. $$x=4\to BK=4$$. $$5) S_{\triangle DBC}=\frac{AM\cdot BK}{2}=\frac{15\cdot 4}{2}=30.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 11 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Ответ: 2009
Скрыть

Чтобы извлечь наибольшую прибыль, Алексей должен воспользоваться банковским депозитом, когда 10% от суммы, вырученной за ценную бумагу, превысит 4000 руб.

Найдем значение суммы, от которой 10% будут равны 4000, получим: $$x\cdot 0,1=4000\to x=40000$$.

То есть ценную бумагу в 11000 рублей нужно довести до суммы большей или равной 40000 рублей и полученную сумму положить в банк. Ценная бумага дойдет до этого уровня через $$40000-11000=4000\cdot m\to m=\frac{29000}{4000}=7,25$$ то есть через 8 лет, и в начале 2009-го года полученную сумму нужно положить на банковский депозит.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{\sqrt{a+1}-2{\cos 3x\ }+1}{{{\sin }^{{\rm 2}} 3x\ }+a+2\sqrt{a+1}+2}$$ содержит отрезок $$[2;3]$$.
Ответ: -1
Скрыть

$$a+1\ge 0,\ a\ge -1.$$ Пусть $${\cos 3x\ }=t,t\in \left[-1;1\right],\ b=\sqrt{a+1}+1,\ b\ge 1$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(t\right)=\frac{2t-b}{t^2-b^2-1}$$, исследуем ее при помощи производной.

$$f'\left(t\right)=\frac{2\left(t^2-b^2-1\right)-2t\left(2t-b\right)}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=\frac{-2t^2-2b^2+2bt-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=$$ $$=\frac{-{\left(t-b\right)}^2-t^2-b^2-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}<0.$$ Функция $$f(t)$$ убывает на области определения, поэтому множество ее значений содержит отрезок $$[2;3]$$, тогда и только тогда, когда $$\left\{ \begin{array}{c} f(-1)\ge 3 \\ f(1)\le 2 \end{array} \right.$$.

Решим систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{-2-b}{1-b^2-1}\ge 3 \\ \frac{2-b}{1-b^2-1}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} \frac{b+2}{b^2}\ge 3 \\ \frac{b-2}{b^2}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 3b^2-b-2\le 0 \\ 2b^2-b+2\ge 0 \end{array} \right.\to -\frac{2}{3}\le b\le 1$$.

Учитывая, что $$b\ge 1$$, получим $$b=1,\ \sqrt{a+1}+1=1,a=-1$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Ответ: а) 5523 б) нет в) $$5568,\ 5658,\ 6558,\ 6585,\ 6855,\ 8655,\ 8565,\ 8556,\ 5856,\ 5865,\ 5685,$$
Скрыть

а) Пусть a,b,c,d - цифры четырехзначного числа. Их произведение должно быть в 10 раз больше их суммы, т.е. $$a\cdot b\cdot c\cdot d=10\left(a+b+c+d\right)=10a+10b+10c+10d$$.

Возьмем числа a и b кратные 10, например, 5, а число c, также кратное 10, равное 2, получим уравнение для d: $$5\cdot 5\cdot 2d=50+50+20+10d\to d=3$$.

Значение d соответствует цифре 3, значит, мы удачно выбрали предыдущие цифры a, b и c. Таким образом, получили число 5523.

Путем подбора можно найти и другие четырехкратные числа, удовлетворяющие этому условию.

б) Поступаем аналогично, имеем уравнение $$a\cdot b\cdot c\cdot d=175a+175b+175c+175d$$.

Рассуждаем аналогично. Чтобы получить d как цифру, она должна быть в диапазоне от 1 до 9 (цифра 0 исключается, т.к. в произведении даст 0). Для этого, множитель перед d должен получиться больше 175. Подберем первые три цифры так, чтобы получилось ближайшее большее к 175: $$a=5,\ b=6,\ c=6$$. $$180d=2975+175d\to d=595$$.

Не соответствует цифре. Найдем наибольшее число для d: $$a=9,\ b=9,\ c=9$$: $$729d=4725+175d\to d\approx 8,5$$ не является целым значением. Попробуем найти его при: $$a=9,\ b=9,\ c=8$$: $$648d=4550+175d\to d\approx 9,62$$.

Также не является целым и больше 9, следовательно, другие варианты будут приводить к $$d>9$$, что не является цифрой. Следовательно, нельзя подобрать четырехзначное число, удовлетворяющее данному условию.

в) Для уравнения $$a\cdot b\cdot c\cdot d=50a+50b+50c+50d$$ возьмем цифры $$a=5,\ b=5,\ c=8$$, получим для d: $$200d=900+50d\to d=6$$.

Получили четырехзначное число - 5586.

Можно заметить, что все остальные четырехзначные числа будут соответствовать всем возможным перестановкам найденных цифр, то есть получаем варианты: $$5568,\ 5658,\ 6558,\ 6585,\ 6855,\ 8655,\ 8565,\ 8556,\ 5856,\ 5865,\ 5685,$$ то есть всего 12 вариантов.