Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2022. Вариант 16 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.



ЕГЭ 2022, полный разбор 16 варианта Ященко ФИПИ школе 36 вариантов. Решаем типовые варианты от Ященко 2022 года ЕГЭ профиль!

Решаем 16 вариант Ященко 2022 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 задания.

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите корень уравнения $$\sqrt{-x}=x+6.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ: -4
Скрыть

$$\sqrt{-x}=x+6\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -x=(x+6)^2\\ x+6\geq0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2+12x+36+x=0\\ x\geq-6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2+13+36=0\\ x\geq-6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x=-4; -9\\ x\geq-6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В магазине в одной коробке лежат вперемешку ручки с чёрными, синими и красными чернилами, одинаковые на вид. Покупатель случайным образом выбирает одну ручку. Вероятность того, что она окажется чёрной, равна 0,36, а того, что она окажется красной, равна 0,26. Найдите вероятность того, что ручка окажется синей.

Ответ: 0,38
Скрыть Сумма всех вероятностей равна 1, тогда вероятность того, что ручка окажется синей равна $$p=1-0,36−0,26=0,38 .$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол BAD равен 127°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 53
Скрыть

Вписанный угол BAD опирается на большую дугу BD, а вписанный угол BCD – на меньшую дугу BD. Градусная мера меньшей дуги BD, равна:

$$BD=360^{\circ}-2\cdot\angle BAD=360^{\circ}-2\cdot127^{\circ}=106^{\circ}$$

Следовательно, угол BCD, равен:

$$\angle BCD=\frac{1}{2}AD=\frac{106}{2}=53^{\circ}$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\cos\alpha $$, если $$tg\alpha =\frac{\sqrt{91}}{3}$$ и $$\alpha \in (\pi ;\frac{3\pi }{2})$$

Ответ: -0,3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известно, что $$АВ = 9, ВС = 8, AA_1 = 6.$$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A, В, С, B_1$$

Ответ: 72
Скрыть

Многоугольник с вершинами $$A,B,C,B_1$$ треугольная пирамида, объём находится по формуле:

$$V=\frac{1}{3}S\Delta h$$

Высота это $$BB_1=AA_1=6$$

Площадь основания - прямоугольного треугольника $$ABC:$$

$$S_\Delta=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot9\cdot8=9\cdot4=36$$

Объём многоугольника:

$$V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot6=12\cdot6=72$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображён график функции $$у = f(x).$$ Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -4. Найдите значение производной функции в точке $$х_0 = -4.$$

Ответ: -0,75
Скрыть

$$​f'(−4)=\tan \beta=\frac{3}{4}$$​

$$\tan \alpha=−\tan \beta=−0,75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $$f = 60 см.$$ Расстояние $$d_1$$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 см до 115 см, а расстояние $$d_2$$ от линзы до экрана — в пределах от 140 см до 160 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$$

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ: 96
Скрыть

Поскольку $$f=60:$$

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}\Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{1}{60}-\frac{1}{d_2}$$

По условию расстояние до лампочки $$d_1$$ должно быть наименьшим, тогда выражение $$\frac{1}{d_1}$$ будет наибольшим, чтобы оно было наибольшим, в правой части должны вычитать как можно меньше $$\frac{1}{d_1},$$ тогда $$d_2$$ должно быть максимальным, т. е. $$d_2=160.$$

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{60}-\frac{1}{160}$$

$$\frac{1}{d_1}=\frac{8-3}{480}$$

$$\frac{1}{d_1}=\frac{5}{480}$$

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{96}$$

$$d_1=96$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 35 минут, второй и третий — за 40 минут, а первый и третий — за 56 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Ответ: 28
Скрыть

По условию задачи насосы работают совместно, заполняя бассейн водой. За одну минуту они заполнят

$$\frac{\frac{1}{35}+\frac{1}{40}+\frac{1}{56}}{2}=\frac{1}{28}$$ бассейна

Здесь деление на 2 в дроби позволяет избавиться от дублирования насосов, указанных в условии задачи. В итоге, полностью заполнить бассейн водой они смогут за $$\frac{1}{1/28}=28 минут.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображён график функции $$f(x)=\frac{k}{x+a}.$$ Найдите значение х, при котором $$f(x)=-0,2.$$

Ответ: -13
Скрыть

Вертикальная асимптота графика гиперболы проходит через точку $$x=2,$$ следовательно, параметр $$a=-2.$$

Второй параметр k вычислим из координаты точки $$(-1; -1)$$ на графике:

$$-1=\frac{k}{-1-2}\Rightarrow k=3$$

 

Получаем график гиперболы:

$$f(x)=\frac{3}{x-2}$$

Найдем точку x, при которой $$f(x)=-0,2:$$

$$-\frac{1}{5}=\frac{3}{x-2}\Rightarrow x=-3\cdot5+2=-13$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,4 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,9?
Ответ: 5
Скрыть

Рассчитаем шансы попаданий:

Попадание с первого раза: $$0,4$$

Попадание со второго раза: $$0,4+0,6\cdot0,4=0,64$$

Попадание с третьего раза: $$0,64+0.36\cdot0,4=0,744$$

Попадание с четвертого раза: $$0,744+0,256\cdot0.4=0,8464$$

Попадание с пятого раза: $$0,8464+0,1536\cdot0,4=0,90784$$

Значит нужно дать стрелку $$5$$ патронов, и тогда при самом худшем раскладе с пятого раза он точно попадет в цель

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=(x-6)e^{7-x}$$ на отрезке $$[2; 15].$$
Ответ: 1
Скрыть

$$y'=e^{7-x}-e^{7-x}\cdot(x-6)=e^{7-x}\cdot(1-x+6)=e^{7-x}\cdot(7-x)=0,$$  так как $$e^{7-x}\neq0,$$ то $$7-x=0\Leftrightarrow x=7.$$

На промежутке $$(-\infty;7) y'>0$$ и функция возрастает, на промежутке $$(7;+\infty) y'<0$$ и функция убывает. Значит, наибольшее значения будет в точке $$х=7,$$ которая принадлежит данному отрезку. Найдем это значение:

$$y(7)=(7-6)*e^{7-7}=1 $$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

а) Решите уравнение $$\sin^2(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4})\sin^2(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{4})=0,375\sin^2(-\frac{\pi}{4}).$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-З\pi;\pi].$$

Ответ: $$а) -\frac{\pi}{3}+2\pi k, \frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in Z$$ $$б) -\frac{7\pi}{3};-\frac{5\pi}{3};-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}$$
Скрыть

а)

$$2\sin^2(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4})\cdot2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{4})=\frac{3\cdot4}{8}\cdot(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$$

$$(1-\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}))(1-\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}))=\frac{3}{4}$$

$$(1+\sin\frac{x}{2})(1-\sin\frac{x}{2})=\frac{3}{4}$$

$$1-\sin^2\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$$

$$\cos^\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$$

$$\left[\begin{matrix} \cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$$

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$$

б)

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ сторона основания $$АВ$$ равна 6, а боковое ребро $$АА_1$$ равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре $$DD_1$$ отмечена точка $$М$$ так, что $$DM:MD_1=2:3.$$ Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой $$A_1F_1$$ и проходит через точки $$М$$ и $$В.$$

а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$A_1.$$ а основанием — сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha.$$

Ответ: 189
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$(5\cdot0,2^{x+0,5}-0,2\cdot5^{x+0,5})(0,5\log^2_{0,2}(x+0,5)-2\log_5 (х + 0,5))>0.$$
Ответ: $$(-0,5; 0,5); (0,5; 624,5)$$
Скрыть

$$(5\cdot5^{-x-0,5}-5^{x-0,5})(0,5\log^2_{0,2}(x+0,5)+2\log_{0,2} (х + 0,5))>0$$

$$(5^{0,5-x}-5^{x-0,5})(\log_{0,2}(x+0,5)(0,5\log_{0,2} (х + 0,5)+2))>0$$

Метод рационализации.

На всей ОДЗ выражение $$a^{f_1(x)}-a^{f_2(x)}$$ совпадает по знаку с $$(a-1)(f_1(x)-f_2(x)),$$ выражение $$\log_a b$$ совпадает по знаку с $$(a-1)(b-1),$$ выражение $$\log_{y(x)}f_1(x)-\log_{y(x)}f_2(x)$$ совпадает по знаку с $$(\varphi(x)-1)(f_1(x)-f_2(x)).$$

В данном случае:

1) $$5^{0,5-x}-5^{x-0,5}$$ заменим $$(0,5-x-x+0,5)$$

2) $$\log_{0,2}(x+0,5)$$ заменим $$(0,2-1)(x-0,5)$$

3) $$0,5\log_{0,2}(x+0,5)+2$$ совпадает по знаку с $$(\log_{0,2}(x+0,5)+4)=\log_{0,2}(x+0,5)-\log_{0,2}0,2^{-4},$$ последнее совпадает по знаку с выражением $$(0,2-1)(x+0,5-0,2^{-4})\Rightarrow (-0,8)(x-624,5)$$

Данное неравенство примет вид:

$$(1-2x)(-0,8)(x-0,5)(-0,8)(x-624,5)>0$$

Осталось решить его при ОДЗ $$x>-0,5$$

$$\left\{\begin{matrix} x>-0,5\\ (1-2x)(x-0,5)(x-624,5)>0 \end{matrix}\right.$$

$$x\in (-0,5; 0,5); (0,5; 624,5)$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

15 января планируется взять кредит в банке на 3 года.

Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за 24-й месяц кредитования нужно выплатить 45,2 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 1706400
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, а угол BDC равен $$22,5^{\circ}$$. Точка Р лежит вне прямоугольника, а угол ВРС равен $$135^{\circ}$$.

а) Докажите, что углы BСР и РОВ равны.
б) Прямая РО пересекает сторону ​​​​​​​AD в точке F. Найдите DF, если $$ВР=7$$ и $$СР=5\sqrt{2}$$.
Ответ: $$91(5\sqrt{2}-7)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения а, при каждом из которых среди корней уравнения

$$x^2-10x+35=a\left |x-6\right |$$

будет ровно два положительных.

Ответ: $$(2\sqrt{11}-2; 5\frac{5}{6}); 2+2\sqrt{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

У Коли в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 25 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 30 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.

а) Может ли у Коли быть 50 монет?

б) Какое наибольшее количество монет может быть у Коли?

в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Коли?

Ответ: а) нет; б) 36; в) 182
Скрыть

а) Если у Коли 50 монет, то среди них должно быть минимум $$50-20+1=31$$ двух рублевых. Иначе может возникнуть ситуация, когда среди 20 монет не окажется ни одной двухрублевой. По аналогии:

- 5-рублёвых: $$50-25+1=26$$

- 10-рублёвых: $$50-30+1=21$$

В сумме получаем минимум: $$31+26+21>50$$ монет.

б) Пусть $$n$$ – максимальное число монет. Тогда:

- 2-рублёвых: $$n-20+1$$

- 5-рублёвых: $$n-25+1$$

- 10-рублёвых: $$n-30+1$$

В сумме число монет должно быть $$n.$$ Получаем уравнение:

$$(n-20+1)+(n-25+1)+(n-30+1)=n$$

$$2n=72$$

$$n=36$$

в) Очевидно, что максимальная сумма достигается при максимальном числе 10-рублевых монет. Это, в свою очередь возможно при минимальном числе монет, то есть 30. Для этого случая, имеем:

- 2-рублёвых: $$30-20+1=11$$

- 5-рублёвых: $$30-25+1=6$$

- 10-рублёвых: $$30–11–6=13$$

В сумме, получаем:

$$2\cdot11+5\cdot6+10\cdot13=182$$ рубля