ЕГЭ 2020. Вариант 32. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Скрыть Для 37 кв. м требуется $$270\cdot 37=9990$$ грамм краски. Так как краска продается по 3 кг, т.е. по 3000 грамм, то банок потребуется $$\frac{9990}{3000}=3,33$$, т. е. 4 полных банки.

Скрыть

1. Вычислим цену деления по вертикали: $$(131-130):5\ =\ 0,2$$.

2. На начало марта цена составляла $$134\ +\ 2\cdot 0,2\ =\ 134,4$$. На конец марта 133, цена изменилась на $$134,4\ -\ 133\ =\ 1,4$$.

Скрыть Площадь трапеции можно определить как произведение ее высоты на длину средней линии: $$S=h\cdot l=h\cdot \frac{a+b}{2}$$, где a, b - длины оснований трапеции. Из рисунка видно, что $$h=6-3=3$$, $$a\ =\ 4-2=2$$, $$b\ =\ 10-4=6$$. Получаем площадь трапеции: $$S=3\cdot \frac{2+6}{2}=12$$.

Скрыть Введем два события: А - случайно выбранная клавиатура черного цвета; B - случайно выбранная мышь черного цвета. Так как эти события никак не зависят друг от друга, то они независимы. Нас интересует вероятность $$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$$, то есть, возникновение и события А и события B одновременно. Вероятность события $$P\left(A\right)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$$ (так как на 30 черных клавиатур всего приходится 50 клавиатур), а вероятность $$P\left(B\right)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$$ (на 30 черных мышей всего приходится 50 различных мышей). Вычисляем искомую вероятность, $$P\left(AB\right)=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{25}=0,36$$.

Скрыть Преобразуем выражение, получим: $$\frac{2}{2^{3x}}=2^7\to 3x=-6\to x=-2$$.

Скрыть Так как треугольник ACB равнобедренный, то угол ACB равен углу CAB. Найдем синус угла CAB из прямоугольного треугольника AHC. Синус угла равен отношению противолежащего катета на гипотенузу, т.е. для угла CAB имеем: $${\sin CAB\ }=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25={\sin ACB\ }$$.

Скрыть Значение производной в точке - это тангенс угла наклона касательной к оси OX, проведенной в этой точке. Производная будет принимать нулевые значения в точках максимума и минимума функции $$f(x)$$. Анализируя рисунок, видим, что это точки $$x=-2;-1;0;1;2;3;6;7;8;9$$, т.е. 10 точек.

Скрыть В основании призмы лежит правильный шестигранник. Вершины DEF образуют треугольник в основании призмы. Таких равных треугольников в основании призмы ровно 6 (см. рисунок ниже). Легко показать, что площади треугольников AFO и FOD равны. Например, высота треугольника AFO равна $$\frac{y}{2}$$ (синяя линия к стороне FA на рисунке), а основание $$FA=x$$. Тогда площадь AFO $$S=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{y}{2}=\frac{xy}{4}$$. По аналогии площадь треугольника FOD. У него высота $$\frac{x}{2}$$, проведенная к стороне $$FD=y$$. Получаем площадь: $$S=\frac{1}{2}\cdot y\cdot \frac{x}{2}=\frac{xy}{4}$$. Также из рисунка хорошо видно, что треугольники AFO и DOC равны, и остальные 4 треугольника также равны. Поэтому площадь треугольника DEF равна $$1/6$$ от площади основания призмы: $$\frac{10}{6}$$. В результате получаем объем многогранника: $$V=S\cdot h=\frac{10}{6}\cdot 12=20$$.

Скрыть Вычислим выражение: $${{\log }_8 \frac{144}{2,25}\ }={{\log }_8 64\ }=2$$.

Скрыть Так как скорость батискафа не превышает 5 м/с, то получаем неравенство $$c\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0}\le 5$$ и, подставляя числовые значения, получаем $$1500\cdot \frac{f-299}{f+299}\le 5\to \frac{f+299}{f-299}\ge 300\to f+299\ge 300f-299\cdot 300\to $$ $$\to f\le 301$$. Таким образом, наибольшее значение равно 301 МГц.

Скрыть Сухого вещества изюма в 54 килограммах равно $$54\left(1-0,05\right)=54\cdot 0,95$$. Объем винограда обозначим через $$x$$. Тогда сухого вещества винограда будет $$x\left(1-0,9\right)=x\cdot 0,1$$. Сухого вещества винограда и изюма должны быть равны, т.е. получаем уравнение $$x\cdot 0,1=54\cdot 0,95\to x=513$$.

Скрыть

Вычислим производную от функции, получим $$y'=5x^4-15x^2-20$$.

В точках экстремума функции производная равна нулю, имеем: $$5x^4-15x^2-20\to x^4-3x^2-4=0$$. Решение уравнения дает два корня $$x^2=-1$$ - не принадлежит множеству действительных чисел $$x^2=4\to x=\pm 2$$.

Значение $$x=2\notin \left[-3;1\right]$$ и остается одна точка $$x=-2$$. Вычислим значения функции в точке экстремума -2 и в граничных точках -3 и 1, получим: $$y\left(-3\right)={\left(-3\right)}^5-5{\left(-3\right)}^3+60=-48$$. $$y\left(-2\right)={\left(-2\right)}^5-5{\left(-2\right)}^3+40=48.$$ $$y\left(1\right)=1-5-20=-24.$$ Наибольшее значение функции равно 48.

Скрыть

а) Преобразовываем уравнение, имеем: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{sin}^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{3}{4}\to {\cos 2x\ }=-\frac{1}{2}$$.

Получаем корень уравнения $$2x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\to x_1=\frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$. $$2x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m\to x_2=-\frac{\pi }{3}+\pi m,\ m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$-\frac{5\pi }{3};\ -\frac{4\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}$$.

Скрыть

а) Построение. Точка пересечения N прямых AD и $$D_1E:N=AD\cap D_1E$$, показана на рисунке ниже. Точка $$B$$ - общая точка плоскостей ABC и $$BED_1$$. Плоскости ABC и $$BED_1$$ пересекаются по прямой NB (см. рисунок).

б) На прямой NB отметим точку F такую, что $$AF\bot NB$$. Учитывая, что $$EA\bot ABC$$, следует $$EF\bot NB$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.

Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как $${\tan \angle AFE\ }=\frac{AE}{AF}$$.

По условию задачи $$AE:EA_1=1:2$$, следовательно, $$AE=1$$, а $$EA_1=2$$. Треугольник $$D_1A_1E$$ подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, отрезок . Найдем длину отрезка из прямоугольного треугольника ANB: $$NB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$.

Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB: $$S_{ANB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot NB\cdot AF$$, откуда $$AF=\frac{2}{\sqrt{5}}$$.

Таким образом, $$tg\angle AFE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ и $$\alpha =\angle AFE=arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$.

Скрыть

1. Выполним замену $$7^x=t,t>0$$, получим: $$\frac{2}{t-7}-\frac{5}{t-4}\ge 0\to \frac{2t-8-5t+35}{\left(t-7\right)\left(t-4\right)}\ge 0\to \frac{-3t+27}{(t-7)(t-4)}\ge 0.$$ Разделим последнее выражение на -3: $$\frac{t-9}{\left(t-7\right)\left(t-4\right)}\le 0$$.

2. Получаем следующие точки, делящие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t=9 \\ t\ne 7 \\ t\ne 4 \end{array} \right.$$.

3. Получаем решения неравенства:

Для $$0<7^x<4\to x\in (-\infty ;{{\log }_7 4\ })$$.

Для $$7^1-<7^x<7^{{{\log }_7 9\ }}$$$$\to x\in (1;{{\log }_7 9\ }]$$.

Скрыть

а) По теореме о внешнем угле треугольника $$\angle BOC=2\angle BAO=2\cdot 30{}^\circ =60{}^\circ $$. Поэтому $$\angle BEC+\angle BOC=120{}^\circ +60{}^\circ =180{}^\circ $$.

Значит, точки В, Е, С и О лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы СВЕ и СОЕ опираются на одну и ту же дугу, следовательно, $$\angle CBE=\angle COE$$.

б) По теореме косинусов $$BC=\sqrt{BE^2+CE^2-2BE\cdot CE\cdot {\cos 120{}^\circ \ }}=\sqrt{{40}^2\cdot {24}^2-2\cdot 50\cdot 24\cdot (-\frac{1}{2})}=$$ $$=56$$.

Вписанные углы ВЕО и СЕО опираются на равные хорды ВО и СО, значит, ЕО - биссектриса угла ВЕС. Пусть М - точка её пересечения со стороной ВС. По формуле для биссектрисы треугольника $$EM=\frac{2BE\cdot CE\cdot {\cos \frac{1}{2}\angle BEC\ }}{BE+CE}=\frac{2\cdot 40\cdot 24\cdot {\cos 60{}^\circ \ }}{40+24}=15$$.

По свойству биссектрисы треугольника $$\frac{CM}{BM}=\frac{CE}{BE}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$$, значит, $$CM=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{8}\cdot 56=21$$. $$BM=35$$.

По теореме о произведении пересекающихся хорд $$EM\cdot MO=BM\cdot CM$$, откуда находим, что $$MO=\frac{BM\cdot CM}{EM}=\frac{35\cdot 21}{15}=49$$. Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому $$OK\ =\ OM$$. Следовательно, $$EK=EM+2OM=15+98=113$$.

Скрыть

Условно обозначим через $$S=928000$$ сумму кредита, процентную ставку через $$p=10\%$$, а сумму выплат через $$x$$. Каждый год сумма долга увеличивается на 10\%. Это можно выразить формулой $$S\left(1+\frac{p}{100}\right)=S\cdot m$$, где $$m=(1+\frac{p}{100})$$. Так как сумма выплат в год составляет $$x$$, то долг после первого года будет равен $$S\cdot m-x$$.

Для второго года долг увеличивается на ту же величину и становится равный $$\left(S\cdot m-x\right)\cdot m=Sm^2-xm$$, а долг после двух лет $$Sm^2-xm-x$$.

Для третьего года сумма долга будет равна $$\left(Sm^2-xm-x\right)m=Sm^3-xm^2-xm-x$$. И для четвертого $$Sm^4-xm^3-xm^2-xm-x=0$$ откуда $$x=\frac{Sm^4}{m^3+m^2+m+1}$$. Учитывая, что $$m^3+m^2+m+1=\frac{m^4-1}{m-1}$$, окончательно имеем $$x=\frac{Sm^4\left(m-1\right)}{m^4-1}$$.

Величина m при процентной ставке$$\ p=10\%$$ будет равна $$m=1+\frac{10}{100}=1,1$$ и ежегодные выплаты должны составлять $$x=\frac{9282000\cdot {1,1}^4\cdot 0,1}{{1,1}^4-1}=2928200$$ рублей.

Скрыть

Рассмотрим функции $$f\left(x\right)=ax-3,\ g\left(x\right)=\left|\frac{7}{x}-4\right|$$. Исследуем уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$. 

При $$a\le 0$$ все значения функции $$f(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ отрицательны, а все значения функции $$g(x)$$ - неотрицательны, поэтому при $$a\le 0$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ не имеет решений на промежутке $$(0;+\infty )$$.

При $$a>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает. Функция $$g(x)$$ бывает на промежутке $$(0;\frac{7}{4}]$$, поэтому уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ имеет не более одного решения на промежутке $$(0;\frac{7}{4}]$$, причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда $$f(\frac{7}{4})\ge g(\frac{7}{4})$$, откуда получаем $$a\cdot \frac{7}{4}-3\ge 0$$, то есть $$a\ge \frac{12}{7}$$.

На промежутке$$\ (\frac{7}{4};+\infty )$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ принимает вид $$ax-3=4-\frac{7}{x}$$. Это уравнение сводится к уравнению $$ax^2-7x+7=0$$. Будем считать, что $$a>0$$, поскольку случай $$a\le 0$$ был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения $$D=49-28a$$, поэтому при $$a>\frac{7}{4}$$ это уравнение не имеет корней; при $$a=\frac{7}{4}$$ уравнение имеет единственный корень, равный 2; при $$0<a<\frac{7}{4}$$ уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня $$x_1,\ x_2$$, то есть $$0<a<\frac{7}{4}$$, то больший корень $$x_2=\frac{7+\sqrt{D}}{2a}>\frac{7}{2a}>2>\frac{7}{4}$$, поэтому он принадлежит промежутку $$(\frac{7}{4};+\infty )$$. Меньший корень $$x_1$$ принадлежит промежутку $$(\frac{7}{4};+\infty )$$ тогда и только тогда, когда $$a\left(x_1-\frac{7}{4}\right)\left(x_2-\frac{7}{4}\right)=a{\left(\frac{7}{4}\right)}^2-7\cdot \frac{7}{4}+7=\frac{7\left(7a-12\right)}{16}>0$$ то есть $$a>\frac{12}{7}$$.

Таким образом, уравнение $$\left|\frac{7}{x}-4\right|=ax-3$$имеет следующее количество корней на промежутке $$(0;+\infty )$$:

- нет корней при $$a\le 0$$;

- один корень при $$0<a<\frac{12}{7},\ a>\frac{7}{4}$$;

- два корня при $$a=\frac{12}{7},\ a=\frac{7}{4}$$;

- три корня при $$\frac{12}{7}<a<\frac{7}{4}$$;

Скрыть

а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 9 или больше. Тогда девочек было 7 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 4 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше $$\frac{4}{4+7}=\frac{4}{11}$$, что больше $$\frac{3}{10}$$. Аналогично кино посетило не более 5 мальчиков, поскольку $$\frac{6}{6+7}=\frac{6}{13}>\frac{5}{12}$$, но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе - 8.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой - только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе $$m_1$$ мальчиков, посетивших театр, $$m_2$$ мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

По условию $$\frac{m_1}{m_1+d}\le \frac{3}{10},\ \frac{m_2}{m_2+d}\le \frac{5}{12}$$, значит, $$\frac{m_1}{d}\le \frac{3}{7},\ \frac{m_2}{d}\le \frac{5}{7}$$. Тогда $$\frac{m_1+m_2}{d}\le \frac{8}{7}$$, поэтому доля девочек в группе: $$\frac{d}{m_1+m_2+d}=\frac{1}{\frac{m_1+m_2}{d}+1}\ge \frac{1}{\frac{8}{7}+1}=\frac{7}{15}$$.

Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 7 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна $$\frac{7}{15}$$.