ЕГЭ 2020. Вариант 12. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

В университетскую библиотеку привезли новые учебники для четырёх курсов, по 360 штук для каждого курса. В книжном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Какое наименьшее количество шкафов потребуется, чтобы в них разместить все новые учебники?

На рисунке жирными точками показана средняя температура воздуха в Мурманске во все дни апреля 2018 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — средняя температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки на рисунке соединены линией.

Определите, сколько дней в апреле 2018 года средняя температура в Мурманске была меньше 1,5 градуса Цельсия.

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Из ящика, в котором лежат фломастеры, не глядя достали два фломастера. Найдите вероятность того, что эти фломастеры оказались одного цвета, если известно, что в ящике 12 синих и 13 красных фломастеров.

Найдите корень уравнения: $$8^{x-3}=16^{2x}$$

Два угла треугольника равны 68° и 35°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображён график функции $$y=f(x)$$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂, ... , x₈. Найдите количество точек, в которых производная функции $$f(x)$$ положительна.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Найдите значение выражения: $$\frac{10\cos 105^{\circ}}{\sin 15^{\circ}\cdot 60^{\circ}}$$

На автомобильной шине с помощью специальной маркировки указаны её размеры. Например, 265/60R18. Первое число означает ширину шины B в миллиметрах (см. рис.). Второе число означает отношение высоты профиля шины H к ширине шины в процентах. Буква означает конструкцию шины (R — радиальный тип), а последнее число означает диаметр обода колеса d в дюймах. На автомобиль «Лада-Калина» завод устанавливает шины с маркировкой 185/60R14. Найдите диаметр колеса D этого автомобиля. В одном дюйме 25,4 мм. Ответ дайте в сантиметрах с округлением до целого.

Автомобиль выехал с постоянной скоростью 72 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 246 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 221 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 35 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

Найдите наименьшее значение функции $$y=5x-\ln(5x)+12$$ на отрезке $$[\frac{1}{10};\frac{1}{2}]$$

а) Решите уравнение $$\sin x+\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}-2x)=\cos 2x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[4\pi;\frac{11\pi}{2}]$$

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной 8, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M - середина BC.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB=4, BC=6 и SC=$$4\sqrt{2}$$.

Решите неравенство $$20\log_{4}^{2}(\cos x)+4\log_{2}(\cos x)\leq 1$$

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=1/2 KN. Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и $$\angle BCM=30^{\circ}$$.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн рублей.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} (ay-ax+2)(y-x+3a)=0\\ |xy|=a \end{matrix}\right.$$

имеет ровно восемь решений.

Известно, что в кошельке лежало п монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Таня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рубля и ручки за 31 рубль, если n=16?

б) Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n=26?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Таня купила только альбом за 96 рублей и n=19?

Найдите значение выражения $$\left(3\frac{1}{8}-1,5\right):\frac{1}{56}$$

В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 2400 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

На диаграмме приведены данные о численности населения в Вологде на конец каждого года с 2000 года по 2018 год (в тыс. чел.).

Определите, на сколько тысяч человек выросла численность населения в Вологде за период с конца 2008 года по конец 2018 года.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.

Всего в группе туристов 51 человек, в том числе Иван и Егор. Группу случайным образом делят на три подгруппы по 17 человек для посадки в три автобуса. Известно, что Иван оказался в третьем автобусе. Какова вероятность того, что при этом условии Егор окажется в первом автобусе?

Найдите корень уравнения $${0,2}^{5+4x}=125$$

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, $$AB\ =\ 8,\ BC\ =\ 5\ и\ CD\ =\ 27.$$ Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

На рисунке изображён график $$y=\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-3; 8). В какой точке отрезка [-2; 3] функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$27\sqrt{2}.$$ Найдите площадь боковой поверхности конуса.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $$C\ =\ 5\cdot {10}^{-6}$$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $$R=6\cdot {10}^6$$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $$U_0\ =\ 34\ $$кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $$U$$ (кВ) за время, определяемое выражением $$t\ =\ aRC{log}_2\frac{U_o}{U}$$ (с), где $$\alpha \ =1,7$$ - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла 51 с. Ответ дайте в киловольтах.

Плиточник должен уложить 120 м$${}^{2}$$ плитки. Если он будет укладывать на 8 м$${}^{2}$$ в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 4 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Найдите точку максимума функции $$y\ =\ x^3\ +\ 18x^2\ +\ 81x\ +\ 23.$$

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^2 x\ }-3\sqrt{3}{\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }-5=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi }{2};-\pi ]$$

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка К, причём $$SK:\ KC=1:3.$$ Плоскость $$\alpha $$ содержит точку К и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha $$ - трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием - сечение пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha $$.

Решите неравенство $${log}_2\left(18-9x\right)-{log}_2\left(x+2\right)>{log}_2(x^2-6x+8)$$

Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Е.

а) Докажите, что $$\angle EOC=\ \angle ECO.$$

б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен $$6\sqrt{3},\ \angle ABC\ =\ 60{}^\circ .$$

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$\frac{\left|x-6\right|+a-6}{x^2-10x+a^2}=0$$ имеет ровно два различных корня.

В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?