Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2021. Вариант 2 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

ЕГЭ 2021, полный разбор 2 варианта Ященко ФИПИ школе 36 вариантов. Решаем типовые варианты от Ященко 2021 года ЕГЭ профиль!

Решаем 2 вариант Ященко 2021 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 задания.

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Диагональ экрана смартфона равна 5,7 дюйма. Выразите диагональ экрана в сантиметрах. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до десятых.

Ответ: 14,5
Скрыть Т.к. 1 дюйм это 2,54 см, то 5,7 дюйма: $$5,7\cdot 2,54\approx 14,5$$ см.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показан уровень инфляции в России в 2019 году на конец каждого месяца. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - уровень инфляции (в процентах) с начала года на конец указанного месяца. Сколько месяцев в 2019 году инфляция в России была отрицательной?

Ответ: 2
Скрыть Т.к. указано с начала года на конец текущего месяца, то отрицательная будет в те месяцы, где значение стало меньше, чем в предыдущем, т.е. в августе и сентябре $$\to $$ 2 месяца.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Ответ: 2
Скрыть Т.к. дан равносторонний, то центр вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан (т.к. это биссектрисы тоже), а ей медианы делятся как 2:1, считая от вершины $$\to \frac{6}{3}=2$$ - радиус (на рисунке (MD))
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В классе 26 учащихся, среди них три подружки - Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.

Ответ: 0,22
Скрыть В одной группе 13 человек. Вероятность, что Оля попадет в какую-то группу из двух $$\frac{13}{26}$$ (13 мест, 26 претендентов), что туда попадет Аня $$\frac{12}{25}$$ (12 осталось мест и 25 человек), Юля: $$\frac{11}{24}$$. Что три девочки в одну из двух групп: $$\frac{13}{26}\cdot \frac{11}{24}\cdot \frac{12}{25}=\frac{11}{100}$$. Группы две, поэтому вероятность, что в одну в целом $$2\cdot \frac{11}{100}=0,22$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\frac{1}{5x-14}=\frac{1}{4x-3}$$.

Ответ: 11
Скрыть $$\frac{1}{5x-14}=\frac{1}{4x-3}\leftrightarrow 5x-14=4x-3\leftrightarrow 5x-5x=-3+14\leftrightarrow x=11.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике АВС высота СН равна 6, АВ = ВС, АС = 8. Найдите синус угла АСВ.

Ответ: 0,75
Скрыть Т.к. $$AB=BC$$, то $$\angle HAC=\angle BAC=\angle ACB\to {\sin ACB\ }={\sin HAC\ }=\frac{HC}{AC}=\frac{6}{8}=0,75$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$, определённой на интервале (-5; 9). Найдите количество решений уравнения $$f'(x) = 0$$ на отрезке [-2; 8].

Ответ: 7
Скрыть $$f'(x)\ =\ 0$$ там, где точки перегиба (отмечены на рисунке) $$\to $$ 8 точек, но на интервале [-2; 8] их 7 штук.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми $$ВB_1$$ и $$AC_1$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть $$BB_1\parallel CC_1\to $$ угол м/у $$AC_1$$ и $$CC_1$$, т.е. $$\angle ACC_1$$. $$\triangle ACC_1$$ - прямоугольный и равнобедренный $$\to \ \angle ACC_1=45{}^\circ $$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{{{\log }_9 32\ }}{{{\log }_{27} 0,5\ }}$$
Ответ: -7,5
Скрыть $$\frac{{{\log }_9 32\ }}{{{\log }_{27} 0,5\ }}=\frac{{{\log }_{3^2} 2^5\ }}{{{\log }_{3^3} 2^{-1}\ }}=\frac{\frac{5}{2}{{\log }_3 2\ }}{-\frac{1}{3}{{\log }_3 2\ }}=-\frac{5}{2}\cdot \frac{3}{1}=-7,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$а\ =\ 6500$$ км/ч$${}^{2}$$. Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=\sqrt{2la}$$, где l - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 130 км/ч.
Ответ: 1,3
Скрыть Подставим известные в формулу: $$130=\sqrt{2l\cdot 6500}\leftrightarrow 16900=13000l\to l=\frac{16900}{13000}=1,3$$ км.
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 416 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 21 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 50 часов. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 5
Скрыть

Пусть $$x$$ км/ч - скорость течения реки. В пути теплоход был $$50-8=42$$ часа. Тогда: $$\frac{416}{21+x}+\frac{416}{21-x}=42\leftrightarrow 416\cdot 21-416x+416\cdot 21+416x=42(441-x^2)\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 42\cdot 416=\left(441-x^2\right)\cdot 42\leftrightarrow 416=441-x^2\leftrightarrow x^2=25\to x=5$$ км/ч (отрицательной быть не может)

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=\left(5x-6\right){\cos x\ }-5{\sin x\ }-8$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi }{2})$$

Ответ: 1,2
Скрыть Найдем производную $$y'=(5x-6)' {\cos x\ }+(5x-6)({\cos x\ })'-5{\cos x\ }\to $$ $$\to 5{\cos x\ }-5x{\sin x\ }+6{\sin x\ }-5{\cos x\ }=0\to {\sin x\ }\left(6-5x\right)=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ 6-5x=0 \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=1,2 \end{array} \right.\right.$$. На $$(0;\frac{\pi }{2})$$ точка максимума $$x=1,2$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $${\cos 2x\ }-\sqrt{2}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }-1=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{3\pi }{2};3\pi ]$$

Ответ: а)$$\pi n,n\in Z; -\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z; -\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z$$ б)$$1)\ 2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};2\pi ;3\pi $$
Скрыть

а) $${\cos 2x\ }-\sqrt{2}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }-1=0\leftrightarrow 1-2{{\sin }^2 x\ }-\sqrt{2}{\sin x\ }-1=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\rm -2}{\sin x\ }\left({\sin x\ }+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \end{array} \right.$$.

б) С помощью единичной окружности отберем корни: $$1)\ 2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};2\pi ;3\pi $$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA=\sqrt{21},\ SB=\sqrt{85},\ SD=\sqrt{57}$$.

а) Докажите, что SA - высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Ответ: $$arccos\frac{14}{55}$$
Скрыть

а) Заметим, что $$SA^2+AB^2=21+64=85=SA^2\to SA\bot AB$$. $$SA^2+AD^2=21+36=57=SD^2\to SA\bot AD\to SA\bot \left(ABCD\right).$$

б) Пусть $$AC\cap DB=H$$. Т.к. $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$AH=HC$$. $$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=10\to AH=5$$. Из $$H$$ проведем среднюю линию $$\triangle SAC\to HK\parallel SC\to SC\wedge BD=HK\wedge BD$$. $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=\sqrt{121}\to KH=\frac{\sqrt{121}}{2}=\frac{11}{2}.$$ $$DH=\frac{DB}{2}=\frac{AC}{2}=5. DK=\sqrt{DA^2+AK^2}=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}. $$ $${\cos KHD\ }=\frac{KH^2+DH^2-DK^2}{2\cdot KH\cdot DH}=\frac{\frac{121}{4}+25-\frac{165}{4}}{2\cdot \frac{11}{2}\cdot 5}=\frac{221-165}{4\cdot 11\cdot 5}=\frac{14}{55}\to $$ $$\to \angle KHD=arccos\frac{14}{55}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$x^2{{\log }_{243} (-x-3)\ }\ge {{\log }_3 (x^2+6x+9)\ }$$

Ответ: $$x<-3$$: $$x\in \left(-\infty ;-4\right]\cup [-\sqrt{10};-3)$$
Скрыть $$x^2{{\log }_{243} (-x-3)\ }\ge {{\log }_3 (x^2+6x+9)\ }\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -x-3>0 \\ x^2+6x+9>0 \\ x^2{{\log }_{3^5} (-x-3)\ }-{{\log }_3 {\left(x+3\right)}^2\ }\ge 0 \end{array} \right.\to$$ $$\to \left\{ \begin{array}{c} x<-3 \\ \frac{x^2}{5}{{\log }_3 (-x-3)\ }-2{{\log }_3 \left|x+3\right|\ }\ge 0(1) \end{array} \right.$$ $$(1) \frac{x^2}{5}{{\log }_3 (-x-3)\ }-2{{\log }_3 \left(-x-3\right)\ }\ge 0\leftrightarrow {{\log }_3 \left(-x-3\right)\ }(\frac{x^2}{5}-2)\ge 0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow (-x-3-1)(3-1)(x^2-10)\ge 0\leftrightarrow (x+4)(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\le 0. $$ С учетом, что $$x<-3$$: $$x\in \left(-\infty ;-4\right]\cup [-\sqrt{10};-3)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны $$\sqrt{15}$$ и 15.

Ответ: 7,5
Скрыть

а) $$\angle ACD=\angle BCE$$ - вертикальные, $$\angle ACD=180{}^\circ -\angle ACB=90{}^\circ \to AD$$ и $$BE$$ - диаметры. Пусть LC - общая касательная: $$\angle LCB=\alpha \to \angle CEB=\alpha $$ (вписанный и м/у хордой и касательной, опирающиеся на одну дугу). $$\angle ACL=90-\alpha =\angle ADC\to \angle DAC=\alpha =\angle CEB\to AD\parallel BE$$ и $$\triangle ADC\sim \triangle CEB$$.

б) $$\frac{AD}{BE}=\frac{2\sqrt{15}}{2\cdot 15}=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{AC}{CE}$$, но $$AC=CB\to \frac{CB}{CE}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$. Пусть $$CB=x\to CE=\sqrt{15}x\to $$ по теореме Пифагора: $$CB^2+CE^2=BE^2\leftrightarrow x^2+15x^2={\left(15\cdot 2\right)}^2\to x^2=\frac{{15}^2\cdot 2^2}{16}\to x=7,5$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 220 тыс. рублей;

- выплаты в 2026 и 2027 годах равны;

- к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тыс. рублей.

Ответ: 20
Скрыть

Т.к. в первые три года долг не меняется, то выплачивали только проценты.

Т.е. $$\frac{220}{100}\cdot r$$ тыс. р. Пусть платежи в последние два года по $$x$$ тыс. руб. Тогда: $$\left\{ \begin{array}{c} \left(220\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\right)\left(1+\frac{r}{100}\right)-x=0 \\ \frac{220}{100}r\cdot 3+2x=420 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left(\left(220+\frac{22r}{10}\right)-210+\frac{33r}{10}\right)\left(1+\frac{r}{100}\right)-210+\frac{33r}{10}=0 \\ x=210-\frac{33r}{10} \end{array} \right.$$. Пусть $$\frac{r}{10}=a:\left(220+22a-210+33a\right)\left(1+\frac{a}{10}\right)-210+33a=0$$. $$\left(10+55a\right)\left(1+\frac{a}{10}\right)-210+33a=0\leftrightarrow 10+a+55a+5,5a^2-210+33a=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 5,5a^2+89a-200=0\to D=111\to \left[ \begin{array}{c} a_1=\frac{-89+111}{11}=2 \\ a_2<0 \end{array} \right.\leftrightarrow r=20$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения $$а$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$\to a\in [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$
Скрыть $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} a-y^2=a-x^2 \\ x^2\le a \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} y=x \\ y=-x \\ -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a} \\ y=x \\ y=-x \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2 \end{array} \right..$$ $$y=x$$ и $$y=-x$$ - прямые - биссектрисы углов 1-4 четвертей. $${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2$$ - окружность с центром (1;2) и $$r=\sqrt{5}$$. При этом будет 3 точки пересечения (0;0); (-1;1) и (3;3). Чтобы было ровно 2 решения (-1;1) или (3;3) должны не удовлетворять условию $$-\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}\to $$ При $$\sqrt{a}\ge 1$$ точка (-1;1) входит всегда, но пока $$\sqrt{a}<3$$, точка (3;3) не входит $$\to a\in [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы - цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Ответ: а) да б) нет в) 11
Скрыть

а) Пусть в первой группе $$x$$ чисел суммой $$A$$, во второй: $$y$$ суммой $$B$$ и в третьей $$Z$$ суммой $$C$$. Тогда: $$A\to 10a+x\cdot 1;B\to 10B+8y;C\to C.\ 10A+x+10B+8y+C=4(A+B+C)$$ $$\to x+8y=3C-6A-6B$$. $$\frac{x+8y}{3}=C-2A-2B$$. Пусть $$x=1;y=4$$. (1 и 2;3;4;5) тогда: $$\frac{1+32}{3}=C-2-2\cdot 14\leftrightarrow 11=C-30\to C=41$$, т.е. в третьей одно число 41 $$\to $$ может.

б) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=18A+18B+18C\to x+8y=8A+8B+17C$$. Но $$x\le A$$ и $$y\le B\to x+8y\le A+8B\to $$ т.к. $$A,B,C\in N$$, то не может.

в) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=11A+11B+11C\to x+8y=A+B+10C\to $$ Необходимо, чтобы $$x+y+z\to max$$. Сумма справа больше при $$y\to max$$. Тогда $$x=z=1$$.

И: 1) $$x=z=1;A=1;C=2$$. Тогда: $$1+8y\le 1+B+20\to 8y\le B+20$$. При этом минимальная сумма справа при $$B\to min$$, то есть сумма $$y$$ - последовательных натуральных чисел с 3. $$8y\le \frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y+20\leftrightarrow y^2-11y+40\le 0\to D<0\to $$ решений нет.

2) $$x=z=1:A=2;C=1$$. Тогда: $$1+8y\le 2+B+10\to 8y\le B+11\leftrightarrow 8y\le \frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y+11\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow y^2-11y+22\le 0:D=33\to \left[ \begin{array}{c} y_1=\frac{11+\sqrt{33}}{2}\in (8;9) \\ y_2=\frac{11-\sqrt{33}}{2} \end{array} \right.$$.

Тогда $$y\le 8\to y=8$$. Тогда всего чисел 10. Приведем пример: Пусть 1-ая группа: 2, третья: 1; вторая: 3,4,5,6,7,8,9,m. Получим: $$1+8\cdot 8=2+42+m+10\leftrightarrow m=65-54=11$$.