ЕГЭ 2020. Вариант 36 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Скрыть Пусть x число учащихся в школе - это 100%. Получаем отношение: $$\frac{x}{100}=\frac{117}{5}$$ откуда $$x=780$$ учащихся.

Скрыть

1. Вычислим цену одного деления по вертикали, получим: $$\frac{30-20}{5}=2.$$

2. Для 2-го мая выберем столбик с наибольшей высотой. Это столбик для 4:00 и составляет $$70+3\cdot 2=76%.$$

Скрыть

Тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета на длину прилежащего катета. Рассмотрим треугольник, показанный на рисунке ниже. Катеты в этом прямоугольном треугольнике равны 4 и 1 соответственно, следовательно, тангенс угла AOB будет равен $${\tan AOB\ }=\frac{4}{1}=4.$$

Скрыть В каждой группе оказывается по 4 учащихся. Рассмотрим группу, в которую попал Олег. Тогда на оставшиеся 3 места будут претендовать 15 учащихся (Олег уже выбран) и вероятность попадания на них Михаила равна $$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0,2.$$

Скрыть Упростим уравнение: $${16}^{x-9}=2^{-1}\to 2^{4\left(x-9\right)}=2^{-1}\to 4x-36=-1\to x=8,75.$$

Скрыть Обозначим через $$x$$ половину угла A, т.е. $$x=\angle CAD=\angle DAB=\angle A:2$$. Через $$y$$ обозначим половину угла $$B$$, т.е. $$y=\angle B:2$$. Тогда, рассматривая треугольник ABC можем записать $$2x+2y+52=180{}^\circ \to x+y=64{}^\circ .$$ Теперь рассмотрим треугольник AOB. В нем сумма двух углов $$x+y$$ уже известна, следовательно, третий угол AOB будет равен $$180{}^\circ -64{}^\circ =116{}^\circ .$$

Скрыть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси OX. Рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный на рисунке ниже и найдем из него тангенс угла наклона касательной в точке $$x_0$$.

Противолежащий катет равен -3, прилежащий равен 6, следовательно, производная равна $$f'\left(x_0\right)={\tan \alpha \ }=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}=-0,5.$$

Скрыть При переливе жидкости из одного сосуда в другой ее объем останется неизменным. Объем цилиндра определяется формулой $$V=\pi R^2h=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2h,$$ где d - диаметр цилиндра; h - его высота. Если диаметр сосуда будет увеличен в 2 раза, то его объем можно записать так $$V=\pi {\left(\frac{2d}{2}\right)}^2h_2.$$ Так как объем жидкости неизменен, то приравняем первое и второе выражения, и вычислим высоту $$h_2$$ жидкости во втором сосуде, получим: $$h_2\pi \frac{4d^2}{4}=\pi \frac{d^2}{4}16\to h_2=4.$$

Скрыть Вычислим выражение, учитывая, что $${\cos \left(-x\right)\ }={\cos x\ },$$ а $${\sin (-x)\ }=-{\sin x\ },$$ получим: $$46\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{46}{2}=-23.$$

Скрыть Выразим объем спроса $$p$$ из формулы $$r\left(p\right)=qp$$, учитывая, что $$q=170-10p$$, получим: $$r\left(p\right)=p\left(170-10p\right).$$ Необходимо найти наибольшую цену, при месячной выручке $$r\left(p\right)=520,$$ имеем: $$p\left(170-10p\right)=520\to p^2-17p+52=0.$$ Решим квадратное уравнение, получим два корня $$p_1=4;\ p_2=13.$$ Наибольшая цена 13 тыс. руб.

Скрыть Пусть $$x$$ деталей делает первый рабочий за 1 час. Тогда второй рабочий за 1 час делает $$x-8$$ деталей. Для изготовления 522 деталей первому рабочему потребуется $$\frac{522}{x}$$ часов, а второму для изготовления 609 деталей $$\frac{609}{x-8}$$ часов. В задаче сказано, что первый рабочий для изготовления 522 деталей затрачивает на 11 часов больше, чем второй для изготовления 609 деталей. Получаем уравнение: $$\frac{609}{x-8}-\frac{522}{x}=11.$$ Отсюда имеем: $$609x-522x+8\cdot 522=11\left(x^2-8x\right)\to 11x^2-175x-4176=0.$$ Решаем квадратное уравнение, получаем два корня $$x_1=29;x_2=-\frac{288}{22}.$$ Выбираем первое решение 29, т.к. число деталей не может быть отрицательным числом.

Скрыть Вычислим производную от функции, получим: $$f'\left(x\right)=2e^{2x}-4e^x.$$ В точках экстремума функции производная равна нулю, имеем уравнение $$2e^{2x}-4e^x=0\to 2e^x\left(e^x-2\right)=0.$$ Учитываем, что $$2e^x\ne 0,$$ и рассматриваем уравнение $$e^x-2=0\to e^x=2\to x={\ln 2\ }\in \left[-1;1\right].$$ Найдем значение функции в точке экстремума и на краях диапазона, получим: $$f\left(-1\right)=e^{-2}-4e^{-1}+7;f\left(1\right)=e^2-4e+7$$ данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ. $$f\left({\ln 2\ }\right)={\left(e^{{\ln 2\ }}\right)}^2-4e^{{\ln 2\ }}+7=4-8+7=3.$$

Скрыть

а) Преобразуем уравнение: $$2{\sin (x-\frac{\pi }{2})\ }{\cos (\frac{\pi }{2}+x)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to -2{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to 2{\sin x\ }{\cos x\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to {\cos x\ }\left(2{\sin x\ }+\sqrt{3}\right)=0.$$

Имеем два уравнения: $$1) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$$ $$2) {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z;x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,l\in Z\ $$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-6\pi ;-5\pi \right].$$ Получим число $$-\frac{11\pi }{2}.$$

Скрыть

а) Построение. Плоскости $$ABC$$ и $$ADB_1$$ будут иметь две общие точки: точка N, лежащая на пересечении отрезков $$BC$$ и $$B_1D$$ и точка $$A$$, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок $$AN$$, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу $$DHC$$, причем отрезок $$CH$$ будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники $$B_1C_1D$$ и $$CDN$$ подобны друг другу с коэффициентом подобия $$k=1$$. Отсюда следует, что отрезок $$CN=B_1C_1=3$$. Сторона $$AC=3$$. Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом $$\angle ACN=120{}^\circ $$ (так как угол $$\angle ACB=60{}^\circ $$ в силу того, что треугольник ABC - равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN - гипотенуза с прилежащим к ней углом $$\angle NCH=60{}^\circ $$: $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CN=1,5.$$

Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка $$CC_1$$, получаем длину отрезка $$CD=\frac{1}{2}=0,5$$.

Найдем тангенс угла $$\alpha $$ между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$ из прямоугольного треугольника $$CDH$$, получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{CD}{CH}=\frac{0,5}{1,5}=\frac{1}{3}$$ и $$\alpha =arctg\frac{1}{3}.$$

Скрыть

1. Запишем ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ \frac{x}{3}\ne 1 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ x\ne 3 \end{array} \right.\to x\in \left(0;3\right)\cup \left(3;+\infty \right).$$

2. Упростим неравенство, получим: $$-6{{\log }_{\frac{x}{3}} 3\ }-3-{{\log }_3 x\ }-1\ge 0\to \frac{6}{{{\log }_{\frac{x}{3}} 3\ }}+{{\log }_3 x\ }+4\le 0\to $$ $$\to \frac{6}{{{\log }_3 x\ }-1}+{{\log }_3 x\ }+4\le 0$$.

3. Сделаем замену: $${{\log }_3 x\ }=t$$, получим: $$\frac{6}{t-1}+t+4\le 0\to \frac{t^2+3t+2}{t-1}\le 0.$$

4. Получаем точки, делящие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t^2+3t+2=0 \\ t-1\ne 0 \end{array} \right.$$$$\to \left\{ \begin{array}{c} t=-1 \\ t=-2 \\ t\ne 1 \end{array} \right..$$

5. Имеем следующие решения неравенства: Для $$t\le -2$$: $${{\log }_3 x\ }\le {{\log }_3 \frac{1}{9}\ }\to 0<x\le \frac{1}{9}\to x\in (0;\frac{1}{9}]\in $$ ОДЗ. 
 Для $$-1\le t<1:$$ $${{\log }_3 \frac{1}{3}\le {{\log }_3 x\ }\ }<{{\log }_3 3\ }\to \frac{1}{3}\le x<3\to x\in [\frac{1}{3};3)\in $$ ОДЗ.

Скрыть

а) Пусть $$\angle ABL=\angle ABL=\alpha ,$$ тогда $$\angle ACB=\angle ABC=2\alpha ,\ \angle D=\alpha $$ по свойству равнобедренного $$\triangle .$$ $$\angle ACB-$$ внешний в $$\angle DCL\to \angle CLD=\angle ACB-\angle CDL=\alpha =\angle CDL\to \triangle DCL-$$ равнобедренный по признаку.

б) 1) Пусть $$LH\bot BD,H\in BD.$$ В прямоугольном $$\triangle LCH:CH=x,{\cos 2\alpha \ }={\cos \angle ABC\ }=,\ CL=CH:{\cos 2\alpha \ }=5x=CD$$ ($$\triangle DCL-$$ равнобедренный).

2) В равнобедренном $$\triangle BLD$$ высота LH является медианой $$\to BH=DH=CH+CD=6x;$$ тогда $$BC=BH+CH=7x.$$

3) Пусть $$BM=CM=BC:2=3,5x;$$ AM - медиана, высота равнобедренного $$\triangle ABC,$$ тогда из прямоугольного $$\triangle AMC:AC=CM:{\cos 2\alpha \ }=3,5x\cdot 5=17,5x;AL=AC-CL=12,5x.$$

4) $$DL\cap AB=K.$$ Через точку С проведем $$CN\parallel DL,CN\cap AB=N.$$ По т. о пропорциональных отрезках:

- (для $$\angle DBK$$) $$\frac{BN}{NK}=\frac{BC}{CD}=\frac{7x}{5x}=\frac{7}{5}\to BN=7a,\ NK=5a\ \left(a>0\right);$$ тогда $$BK=BN+NK=12a.$$

- (для $$\angle CAN$$) $$\frac{AK}{NK}=\frac{AL}{CL}=\frac{12,5x}{5x}=\frac{125}{50}=\frac{5}{2}\to AK=\frac{5NK}{2}=\frac{25a}{2};$$ тогда $$\frac{AK}{BK}=\frac{25a}{2\cdot 12a}=\frac{25}{24}.$$

Скрыть

Вычислим доход фермера с первого поля, если он засеет на нем картофель. Урожайность картофеля на нем 500 ц/га, цена картофеля 5000 за центнер, размер поля 10 гектар, получаем размер дохода $$5000\cdot 500\cdot 10=25000000$$ руб.

Теперь сравним доход, если на первом поле будет засеяна свекла, получим $$8000\cdot 300\cdot 10=24000000$$ руб.

Отсюда видно, что на первом поле выгоднее сажать картофель. Аналогично сравним доход, приносимый вторым полем:

- для картофеля: $$5000\cdot 300\cdot 10=15000000$$ руб;

- для свёклы: $$8000\cdot 500\cdot 10=40000000$$ руб.

Следовательно, на втором поле выгоднее сажать свёклу. Таким образом, максимально возможный доход фермер может получить в сумме $$25+40=65$$ млн. руб.

Скрыть

Поскольку неравенство должно выполняться для всех значений $$x\in \left[-2;1\right]$$, то оно должно выполняться и при $$x=1.$$ Подставим $$x=1$$ в неравенство: $$11+3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|-1\le 16$$ или $$3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|\le 6$$ $$(\cdot )$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(a\right)=3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|$$ на трёх промежутках: 
$$1) \left\{ \begin{array}{c}a\ge 4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(a-4\right)=5a-11 \end{array}\right.$$ 
$$2) \left\{ \begin{array}{c}1<a<4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(4-a\right)=a+5 \end{array}\right.$$ 
$$3) \left\{ \begin{array}{c}a\le 1 \\ f\left(a\right)=3\left(1-a\right)+2\left(4-a\right)=-5a+11 \end{array}\right.$$ 
При $$a>1$$ функция возрастает, а при $$a<1$$ убывает. Следовательно, она принимает наименьшее значение в точке $$a=1.$$ Имеем: $$f_{min}=f\left(1\right)=6.$$ Значит, неравенство $$(\cdot )$$ может быть выполнено только при $$a=1.$$

При $$a=1$$ получим $$2x^3+9x+3\left|x-1\right|+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16.$$

Поскольку $$x\in \left[-2;1\right],$$ то $$2x^3+9x+3\left(1-x\right)+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}-13\le 0\ \left(\cdot \cdot \right).$$

Пусть $$g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}-13,\ x\in \left[-2;1\right].$$

При $$x\in \left[-2;-\frac{1}{2}\right];g\left(x\right)=2x^3+6x-2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+2x+\sqrt[5]{2x-3}-15.$$

При $$x\in \left[-\frac{1}{2};1\right];g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+10x+\sqrt[5]{2x-3}-11$$ функция $$g\left(x\right)$$ также возрастающая, как сумма возрастающих функций. И поскольку $$g\left(1\right)=0,$$ то при всех $$x\in \left[-2;1\right]$$ выполняется неравенство $$(\cdot \cdot )$$

Скрыть

Рассмотрим моток веревки длиной x см. Условие того, что его можно разрезать на n стандартных кусков, записывается в виде $$80n\le x\le 85n$$ или~$$80\le \frac{x}{n}\le 85$$

а) В данном случае имеем $$80\cdot 16<x<85\cdot 16$$ (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на 16 стандартных кусков, тогда получаем $$1280<x<1360$$. Разрежем веревку на 22 куска, тогда должно выполняться неравенство $$x\ge 22\cdot 80=1760=20,7\cdot 80$$ - подходит. При $$n=23$$, $$23\cdot 80=1840=85\cdot 21,6>x$$, т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 22 стандартных куска.

б) $$80\le \frac{x}{n}\le 85\to 80\le \frac{700}{n}\le 85\to $$ из этого неравенства получаем, что нет целого числа n кусков, на которые можно поделить моток.

в) Отрезки $$\left[80n;85n\right]$$ и $$\left[80(n+1);85(n+1)\right]$$, являющиеся решением неравенств $$80n\le x\le 85n$$ и $$80(n+1)\le x\le 85(n+1)$$ , имеют общие точки для всех $$n$$, при которых $$80\left(n+1\right)\le x\le 85n$$, т.е. при $$n\ge 16$$.

Наибольшее $$n$$ при котором существует интервал $$\left[85n;80(n+1)\right]$$ $$n=16$$, а все точки $$x\ge 80\cdot 16=1280$$ принадлежат отрезку $$\left[80n;85n\right]$$, где $$n\ge 16$$. При $$x\ge 1280$$ веревку можно разрезать на стандартные куски. 
Таким образом, искомое число равно 1280.