Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 2. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Решаем 2 вариант Ященко 2020 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 задания. Решаем 2 вариант Ященко 2020 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 задания.
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10 % от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 2400 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

Ответ: 2640
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме приведены данные о численности населения в Вологде на конец каждого года с 2000 года по 2018 год (в тыс. чел.).

Определите, на сколько тысяч человек выросла численность населения в Вологде за период с конца 2008 года по конец 2018 года.

Ответ: 26
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1*1 изображён четырёхугольник. Найдите его площадь

Ответ: 27
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Всего в группе туристов 51 человек, в том числе Иван и Егор. Группу случайным образом делят на три подгруппы по 17 человек для посадки в три автобуса. Известно, что Иван оказался в третьем автобусе. Какова вероятность того, что при этом условии Егор окажется в первом автобусе?

Ответ: 0,34
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$0,2^{5+4x}=125$$
Ответ: -2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=8, BC=5 и CD=27. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Ответ: 30
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-3;8). В какой точке отрезка [-2; 3] функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 3
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$27\sqrt{2}$$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: 27
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$(3\frac{1}{8}-1,5):\frac{1}{56}$$
Ответ: 91
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $$C=5\cdot 10^{-6}$$Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $$R=6\cdot 10^{6}$$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $$U_{0}$$ = 34 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением $$t=\alpha RC\log_{2}\frac{U}{U_{0}}$$(c), где $$\alpha$$=1,7 — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла 51 с. Ответ дайте в киловольтах.

Ответ: 17
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Плиточник должен уложить 120 м2 плитки. Если он будет укладывать на 8 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 4 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Ответ: 12
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=x^{3}+18x^{2}+81x+23$$
Ответ: -9
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$2\sin^{2}x-3\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2}+x)-5=0$$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$$
Ответ: а)$$\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,n \in Z$$ б)$$-\frac{7\pi}{6}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK:KC=1:3. Плоскость а содержит точку K и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SACD плоскостью $$\alpha$$ — трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием — сечение пирамиды SABCD Б плоскостью $$\alpha$$.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{8}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$\log_{2}(18-9x)-\log_{2}(x+2)>\log_{2}(x^{2}-6x+8)$$
Ответ: $$(-2;1)\cup (1;2)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке E.

а) Докажите, что $$\angle EOC=\angle ECO$$.
б) Найдите площадь треугольника ACE, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $$6\sqrt{3}$$, $$\angle ABC=60$$.
Ответ: $$27\sqrt{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Ответ: 1,6 млн. руб.
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{|x-6|+a-6}{x^{2}-10x+a^{2}}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$(-\infty;0)\cup (0;3)\cup$$$$(3;4)\cup (4;5)\cup$$$$(5;6)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Ответ: нет; нет; 240 гр.
Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Диагональ экрана смартфона равна 5,7 дюйма. Выразите диагональ экрана в сантиметрах. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до десятых.

Ответ: 14,5
Скрыть Т.к. 1 дюйм это 2,54 см, то 5,7 дюйма: $$5,7\cdot 2,54\approx 14,5$$ см.
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

На диаграмме показан уровень инфляции в России в 2019 году на конец каждого месяца. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - уровень инфляции (в процентах) с начала года на конец указанного месяца. Сколько месяцев в 2019 году инфляция в России была отрицательной?

Ответ: 2
Скрыть Т.к. указано с начала года на конец текущего месяца, то отрицательная будет в те месяцы, где значение стало меньше, чем в предыдущем, т.е. в августе и сентябре $$\to $$ 2 месяца.
Аналоги к этому заданию:

Задание 22

В классе 26 учащихся, среди них три подружки - Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.

Ответ: 0,22
Скрыть В одной группе 13 человек. Вероятность, что Оля попадет в какую-то группу из двух $$\frac{13}{26}$$ (13 мест, 26 претендентов), что туда попадет Аня $$\frac{12}{25}$$ (12 осталось мест и 25 человек), Юля: $$\frac{11}{24}$$. Что три девочки в одну из двух групп: $$\frac{13}{26}\cdot \frac{11}{24}\cdot \frac{12}{25}=\frac{11}{100}$$. Группы две, поэтому вероятность, что в одну в целом $$2\cdot \frac{11}{100}=0,22$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Найдите корень уравнения $$\frac{1}{5x-14}=\frac{1}{4x-3}$$.

Ответ: 11
Скрыть $$\frac{1}{5x-14}=\frac{1}{4x-3}\leftrightarrow 5x-14=4x-3\leftrightarrow 5x-5x=-3+14\leftrightarrow x=11.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В треугольнике АВС высота СН равна 6, АВ = ВС, АС = 8. Найдите синус угла АСВ.

Ответ: 0,75
Скрыть Т.к. $$AB=BC$$, то $$\angle HAC=\angle BAC=\angle ACB\to {\sin ACB\ }={\sin HAC\ }=\frac{HC}{AC}=\frac{6}{8}=0,75$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 25

На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$, определённой на интервале (-5; 9). Найдите количество решений уравнения $$f'(x) = 0$$ на отрезке [-2; 8].

Ответ: 7
Скрыть $$f'(x)\ =\ 0$$ там, где точки перегиба (отмечены на рисунке) $$\to $$ 8 точек, но на интервале [-2; 8] их 7 штук.
Аналоги к этому заданию:

Задание 26

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми $$ВB_1$$ и $$AC_1$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть $$BB_1\parallel CC_1\to $$ угол м/у $$AC_1$$ и $$CC_1$$, т.е. $$\angle ACC_1$$. $$\triangle ACC_1$$ - прямоугольный и равнобедренный $$\to \ \angle ACC_1=45{}^\circ $$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 27

Найдите значение выражения $$\frac{{{\log }_9 32\ }}{{{\log }_{27} 0,5\ }}$$
Ответ: -7,5
Скрыть $$\frac{{{\log }_9 32\ }}{{{\log }_{27} 0,5\ }}=\frac{{{\log }_{3^2} 2^5\ }}{{{\log }_{3^3} 2^{-1}\ }}=\frac{\frac{5}{2}{{\log }_3 2\ }}{-\frac{1}{3}{{\log }_3 2\ }}=-\frac{5}{2}\cdot \frac{3}{1}=-7,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 28

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$а\ =\ 6500$$ км/ч$${}^{2}$$. Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=\sqrt{2la}$$, где l - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 130 км/ч.
Ответ: 1,3
Скрыть Подставим известные в формулу: $$130=\sqrt{2l\cdot 6500}\leftrightarrow 16900=13000l\to l=\frac{16900}{13000}=1,3$$ км.
Аналоги к этому заданию:

Задание 29

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 416 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 21 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 50 часов. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 5
Скрыть

Пусть $$x$$ км/ч - скорость течения реки. В пути теплоход был $$50-8=42$$ часа. Тогда: $$\frac{416}{21+x}+\frac{416}{21-x}=42\leftrightarrow 416\cdot 21-416x+416\cdot 21+416x=42(441-x^2)\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 42\cdot 416=\left(441-x^2\right)\cdot 42\leftrightarrow 416=441-x^2\leftrightarrow x^2=25\to x=5$$ км/ч (отрицательной быть не может)

Аналоги к этому заданию:

Задание 30

Найдите точку максимума функции $$y=\left(5x-6\right){\cos x\ }-5{\sin x\ }-8$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi }{2})$$

Ответ: 1,2
Скрыть Найдем производную $$y'=(5x-6)' {\cos x\ }+(5x-6)({\cos x\ })'-5{\cos x\ }\to $$ $$\to 5{\cos x\ }-5x{\sin x\ }+6{\sin x\ }-5{\cos x\ }=0\to {\sin x\ }\left(6-5x\right)=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ 6-5x=0 \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=1,2 \end{array} \right.\right.$$. На $$(0;\frac{\pi }{2})$$ точка максимума $$x=1,2$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 31

а) Решите уравнение $${\cos 2x\ }-\sqrt{2}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }-1=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{3\pi }{2};3\pi ]$$

Ответ: а)$$\pi n,n\in Z; -\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z; -\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z$$ б)$$1)\ 2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};2\pi ;3\pi $$
Скрыть

а) $${\cos 2x\ }-\sqrt{2}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }-1=0\leftrightarrow 1-2{{\sin }^2 x\ }-\sqrt{2}{\sin x\ }-1=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\rm -2}{\sin x\ }\left({\sin x\ }+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \end{array} \right.$$.

б) С помощью единичной окружности отберем корни: $$1)\ 2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};2\pi ;3\pi $$

Аналоги к этому заданию:

Задание 32

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA=\sqrt{21},\ SB=\sqrt{85},\ SD=\sqrt{57}$$.

а) Докажите, что SA - высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Ответ: $$arccos\frac{14}{55}$$
Скрыть

а) Заметим, что $$SA^2+AB^2=21+64=85=SA^2\to SA\bot AB$$. $$SA^2+AD^2=21+36=57=SD^2\to SA\bot AD\to SA\bot \left(ABCD\right).$$

б) Пусть $$AC\cap DB=H$$. Т.к. $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$AH=HC$$. $$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=10\to AH=5$$. Из $$H$$ проведем среднюю линию $$\triangle SAC\to HK\parallel SC\to SC\wedge BD=HK\wedge BD$$. $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=\sqrt{121}\to KH=\frac{\sqrt{121}}{2}=\frac{11}{2}.$$ $$DH=\frac{DB}{2}=\frac{AC}{2}=5. DK=\sqrt{DA^2+AK^2}=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}. $$ $${\cos KHD\ }=\frac{KH^2+DH^2-DK^2}{2\cdot KH\cdot DH}=\frac{\frac{121}{4}+25-\frac{165}{4}}{2\cdot \frac{11}{2}\cdot 5}=\frac{221-165}{4\cdot 11\cdot 5}=\frac{14}{55}\to $$ $$\to \angle KHD=arccos\frac{14}{55}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 33

Решите неравенство $$x^2{{\log }_{243} (-x-3)\ }\ge {{\log }_3 (x^2+6x+9)\ }$$

Ответ: $$x<-3$$: $$x\in \left(-\infty ;-4\right]\cup [-\sqrt{10};-3)$$
Скрыть $$x^2{{\log }_{243} (-x-3)\ }\ge {{\log }_3 (x^2+6x+9)\ }\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -x-3>0 \\ x^2+6x+9>0 \\ x^2{{\log }_{3^5} (-x-3)\ }-{{\log }_3 {\left(x+3\right)}^2\ }\ge 0 \end{array} \right.\to$$ $$\to \left\{ \begin{array}{c} x<-3 \\ \frac{x^2}{5}{{\log }_3 (-x-3)\ }-2{{\log }_3 \left|x+3\right|\ }\ge 0(1) \end{array} \right.$$ $$(1) \frac{x^2}{5}{{\log }_3 (-x-3)\ }-2{{\log }_3 \left(-x-3\right)\ }\ge 0\leftrightarrow {{\log }_3 \left(-x-3\right)\ }(\frac{x^2}{5}-2)\ge 0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow (-x-3-1)(3-1)(x^2-10)\ge 0\leftrightarrow (x+4)(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\le 0. $$ С учетом, что $$x<-3$$: $$x\in \left(-\infty ;-4\right]\cup [-\sqrt{10};-3)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 34

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны $$\sqrt{15}$$ и 15.

Ответ: 7,5
Скрыть

а) $$\angle ACD=\angle BCE$$ - вертикальные, $$\angle ACD=180{}^\circ -\angle ACB=90{}^\circ \to AD$$ и $$BE$$ - диаметры. Пусть LC - общая касательная: $$\angle LCB=\alpha \to \angle CEB=\alpha $$ (вписанный и м/у хордой и касательной, опирающиеся на одну дугу). $$\angle ACL=90-\alpha =\angle ADC\to \angle DAC=\alpha =\angle CEB\to AD\parallel BE$$ и $$\triangle ADC\sim \triangle CEB$$.

б) $$\frac{AD}{BE}=\frac{2\sqrt{15}}{2\cdot 15}=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{AC}{CE}$$, но $$AC=CB\to \frac{CB}{CE}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$. Пусть $$CB=x\to CE=\sqrt{15}x\to $$ по теореме Пифагора: $$CB^2+CE^2=BE^2\leftrightarrow x^2+15x^2={\left(15\cdot 2\right)}^2\to x^2=\frac{{15}^2\cdot 2^2}{16}\to x=7,5$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 35

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 220 тыс. рублей;

- выплаты в 2026 и 2027 годах равны;

- к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тыс. рублей.

Ответ: 20
Скрыть

Т.к. в первые три года долг не меняется, то выплачивали только проценты.

Т.е. $$\frac{220}{100}\cdot r$$ тыс. р. Пусть платежи в последние два года по $$x$$ тыс. руб. Тогда: $$\left\{ \begin{array}{c} \left(220\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\right)\left(1+\frac{r}{100}\right)-x=0 \\ \frac{220}{100}r\cdot 3+2x=420 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left(\left(220+\frac{22r}{10}\right)-210+\frac{33r}{10}\right)\left(1+\frac{r}{100}\right)-210+\frac{33r}{10}=0 \\ x=210-\frac{33r}{10} \end{array} \right.$$. Пусть $$\frac{r}{10}=a:\left(220+22a-210+33a\right)\left(1+\frac{a}{10}\right)-210+33a=0$$. $$\left(10+55a\right)\left(1+\frac{a}{10}\right)-210+33a=0\leftrightarrow 10+a+55a+5,5a^2-210+33a=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 5,5a^2+89a-200=0\to D=111\to \left[ \begin{array}{c} a_1=\frac{-89+111}{11}=2 \\ a_2<0 \end{array} \right.\leftrightarrow r=20$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 36

Найдите все значения $$а$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$\to a\in [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$
Скрыть $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} a-y^2=a-x^2 \\ x^2\le a \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} y=x \\ y=-x \\ -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a} \\ y=x \\ y=-x \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2 \end{array} \right..$$ $$y=x$$ и $$y=-x$$ - прямые - биссектрисы углов 1-4 четвертей. $${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2$$ - окружность с центром (1;2) и $$r=\sqrt{5}$$. При этом будет 3 точки пересечения (0;0); (-1;1) и (3;3). Чтобы было ровно 2 решения (-1;1) или (3;3) должны не удовлетворять условию $$-\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}\to $$ При $$\sqrt{a}\ge 1$$ точка (-1;1) входит всегда, но пока $$\sqrt{a}<3$$, точка (3;3) не входит $$\to a\in [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 37

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы - цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Ответ: а) да б) нет в) 11
Скрыть

а) Пусть в первой группе $$x$$ чисел суммой $$A$$, во второй: $$y$$ суммой $$B$$ и в третьей $$Z$$ суммой $$C$$. Тогда: $$A\to 10a+x\cdot 1;B\to 10B+8y;C\to C.\ 10A+x+10B+8y+C=4(A+B+C)$$ $$\to x+8y=3C-6A-6B$$. $$\frac{x+8y}{3}=C-2A-2B$$. Пусть $$x=1;y=4$$. (1 и 2;3;4;5) тогда: $$\frac{1+32}{3}=C-2-2\cdot 14\leftrightarrow 11=C-30\to C=41$$, т.е. в третьей одно число 41 $$\to $$ может.

б) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=18A+18B+18C\to x+8y=8A+8B+17C$$. Но $$x\le A$$ и $$y\le B\to x+8y\le A+8B\to $$ т.к. $$A,B,C\in N$$, то не может.

в) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=11A+11B+11C\to x+8y=A+B+10C\to $$ Необходимо, чтобы $$x+y+z\to max$$. Сумма справа больше при $$y\to max$$. Тогда $$x=z=1$$.

И: 1) $$x=z=1;A=1;C=2$$. Тогда: $$1+8y\le 1+B+20\to 8y\le B+20$$. При этом минимальная сумма справа при $$B\to min$$, то есть сумма $$y$$ - последовательных натуральных чисел с 3. $$8y\le \frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y+20\leftrightarrow y^2-11y+40\le 0\to D<0\to $$ решений нет.

2) $$x=z=1:A=2;C=1$$. Тогда: $$1+8y\le 2+B+10\to 8y\le B+11\leftrightarrow 8y\le \frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y+11\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow y^2-11y+22\le 0:D=33\to \left[ \begin{array}{c} y_1=\frac{11+\sqrt{33}}{2}\in (8;9) \\ y_2=\frac{11-\sqrt{33}}{2} \end{array} \right.$$.

Тогда $$y\le 8\to y=8$$. Тогда всего чисел 10. Приведем пример: Пусть 1-ая группа: 2, третья: 1; вторая: 3,4,5,6,7,8,9,m. Получим: $$1+8\cdot 8=2+42+m+10\leftrightarrow m=65-54=11$$.