Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2021. Вариант 1 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

ЕГЭ 2021, полный разбор 1 варианта Ященко ФИПИ школе 36 вариантов. Решаем типовые варианты от Ященко 2021 года ЕГЭ профиль!

Решаем 1 вариант Ященко 2021 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 задания.

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Показания счётчика электроэнергии 1 января составляли 53848 кВт*ч, а 1 февраля - 54107 кВт*ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за январь, если 1 кВт*ч электроэнергии стоит 2 руб. 80 коп.? Ответ дайте в рублях.

Ответ: 725,2
Скрыть Разница в кВт*ч: $$54107-53848=259$$. Стоимость: $$259\cdot 2,8=725,2$$ рубля.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показан уровень инфляции в России в 2018 и 2019 годах. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - уровень инфляции (в процентах) за каждый месяц соответствующего года. Определите количество месяцев, когда инфляция в 2019 году была ниже, чем инфляция в соответствующем месяце 2018 года.

Ответ: 9
Скрыть Это месяцы с апреля по декабрь: 9 месяцев.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён ромб. Найдите его площадь.

Ответ: 12
Скрыть Найдем диагонали по теореме Пифагора $$d_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2};\ d_2=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$. $$S=\frac{1}{2} d_1\cdot d_2=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}=12$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В гонке с раздельным стартом участвуют 25 лыжников, среди которых 7 спортсменов из Норвегии. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из норвежских лыжников получил стартовый номер «5». Найдите вероятность, что он будет стартовать за своим соотечественником.

Ответ: 0,25
Скрыть Вероятность, что 4-ый будет из Норвегии: $$P\left(A\right)=\frac{6}{24}$$ (т.к. после того, как один получит номер «5» лыжников из Норвегии осталось 6, а всего лыжников 24). Т.е. 0,25.
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\frac{1}{2x-3}=\frac{1}{8}$$.

Ответ: 5,5
Скрыть $$\frac{1}{2x+3}=\frac{1}{8}\leftrightarrow 2x-3=8\leftrightarrow 2x=11\leftrightarrow x=5,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике АВС угол С равен $$46{}^\circ $$, AD и BE - биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 113
Скрыть $$\angle A+\angle B=180{}^\circ -\angle C=134{}^\circ \to \frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}=\frac{134}{2}=67{}^\circ \to$$ $$\to \angle AOB=180-67=113{}^\circ $$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график $$у\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-9; 6). Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку $$[-8; 5].$$

Ответ: 2
Скрыть Точка минимума там, где $$f'\left(x\right)=0$$ при возрастании $$f'\left(x\right)$$, т.е. $$\approx -1,8;\ \approx 1,5;\ \approx 5,6$$. Но на $$x\in [-8;5]$$ их 2 точки.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$DC_1$$ и $$BD$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60
Скрыть Рассмотрим $$\triangle BC_1D:BC_1=DC_1=BC_1=BD$$ (диагонали равных квадратов)$$\to \triangle BC_1D$$ - равносторонний $$\to \ \angle BDC_1=60{}^\circ $$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$4^{1-2{{\log }_{0,5} 3\ }}$$
Ответ: 324
Скрыть $$4^{1-2{{\log }_{0,5} 3\ }}=\frac{4^1}{4^{2{{\log }_{0,5} 3\ }}}=\frac{4^1}{{(2^2)}^{{{\log }_{2^{-1}} 3\ }}}=\frac{4}{2^{-2{{\log }_2 9\ }}}=\frac{4}{2^{{{\log }_2 \frac{1}{81}\ }}}=\frac{4}{\frac{1}{81}}=324$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$a$$ в км/ч$${}^{2}$$. Скорость $$v$$ (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=\sqrt{2la}$$, где $$l$$ - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч$${}^{2}$$.

Ответ: 6250
Скрыть Подставим известные в формулу: $$100=\sqrt{2\cdot 0,8\cdot a}\leftrightarrow 10000=1,6a\leftrightarrow a=6250$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Катер в 8:40 вышел из пунтка А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
Ответ: 14
Скрыть Прошло времени: 7 часов 40 минут. При этом 40 минут стоял, т.е. в движении 5 часов. Пусть $$x$$ км/ч - собственная скорость катера. Тогда: $$\frac{48}{x+2}+\frac{48}{x-2}=7\leftrightarrow 48x-96+48x+96=7x^2-28\leftrightarrow 7x^2-96x-28=0\to $$ $$\to \frac{D}{4}=2304+196=2500\to \left[ \begin{array}{c} x_1=\frac{48+50}{7} \\ x_2<0 \end{array} \right.\leftrightarrow x=14$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=4{\sin x\ }-6x+7$$ на отрезке $$\left[-\frac{3\pi }{2};0\right]$$

Ответ: 7
Скрыть Найдем производную: $$y'=4{\cos x\ }-6$$. Т.к. $$\left|{\cos x\ }\right|\le 1$$, то $$y'<0$$ при любом $$x$$, тогда функция убывает на всем $$D\left(x\right)\to y_{min}=y(0)$$. $$y\left(0\right)=4{\sin 0\ }-6\cdot 0+7=7$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^{{\rm 2}} (\frac{\pi }{2}-x)\ }+{\sin 2x\ }=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3\pi ;\frac{9\pi }{2}]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$$; $$-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z$$ б) $$1)3\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2};2)4\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}\ ;3)4\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}\ $$
Скрыть

а) $$2{{\sin }^{{\rm 2}} (\frac{\pi }{2}-x)\ }+{\sin 2x\ }=0\leftrightarrow 2{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+2{\sin x\ }{\cos x\ }=0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 2{\cos x\ }\left({\cos x\ }+{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x=0\ } \\ {\cos x\ }+{\sin x\ }=0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x=0\ } \\ 1+{\tan x\ }=0 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z \end{array} \right.$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]:1)3\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2};2)4\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}\ ;3)4\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}\ $$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М - середина ребра АВ. Плоскость $$\alpha $$ перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость $$\alpha $$ в точке К.

а) Докажите, что KM = KD.

б) Найдите объём пирамиды CDKM.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{5}}{4}$$
Скрыть

А) 1) Пусть $$FC\cap DM=L$$. Т.к. $$\alpha \bot ABC$$, то ч/з L пойдет $$LK\bot ABC$$. Пусть $$CB\cap DM=H$$, $$KH\cap SB=R\to \left(DKRM\right)$$ - искомая плоскость.

2) FC равноудалена от ED и AB $$\to $$ т.к. $$ED\parallel AB$$, то $$\angle XDL=\angle LZB$$ (накрест лежащие) $$\to \triangle XDL=\triangle LMZ\to DL=LM\to KL$$ - высота и медиана $$\to $$ $$\triangle DKM$$ - равнобедренный $$\to KM=KD$$.

Б) 1) $$V_{CDKM}=\frac{1}{3}S_{CDKM}\cdot KL$$. $$S_{ABCDEF}=6S_{AOB}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\to S_{MNDCB}=3\sqrt{3}.$$ $$S_{MND}=\frac{1}{2}MN\cdot ND=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$$ $$S_{MBC}=\frac{1}{2}MB\cdot BC{\sin \angle B\ }=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to S_{CDM}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=$$ $$=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

2) $$NX=OL\to LC=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\to \frac{KL}{SO}=\frac{LC}{OC}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$$ (т.к. $$\triangle SOC\sim \triangle KLC$$ по острому углу) - $$SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\to KL=\frac{3\sqrt{15}}{2}\to$$ $$\to V_{CDKM}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{15}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{4}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$x^2{{\log }_{64} (3-2x)\ }\ge {{\log }_2 \left(4x^2-12x+9\right)\ }$$

Ответ: $$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{12}\right];[1;1,5)$$
Скрыть $$x^2{{\log }_{64} (3-2x)\ }\ge {{\log }_2 \left(4x^2-12x+9\right)\ }\leftrightarrow \frac{x^2}{6}{{\log }_2 \left(3-2x\right)\ }-{{\log }_{64} {\left(2x-3\right)}^2\ }\ge 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow $$ т.к. $$3-2x>0$$, то: $$\frac{x^2}{6}{{\log }_2 \left(3-2x\right)\ }-2{{\log }_2 \left(3-2x\right)\ }\ge 0\leftrightarrow (x^2-12)({{\log }_2 (3-2x)\ })\ge 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 3-2x>0 \\ (x^2-12)(3-2x-1)\ge 0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x<1,5 \\ (x-\sqrt{12})(x+\sqrt{12})(x-1)\le 0 \end{array} \right.$$. $$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{12}\right];[1;1,5)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.

Ответ: 4,8
Скрыть

а) По т.о. касательной и хорде $$\angle LCD=\angle CAD$$ (для меньшей) и $$\angle LCD=\angle CED$$ (для большей) $$\to \angle CAD=\angle CED$$, а они накрест лежащие $$\to AD\parallel BE$$.

б) $$\angle CDA$$ и $$\angle EBE$$ - прямоугольные, $$\angle CAD=\angle CED\to \triangle CDA\sim \triangle CBE\to \frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CE}=\frac{AD}{BE}$$. При этом AD и BE - диаметры ($$\angle C$$ - вписан и прямой) $$\to AD=6;BE=8\to \frac{CD}{CB}=\frac{3}{4}$$. Пусть $$CA=CB=x\to CD=\frac{3}{4}x$$. Из $$\triangle ADC:AD^2=CD^2+CA^2\to 36=x^2+\frac{9x^2}{16}\to x^2=\frac{36\cdot 16}{25}\to x=4,8$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

- выплаты в 2026 и 2027 годах равны;

- к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Ответ: 500 т.р.
Скрыть Раз первые 3 года долг не менялся, то платили только проценты, т.е. $$1050\cdot 0,1=105$$ т.р. Пусть крайние 2 выплаты по $$x$$ т.р. Тогда: $$\left(1050\cdot 1,1-x\right)\cdot 1,1-x=0\leftrightarrow 1270,5-2,1x=0\to x=605$$ т.р. Тогда разница: $$605-105=500$$ т.р.
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-a^2x^2} \\ x^2+y^2=8x+4y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$a\in \left(-\infty ;-2\right);(-2;+\infty )$$
Скрыть

$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-a^2x^2} \\ x^2+y^2=8x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 16-y^2\ge 0 \\ 16-y^2=16-{\left(ax\right)}^2 \\ x^2+y^2-8x-4y=0 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} y\in [-4;4] \\ y=ax \\ y=-ax \\ x^2+y^2-8x-4y=0 \end{array} \right.$$

При $$y=ax:x^2+{a^2x}^2-8x-4ax=0\leftrightarrow x\left(x+a^2x-8-4a\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=\frac{4a+8}{a^2+1} \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=0 \\ y=\frac{4a^2+8a}{a^2+1} \end{array} \right.$$.

При $$y=-ax:\ x^2+{a^2x}^2-8x+4ax=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=\frac{-4a+8}{a^2+1} \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=0 \\ y=\frac{4a^2-8a}{a^2+1} \end{array} \right.$$.

Получим: $$\left(0:0\right):\left(\frac{4a+8}{a^2+1};\frac{4a^2+8a}{a^2+1}\right);(\frac{8-4a}{a^2+1};\frac{4a^2-8a}{a^2+1})$$.

При этом $$\left(0:0\right)$$ всегда, т.к. $$y\in [-4;4]$$ выполняется.

Вторая пара существует при: $$-4\le \frac{4a^2+8a}{a^2+1}\le 4\to \left\{ \begin{array}{c} 4a^2+8a\ge -4a^2-4 \\ 4a^2+8a\le 4a^2+4 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 8a^2+8a+4\ge 0 \\ a\le \frac{1}{2} \end{array} \right.\leftrightarrow a\le \frac{1}{2}$$.

Третья пара существует при: $$-4\le \frac{4a^2-8a}{a^2+1}\le 4\to \left\{ \begin{array}{c} 4a^2-8a\ge -4a^2-4 \\ 4a^2-8a\ge 4a^2+4 \end{array} \right.$$$$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 8a^2-8a+4\ge 0 \\ a\ge -\frac{1}{2} \end{array} \right.\leftrightarrow a\ge -\frac{1}{2}$$.

При этом первая и вторая совпадают при $$\frac{4a+8}{a^2+1}=0\to a=-2.$$

Первая и третья: $$\frac{8-4a}{a^2+1}=0\to a=2$$.

Вторая и третья: $$\frac{4a+8}{a^2+1}=\frac{8-4a}{a^2+1}\to a=0$$. т.е. должно быть только 2: $$a\in \left(-\infty ;-2\right);(-2;+\infty )$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы - цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Ответ: а)да б)нет в)$$\frac{232}{21}$$
Скрыть

А) Пусть было три числа $$A,B,C\in N,A\ne B\ne C\le 9$$. Получим $$A\to 10A+3;B\to 10B+7$$. Следовательно, $$\frac{10A+3+10B+7+C}{A+B+C}=8\to 2A+2B+10-7C=0$$. Пусть $$A=2,B=8,C=4\to $$ Да, могла.

Б) Пусть в 1-ой группе $$x$$ чисел, их сумма $$A$$, во 2-ой $$y$$ чисел, сумма $$B$$, в 3-ей $$Z$$ чисел, сумма $$C$$. Тогда $$\frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=17\to 3x+7y=7A+7B+16C.$$ При этом $$A\ge x,B\ge y$$, тогда $$3x+7y<7A+7B\to $$ равенство невозможно.

В) Пусть в 1,2 и 3 группах x, y и 7 чисел соответственно, их сумма $$A,B,C$$. Тогда $$\frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=Q\to \frac{10\left(A+B+C\right)+3x+7y-9C}{A+B+C}=Q\to$$ $$\to Q=10+\frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$ т.к. при переносе чисел из первой или третьей группы во вторую $$A+B+C$$ не меняется, но $$3x+7y-9C$$ увеличивается, то и Q увеличится. Следовательно, $$Q\to max$$, при $$x\to min$$. А $$x_{min}=1$$. $$C\to min$$, т.е. $$Z\to min,\ Z=1(C=1)$$. При этом общее число чисел тогда $$y+2$$. Получим: $$Q=10+\frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$. Т.к. числа разные натуральные, то $$A+B+C\ge 2+1+\frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y$$ (т.к. минимальная сумма будет у подряд идущих натуральных чисел с единицы). Т.е. $$A+B+C\ge 3+\frac{\left(5+y\right)y}{2}$$ или $$A+B+C\ge \frac{y^2+5y+6}{2}=\frac{\left(y+2\right)\left(y+3\right)}{2}$$. Тогда: $$Q=10+\frac{\left(7y-6\right)\cdot 2}{(y+2)(y+3)}$$. Найдем максимальное значение $$\frac{14y-12}{(y+2)(y+3)}=f(y)$$ при $$y\in N$$. $$f'\left(y\right)=\frac{14\left(y^2+5y+6\right)-\left(14y-12\right)\left(2y+5\right)}{{\left((y+2)(y+3)\right)}^2}=0\to $$ $$\to 14y^2+70y+84-28y^2-70y+24y+60=0$$. $$-14y^2+24y+144=0\to -7y^2+12y+72=0\to \frac{D}{4}=540\in ({23}^2;{24}^2)$$. $$\left[ \begin{array}{c} y_1=\frac{-6+\sqrt{540}}{-7} \\ y_2=\frac{-6-\sqrt{540}}{-7}-max \end{array} \right..$$

При этом $$y_2=\frac{6+\sqrt{540}}{7}\approx \frac{6+23}{7}\approx \frac{29}{7}\to y=4$$ или $$y=5$$. При $$y=4:f\left(4\right)=\frac{14\cdot 4-12}{6\cdot 7}=\frac{44}{6\cdot 7}=\frac{22}{21}$$.

При $$y=5:f\left(5\right)=\frac{14\cdot 5-12}{7\cdot 8}=\frac{58}{7\cdot 8}=\frac{29}{28}$$. $$f\left(4\right)>f\left(5\right)\to Q_{max}=10+\frac{22}{21}=\frac{232}{21}.$$