Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 24. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Чайные клиперы - самые быстрые парусные корабли. Некоторые из них могли развивать скорость до 20 узлов. Переведите в километры в час скорость клипера, который делает 15 узлов. 1 узел равняется 1 морской миле в час. 1 морская миля равняется 1852 метрам. Результат округлите до целого числа километров в час.

Ответ: 28
Скрыть Одна морская миля составляет 1852 метра в час или 1,852 км/ч. Клипер, делающий 15 узлов имеет скорость $$15\cdot 1,852=27,78\approx 28$$ км/ч.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 24 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: -21
Скрыть Рассмотрим сегмент графика, соответствующий 24 января. Так как температура откладывается по оси Oy, то нужно выбрать наименьшую точку на графике температуры. Это значение находится посередине отметок -22 и -20, то есть она равна -21 градус Цельсия.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён четырёхугольник ABCD. Найдите диагональ BD.

Ответ: 5
Скрыть Найдем диагональ BD из прямоугольного треугольника (см. рисунок ниже), в котором известны катеты (см. красные линии) с длинами 3 и 4 клетки. Диагональ BD можно найти по теореме Пифагора следующим образом: $$BD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Какова вероятность того, что последние две цифры телефонного номера случайного абонента в сумме дают 10?

Ответ: 0,09
Скрыть Две цифры могут давать в сумме 10 в следующих комбинациях: 1+9; 2+8; 3+7; 4+6; 5+5; 6+4; 7+3; 8+2; 9+1, то есть, всего 9 вариантов. Общее число всех возможных комбинаций из двух цифр, равно 100. Получаем значение искомой вероятности: $$P=\frac{9}{100}=0,09$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\sqrt{\frac{7x-9}{3}}=2$$

Ответ: 3
Скрыть ОДЗ уравнения: $$7x-9\ge 0\to x\ge 9/7$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$\frac{7x-9}{3}=4\to 7x-9=12\to 7x=21\to x=3$$ Корень удовлетворяет ОДЗ.
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC угол С равен $$90{}^\circ, АВ = 82, tgA = 4/5$$. Найдите высоту СН.

Ответ: 40
Скрыть

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла, длину CH можно вычислить так: $$CH=\sqrt{AH\cdot HB}$$

Найдем AH. Ее можно вычислить как $$AH=AC\cdot {\cos \angle A\ }$$ В свою очередь, $$AC=AB\cdot {\cos \angle A\ }$$

Объединяем формулы, получаем: $$AH=AB\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} \angle A\ }$$

Учитывая, что $${{\cos }^{{\rm 2}} \angle A\ }=\frac{1}{1+{{\tan }^{{\rm 2}} A\ }}$$, имеем: $$AH=82\cdot \frac{1}{1+\frac{16}{25}}=50$$

Тогда $$HB=82-50=32$$, и высота равна: $$CH=\ \sqrt{50\cdot 32}=40$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график некоторой функции $$у = f(x)$$. Одна из первообразных этой функции равна $$F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2+2x-3$$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: 6
Скрыть Площадь фигуры можно вычислить через определенный интеграл вида $$\int^3_0{f(x)dx}=F\left(3\right)-F(0)$$. Подставим вместо $$F(3)$$ и $$F(0)$$ числовые значения, получим: $$F\left(3\right)-F\left(0\right)=\frac{1}{3}\cdot 27-9+6-3-\left(-3\right)=6$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A, B, A_{1}, C_{1}$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 3.

Ответ: 9
Скрыть

Из рисунка видно, что многогранник с вершинами $$A, B, A_{1}, C_{1}$$ представляет собой пирамиду $$ABA_{1}C_{1}$$ с вершиной в точке $$C_{1}$$.

Можно заметить, что таких многогранников умещается ровно 3 в этом объеме призмы, то есть, объем искомого многогранника можно найти как: $$V=\frac{1}{3}V_P=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 9=9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{-11{\sin 42{}^\circ \ }}{{\cos 21{}^\circ \ }\cdot {\cos 69{}^\circ \ }}$$

Ответ: -22
Скрыть

Так как $${\cos \alpha \ }\cdot {\cos \beta \ }=\frac{1}{2}\left[{\cos \left(\alpha -\beta \right)\ }-{\cos \left(\alpha +\beta \right)\ }\right],$$ в знаменателе имеем: $${\cos 21{}^\circ \ }\cdot {\cos 69{}^\circ \ }=\frac{1}{2}\left[{\cos \left(21{}^\circ -69{}^\circ \right)\ }-{\cos \left(21{}^\circ +69{}^\circ \right)\ }\right]$$=$$\frac{1}{2}\left[{\cos \left(-48{}^\circ \right)\ }-{\cos \left(90{}^\circ \right)\ }\right]=\frac{1}{2}{\cos (48{}^\circ )\ }$$

Далее, $${\cos (48{}^\circ -90{}^\circ )\ }={\sin 42{}^\circ \ }$$

В итоге, получаем: $$\frac{-11{\sin 42{}^\circ \ }}{\frac{1}{2}\cdot {\sin 42{}^\circ \ }}=-11\cdot 2=-22$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Высота деревянного стеллажа для книг равна h = (a+b)•n + a миллиметров, где a - толщина одной доски (в мм), b - высота одной полки (в миллиметрах), n - число таких полок. Найдите высоту книжного стеллажа из 7 полок, если a = 21 мм, b = 320 мм. Ответ выразите в миллиметрах.

Ответ: 2408
Скрыть Вычислим высоту деревянного стеллажа для книг, подставив в формулу соответствующие числовые значения: $$h=\left(21+320\right)\cdot 7+21=341\cdot 7+21=2408$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 26 км/ч. Обратно он летел на самолёте со скоростью 312 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в километрах в час.

Ответ: 48
Скрыть Средняя скорость будет равна, если весь путь разделить на время. На яхте путешественник шел $$\frac{S}{26}$$ часов, на самолете летел $$\frac{S}{312}$$ часов, следовательно, общее время составило $$\frac{S}{26}+\frac{S}{312}$$ часов. За это время было пройдено расстояние в $$2S$$, и средняя скорость получается равной $$\frac{2S}{\frac{S}{26}+\frac{S}{312}}=\frac{2S}{\frac{26S+312S}{8112}}=\frac{2S}{338S}\cdot 8112=48$$ то есть 48 км/ч.
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y=5{\cos x\ }-9x+27$$ на отрезке $$[0;\frac{3\pi }{2}]$$.

Ответ: 32
Скрыть

Сначала найдем точки экстремума функции на отрезке $$[0;\frac{3\pi }{2}]$$: $$y'=-5{\sin x\ }-9=0\to {\sin x\ }=-\frac{9}{5}$$

Корней нет. Вычислим значения функции на границах диапазона: $$y\left(0\right)=5\cdot {\cos 0\ }-9\cdot 0+27=32$$; $$y\left(\frac{3\pi }{2}\right)=5{\cos \frac{3\pi }{2}\ }-9\cdot \frac{3\pi }{2}+27$$. Второе значение не выражается в конечной десятичной дроби - не является ответом к ЕГЭ.

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\left(2x^2-5x-12\right)\left(2{\cos x\ }+1\right)=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$$

Ответ: а) $$-\frac{3}{2}; 4$$ б) $$-\frac{3}{2};\ \frac{2\pi }{3}$$
Скрыть

а) Уравнение $$\left(2x^2-5x-12\right)\left(2{\cos x\ }+1\right)=0$$ имеет два решения: $$1: 2x^2-5x-12=0;$$ $$D=121\to x_1=-\frac{3}{2};\ x_2=4$$ $$2: 2{\cos x\ }+1=0\to {\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$$. Получим числа: $$-\frac{3}{2};\ \frac{2\pi }{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$АВ = ВС = АС = 14$$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM : MA = DN : NC = 6:1$$. Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$6\sqrt{134}$$
Скрыть

а) Пирамида ABCD с основанием ABC называется правильной, если в основании лежит правильный треугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой (центр правильного треугольника - это центр вписанной в него окружности).

По условию задачи треугольник ABC - правильный, так как АВ = ВС = АС= 14. Проведем отрезок DO, где D - вершина пирамиды; O - центр треугольника ABC. Докажем, что DO - высота, то есть, $$DO\bot ABC$$.

По условию задания$$\ DA\bot DB,DA\bot DC$$, следовательно, $$DA\bot DBC$$ и $$DAK\bot DBC$$, откуда имеем, что $$BC\bot DO$$ (так как DO лежит в плоскости DAK). Аналогично доказывается, что $$AB\bot DO\to DO\bot ABC$$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, DO - высота пирамиды, а сама пирамида ABCD - правильная.

б) Треугольники DMN и DAC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно, можно записать следующее отношение: $$\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DC}=\frac{6}{7}$$ откуда $$MN=\frac{6}{7}AC=\frac{6}{7}\cdot 14=12$$. Так как пирамида правильная, то $$\triangle ABD=\triangle BCD\to \triangle ABM=\triangle CBN$$ и $$MB=NB\to \triangle MBN$$ - равнобедренный.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC, в котором обозначим BD=DC=7x, а сторона BC=14 по условию.

Согласно теореме Пифагора $$BC^2=BD^2+DC^2\to 196=49x^2+49x^2=98x^2\to x=\sqrt{\frac{196}{98}}=\sqrt{2}$$. То есть, $$NC=\sqrt{2}$$ (так как DN : NC = 6:1, то NC=x).

Найдем BN из треугольника BNC, в котором $$\angle BCN=45{}^\circ $$ (так как $$\angle BNC=\angle BCD=45{}^\circ $$, что следует из равнобедренного, прямоугольного треугольника BDC). Тогда, в соответствии с теоремой косинусов, имеем: $$BN^2=NC^2+BC^2-2NC\cdot BC\cdot {\cos 45{}^\circ \ }=2+196-2\sqrt{2}\cdot 14\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=$$ $$=198-28=170\to BN=\sqrt{170}$$.

Соответственно, $$BM=BN=\sqrt{170}$$. Площадь сечения MNB равна площади равнобедренного треугольника MNB со сторонами BM=BN и основанием MN=12.

Высота $$BH=\sqrt{BN^2-NH^2}=\sqrt{170-36}=\sqrt{134}$$ и площадь треугольника MNB: $$S_{MNB}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{134}\cdot 12=6\sqrt{134}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$2\cdot {16}^{-x}-17\cdot 4^{-x}+8\le 0$$

Ответ: $$x\in \left[-1,5;0,5\right]$$
Скрыть

1. Упростим неравенство, получим: $$2\cdot {\left(4^{-x}\right)}^2-17\cdot 4^{-x}+8\le 0$$

2. Сделаем замену $$4^{-x}=t,\ t>0$$: $$2t^2-17t+8\le 0$$. Получаем два решения, разделяющие числовую ось: $$t_1=\frac{1}{2};\ t_2=8$$ $$t\in \left[\frac{1}{2};8\right]$$ Находим $$x$$: $$\frac{1}{2}\le t\le 8\to \frac{1}{2}\le 4^{-x}\le 8\to 2^{-1}\le 2^{-2x}\le 2^3\to -1\le -2x\le 3\to $$ $$\to -\frac{3}{2}\le x\le \frac{1}{2}\to x\in \left[-1,5;0,5\right]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике ABC известно, что угол $$BAC = 60{}^\circ$$, угол $$ABC = 45{}^\circ$$. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 10.

Ответ: $$\frac{50}{\sqrt{3}}$$
Скрыть

а) Высоты AM, BN, CP пересекаются в одной точке (одна из замечательных точек треугольника). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то есть, $$\angle PNB=\angle PCB$$ и $$\angle MNB=\angle MAB$$, следовательно, $$\angle PNM=\angle PNB+\angle MNB=\angle MAB+\angle PCB\left(\cdot \right)\to$$ $$\to \angle PNM=\left(90{}^\circ -\angle B\right)+\left(90{}^\circ -\angle B\right)$$

По условию $$\angle B=45{}^\circ $$, а треугольники $$CP_1B$$ и $$AM_1B$$ - прямоугольные с гипотенузой PM.

б) Аналогично с $$(\cdot )$$ находим $$\angle NMP=\left(90{}^\circ -60{}^\circ \right)+\left(90{}^\circ -60{}^\circ \right)=60{}^\circ $$ и $$\angle MPN=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ $$.

По теореме синусов из треугольника ABC, имеем: $$\frac{BC}{{\sin A\ }}=2R$$, где R - радиус описанной окружности. Получаем: $$\frac{10}{{\sin 60{}^\circ \ }}=2R\to R=\frac{10}{\sqrt{3}}$$ и $$PM=20\sqrt{3}$$, так как PM - диаметр окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP с катетом MN, лежащий против угла в 30$${}^\circ$$, то есть, $$NM=\frac{10}{\sqrt{3}}$$. Найдем катет NP по теореме Пифагора: $$NP=\sqrt{{\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)}^2-{\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)}^2}=10$$.

Площадь треугольника MNP, равна: $$S=\frac{1}{2}\cdot NP\cdot NM=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{50}{\sqrt{3}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 1029000
Скрыть

Обозначим через $$x$$ рублей размер вносимого платежа за кредит. Тогда, в первый год сумма кредита 545 000 рублей сначала увеличивается на 40%, то есть в 1,4 раза: $$1,4\cdot 545000$$ рублей, а затем, уменьшается на величину $$x$$: $$1,4\cdot 545000-x$$ рублей.

Во второй год, оставшаяся сумма $$1,4\cdot 545000-x$$ увеличивается в 1,4 раза, а затем уменьшается на $$x$$: $$\left(1,4\cdot 545000-x\right)\cdot 1,4-x={1,4}^2\cdot 545000-1,4x-x.$$

Наконец, в третий год кредит гасится полностью по формуле: $${1,4}^3\cdot 545000-{1,4}^2x-1,4x-x=0$$.

Найдем величину $$x$$ из полученного уравнения, имеем: $$x\left({1,4}^2+1,4+1\right)={1,4}^3\cdot 545000\to x=\frac{{1,4}^3\cdot 545000}{{1,4}^2+2,4}=\frac{1495480}{4,36}=343000$$.

Таким образом, банку было выплачено $$3\cdot 343000=1029000$$ рублей.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найти все значения $$a$$ при которых уравнение $$10a+\sqrt{-7+8x-x^2}=ax+3$$ имеет единственный корень.

 

Ответ: одно решение при $$a=0;\frac{1}{3}<a\le 1$$
Скрыть

Решение: $$\sqrt{-7+8x-x^2}=ax-10a+3$$

$$1: y=\sqrt{-7+8x-x^2},\ y\ge 0\to $$

$$y^2=-7+8x-x^2$$; $${\left(x-4\right)}^2+y^2=9$$ - окружность с центром в точке (4;0), $$R=3;y\ge 0$$.

2: $$y=ax-10a+3$$ - прямая, проходящая через точку (10;3)

1-ая прямая проходит через точку (4;3) $$\to a=0$$;

2-ая прямая проходит через точку (-5;0) $$\to a-10a+3=0;a=\frac{1}{3}$$;

3-ая прямая проходит через точку (7;0) $$\to 7a-10a+3=0;a=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На доске написано более 55, но менее 65 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 15, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -5.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Ответ: а) 60 б) положительных в) 36
Скрыть

а) Обозначим через $$x$$ число положительных чисел, а через $$y$$ - число отрицательных. Тогда можно записать равенство $$15x-5y=7\cdot (x+y)$$ или в виде $$\frac{5\cdot \left(3x-y\right)}{x+y}=7$$. Анализ данного выражения показывает, что сумма $$x+y$$ должна быть целым числом, кратным 5, чтобы в результате получилось целое 7. Кроме того, в задаче сказано, что $$55<x+y<65$$. В этом диапазоне числа кратные 5 это единственное число 60, следовательно, $$x+y=60$$.

б) Ответ на этот вопрос дан в пункте в).

в) Найдем число положительных и отрицательных чисел. Из соотношения $$\frac{5\cdot \left(3x-y\right)}{x+y}=7$$ при$$\ x+y=60$$, имеем $$\left\{ \begin{array}{c}3x-y=84 \\ x+y=60 \end{array}\right.$$

Откуда $$4x=144\to x=36$$ то есть на доске записано 36 положительных и 60-36=24 отрицательных чисел