ЕГЭ 2020. Вариант 24. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Скрыть Одна морская миля составляет 1852 метра в час или 1,852 км/ч. Клипер, делающий 15 узлов имеет скорость $$15\cdot 1,852=27,78\approx 28$$ км/ч.

Скрыть Рассмотрим сегмент графика, соответствующий 24 января. Так как температура откладывается по оси Oy, то нужно выбрать наименьшую точку на графике температуры. Это значение находится посередине отметок -22 и -20, то есть она равна -21 градус Цельсия.

Скрыть Найдем диагональ BD из прямоугольного треугольника (см. рисунок ниже), в котором известны катеты (см. красные линии) с длинами 3 и 4 клетки. Диагональ BD можно найти по теореме Пифагора следующим образом: $$BD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Скрыть Две цифры могут давать в сумме 10 в следующих комбинациях: 1+9; 2+8; 3+7; 4+6; 5+5; 6+4; 7+3; 8+2; 9+1, то есть, всего 9 вариантов. Общее число всех возможных комбинаций из двух цифр, равно 100. Получаем значение искомой вероятности: $$P=\frac{9}{100}=0,09$$

Скрыть ОДЗ уравнения: $$7x-9\ge 0\to x\ge 9/7$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$\frac{7x-9}{3}=4\to 7x-9=12\to 7x=21\to x=3$$ Корень удовлетворяет ОДЗ.

Скрыть

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла, длину CH можно вычислить так: $$CH=\sqrt{AH\cdot HB}$$

Найдем AH. Ее можно вычислить как $$AH=AC\cdot {\cos \angle A\ }$$ В свою очередь, $$AC=AB\cdot {\cos \angle A\ }$$

Объединяем формулы, получаем: $$AH=AB\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} \angle A\ }$$

Учитывая, что $${{\cos }^{{\rm 2}} \angle A\ }=\frac{1}{1+{{\tan }^{{\rm 2}} A\ }}$$, имеем: $$AH=82\cdot \frac{1}{1+\frac{16}{25}}=50$$

Тогда $$HB=82-50=32$$, и высота равна: $$CH=\ \sqrt{50\cdot 32}=40$$

Скрыть Площадь фигуры можно вычислить через определенный интеграл вида $$\int^3_0{f(x)dx}=F\left(3\right)-F(0)$$. Подставим вместо $$F(3)$$ и $$F(0)$$ числовые значения, получим: $$F\left(3\right)-F\left(0\right)=\frac{1}{3}\cdot 27-9+6-3-\left(-3\right)=6$$.

Скрыть

Из рисунка видно, что многогранник с вершинами $$A, B, A_{1}, C_{1}$$ представляет собой пирамиду $$ABA_{1}C_{1}$$ с вершиной в точке $$C_{1}$$.

Можно заметить, что таких многогранников умещается ровно 3 в этом объеме призмы, то есть, объем искомого многогранника можно найти как: $$V=\frac{1}{3}V_P=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 9=9$$

Скрыть

Так как $${\cos \alpha \ }\cdot {\cos \beta \ }=\frac{1}{2}\left[{\cos \left(\alpha -\beta \right)\ }-{\cos \left(\alpha +\beta \right)\ }\right],$$ в знаменателе имеем: $${\cos 21{}^\circ \ }\cdot {\cos 69{}^\circ \ }=\frac{1}{2}\left[{\cos \left(21{}^\circ -69{}^\circ \right)\ }-{\cos \left(21{}^\circ +69{}^\circ \right)\ }\right]$$=$$\frac{1}{2}\left[{\cos \left(-48{}^\circ \right)\ }-{\cos \left(90{}^\circ \right)\ }\right]=\frac{1}{2}{\cos (48{}^\circ )\ }$$

Далее, $${\cos (48{}^\circ -90{}^\circ )\ }={\sin 42{}^\circ \ }$$

В итоге, получаем: $$\frac{-11{\sin 42{}^\circ \ }}{\frac{1}{2}\cdot {\sin 42{}^\circ \ }}=-11\cdot 2=-22$$

Скрыть Вычислим высоту деревянного стеллажа для книг, подставив в формулу соответствующие числовые значения: $$h=\left(21+320\right)\cdot 7+21=341\cdot 7+21=2408$$

Скрыть Средняя скорость будет равна, если весь путь разделить на время. На яхте путешественник шел $$\frac{S}{26}$$ часов, на самолете летел $$\frac{S}{312}$$ часов, следовательно, общее время составило $$\frac{S}{26}+\frac{S}{312}$$ часов. За это время было пройдено расстояние в $$2S$$, и средняя скорость получается равной $$\frac{2S}{\frac{S}{26}+\frac{S}{312}}=\frac{2S}{\frac{26S+312S}{8112}}=\frac{2S}{338S}\cdot 8112=48$$ то есть 48 км/ч.

Скрыть

Сначала найдем точки экстремума функции на отрезке $$[0;\frac{3\pi }{2}]$$: $$y'=-5{\sin x\ }-9=0\to {\sin x\ }=-\frac{9}{5}$$

Корней нет. Вычислим значения функции на границах диапазона: $$y\left(0\right)=5\cdot {\cos 0\ }-9\cdot 0+27=32$$; $$y\left(\frac{3\pi }{2}\right)=5{\cos \frac{3\pi }{2}\ }-9\cdot \frac{3\pi }{2}+27$$. Второе значение не выражается в конечной десятичной дроби - не является ответом к ЕГЭ.

Скрыть

а) Уравнение $$\left(2x^2-5x-12\right)\left(2{\cos x\ }+1\right)=0$$ имеет два решения: $$1: 2x^2-5x-12=0;$$ $$D=121\to x_1=-\frac{3}{2};\ x_2=4$$ $$2: 2{\cos x\ }+1=0\to {\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$$. Получим числа: $$-\frac{3}{2};\ \frac{2\pi }{3}$$

Скрыть

а) Пирамида ABCD с основанием ABC называется правильной, если в основании лежит правильный треугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой (центр правильного треугольника - это центр вписанной в него окружности).

По условию задачи треугольник ABC - правильный, так как АВ = ВС = АС= 14. Проведем отрезок DO, где D - вершина пирамиды; O - центр треугольника ABC. Докажем, что DO - высота, то есть, $$DO\bot ABC$$.

По условию задания$$\ DA\bot DB,DA\bot DC$$, следовательно, $$DA\bot DBC$$ и $$DAK\bot DBC$$, откуда имеем, что $$BC\bot DO$$ (так как DO лежит в плоскости DAK). Аналогично доказывается, что $$AB\bot DO\to DO\bot ABC$$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, DO - высота пирамиды, а сама пирамида ABCD - правильная.

б) Треугольники DMN и DAC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно, можно записать следующее отношение: $$\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DC}=\frac{6}{7}$$ откуда $$MN=\frac{6}{7}AC=\frac{6}{7}\cdot 14=12$$. Так как пирамида правильная, то $$\triangle ABD=\triangle BCD\to \triangle ABM=\triangle CBN$$ и $$MB=NB\to \triangle MBN$$ - равнобедренный.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC, в котором обозначим BD=DC=7x, а сторона BC=14 по условию.

Согласно теореме Пифагора $$BC^2=BD^2+DC^2\to 196=49x^2+49x^2=98x^2\to x=\sqrt{\frac{196}{98}}=\sqrt{2}$$. То есть, $$NC=\sqrt{2}$$ (так как DN : NC = 6:1, то NC=x).

Найдем BN из треугольника BNC, в котором $$\angle BCN=45{}^\circ $$ (так как $$\angle BNC=\angle BCD=45{}^\circ $$, что следует из равнобедренного, прямоугольного треугольника BDC). Тогда, в соответствии с теоремой косинусов, имеем: $$BN^2=NC^2+BC^2-2NC\cdot BC\cdot {\cos 45{}^\circ \ }=2+196-2\sqrt{2}\cdot 14\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=$$ $$=198-28=170\to BN=\sqrt{170}$$.

Соответственно, $$BM=BN=\sqrt{170}$$. Площадь сечения MNB равна площади равнобедренного треугольника MNB со сторонами BM=BN и основанием MN=12.

Высота $$BH=\sqrt{BN^2-NH^2}=\sqrt{170-36}=\sqrt{134}$$ и площадь треугольника MNB: $$S_{MNB}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{134}\cdot 12=6\sqrt{134}$$

Скрыть

1. Упростим неравенство, получим: $$2\cdot {\left(4^{-x}\right)}^2-17\cdot 4^{-x}+8\le 0$$

2. Сделаем замену $$4^{-x}=t,\ t>0$$: $$2t^2-17t+8\le 0$$. Получаем два решения, разделяющие числовую ось: $$t_1=\frac{1}{2};\ t_2=8$$ $$t\in \left[\frac{1}{2};8\right]$$ Находим $$x$$: $$\frac{1}{2}\le t\le 8\to \frac{1}{2}\le 4^{-x}\le 8\to 2^{-1}\le 2^{-2x}\le 2^3\to -1\le -2x\le 3\to $$ $$\to -\frac{3}{2}\le x\le \frac{1}{2}\to x\in \left[-1,5;0,5\right]$$

Скрыть

а) Высоты AM, BN, CP пересекаются в одной точке (одна из замечательных точек треугольника). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то есть, $$\angle PNB=\angle PCB$$ и $$\angle MNB=\angle MAB$$, следовательно, $$\angle PNM=\angle PNB+\angle MNB=\angle MAB+\angle PCB\left(\cdot \right)\to$$ $$\to \angle PNM=\left(90{}^\circ -\angle B\right)+\left(90{}^\circ -\angle B\right)$$

По условию $$\angle B=45{}^\circ $$, а треугольники $$CP_1B$$ и $$AM_1B$$ - прямоугольные с гипотенузой PM.

б) Аналогично с $$(\cdot )$$ находим $$\angle NMP=\left(90{}^\circ -60{}^\circ \right)+\left(90{}^\circ -60{}^\circ \right)=60{}^\circ $$ и $$\angle MPN=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ $$.

По теореме синусов из треугольника ABC, имеем: $$\frac{BC}{{\sin A\ }}=2R$$, где R - радиус описанной окружности. Получаем: $$\frac{10}{{\sin 60{}^\circ \ }}=2R\to R=\frac{10}{\sqrt{3}}$$ и $$PM=20\sqrt{3}$$, так как PM - диаметр окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP с катетом MN, лежащий против угла в 30$${}^\circ$$, то есть, $$NM=\frac{10}{\sqrt{3}}$$. Найдем катет NP по теореме Пифагора: $$NP=\sqrt{{\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)}^2-{\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)}^2}=10$$.

Площадь треугольника MNP, равна: $$S=\frac{1}{2}\cdot NP\cdot NM=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{50}{\sqrt{3}}$$

Скрыть

Обозначим через $$x$$ рублей размер вносимого платежа за кредит. Тогда, в первый год сумма кредита 545 000 рублей сначала увеличивается на 40%, то есть в 1,4 раза: $$1,4\cdot 545000$$ рублей, а затем, уменьшается на величину $$x$$: $$1,4\cdot 545000-x$$ рублей.

Во второй год, оставшаяся сумма $$1,4\cdot 545000-x$$ увеличивается в 1,4 раза, а затем уменьшается на $$x$$: $$\left(1,4\cdot 545000-x\right)\cdot 1,4-x={1,4}^2\cdot 545000-1,4x-x.$$

Наконец, в третий год кредит гасится полностью по формуле: $${1,4}^3\cdot 545000-{1,4}^2x-1,4x-x=0$$.

Найдем величину $$x$$ из полученного уравнения, имеем: $$x\left({1,4}^2+1,4+1\right)={1,4}^3\cdot 545000\to x=\frac{{1,4}^3\cdot 545000}{{1,4}^2+2,4}=\frac{1495480}{4,36}=343000$$.

Таким образом, банку было выплачено $$3\cdot 343000=1029000$$ рублей.

Скрыть

Решение: $$\sqrt{-7+8x-x^2}=ax-10a+3$$

$$1: y=\sqrt{-7+8x-x^2},\ y\ge 0\to $$

$$y^2=-7+8x-x^2$$; $${\left(x-4\right)}^2+y^2=9$$ - окружность с центром в точке (4;0), $$R=3;y\ge 0$$.

2: $$y=ax-10a+3$$ - прямая, проходящая через точку (10;3)

1-ая прямая проходит через точку (4;3) $$\to a=0$$;

2-ая прямая проходит через точку (-5;0) $$\to a-10a+3=0;a=\frac{1}{3}$$;

3-ая прямая проходит через точку (7;0) $$\to 7a-10a+3=0;a=1$$

Скрыть

а) Обозначим через $$x$$ число положительных чисел, а через $$y$$ - число отрицательных. Тогда можно записать равенство $$15x-5y=7\cdot (x+y)$$ или в виде $$\frac{5\cdot \left(3x-y\right)}{x+y}=7$$. Анализ данного выражения показывает, что сумма $$x+y$$ должна быть целым числом, кратным 5, чтобы в результате получилось целое 7. Кроме того, в задаче сказано, что $$55<x+y<65$$. В этом диапазоне числа кратные 5 это единственное число 60, следовательно, $$x+y=60$$.

б) Ответ на этот вопрос дан в пункте в).

в) Найдем число положительных и отрицательных чисел. Из соотношения $$\frac{5\cdot \left(3x-y\right)}{x+y}=7$$ при$$\ x+y=60$$, имеем $$\left\{ \begin{array}{c}3x-y=84 \\ x+y=60 \end{array}\right.$$

Откуда $$4x=144\to x=36$$ то есть на доске записано 36 положительных и 60-36=24 отрицательных чисел