Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 31. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В городе N живёт 150 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работают (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?

Ответ: 70125
Скрыть Известно, что 15% можно представить в виде доли 0,15 от целого значения. Так, 15% от 150000 жителей есть $$150000\cdot 0,15=22500$$ и, следовательно, взрослых жителей в городе $$150000-22500=127500$$. Среди них 45% не работают, значит, работающих 55% что составляет $$127500\cdot 0,55=70125$$ жителей.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике жирными точками показан курс доллара, установленный Центробанком РФ, на все рабочие дни с 7 мая по 31 мая 2018 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена доллара в рублях. Для наглядности точки соединены линиями.

Определите наименьший и наибольший курсы доллара в рублях в указанный период. Запишите в ответ разность найденных значений.

Ответ: 1,7
Скрыть Цена отложена по вертикали, следовательно, нужно найти наибольшую и наименьшую отметку по оси Oy. Из графика видно, что наибольшее значение 63, соответствующее 8-му дню, а наименьшее равно 61,3 для 22-го дня. Разница между ними составляет: $$63-61,3=1,7$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Ответ: 3
Скрыть Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S=\frac{1}{2}ah$$, где $$a$$ - длина основания; $$h$$ - высота треугольника. Из рисунка видно, что $$a=2,h=3$$, следовательно, площадь равна $$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В роддоме измеряют вес новорождённого. Вероятность того, что вес окажется больше 3 кг, равна 0,87, вероятность того, что вес окажется меньше 3 кг 600 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что вес случайно выбранного новорождённого окажется в пределах от 3 кг до 3 кг 600 г.

Ответ: 0,8
Скрыть Определим два события: А: «вес окажется меньше или равен 3 кг»; В: «вес окажется от 3кг до 3 кг 600 г». Можно заметить, что сумма этих двух несовместных событий $$C=A+B$$, соответствует событию «вес окажется меньше 3 кг 600 г». Следовательно, можно записать такое равенство: $$P\left(C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\to P\left(B\right)=0,93-\left(1-0,87\right)=0,8$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\frac{1}{3x-1}=5$$
Ответ: 0,4
Скрыть Возведем в -1 степень левую и правую части уравнения: $$3x-1=\frac{1}{5}$$. Найдем корень уравнения: $$x=\frac{6}{5}:3=\frac{2}{5}=0,4$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен $$82{}^\circ $$, угол ABD равен $$47{}^\circ $$. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 35
Скрыть Углы ABC и ABD являются вписанными в окружность. Следовательно, градусные меры дуг, на которые они опираются в два раза больше значений самих углов. То есть, градусная мера дуги AC равна $$82{}^\circ \cdot 2=164{}^\circ $$, а градусная мера дуги AD равна $$47{}^\circ \cdot 2=94{}^\circ $$. Тогда градусная мера дуги CD равна$$164{}^\circ -94{}^\circ =70{}^\circ $$ и угол CAD равен $$\angle CAD=70{}^\circ :2=35{}^\circ $$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график $$у=f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале$$\ (-3;\ 19)$$. Найдите количество точек максимума функции $$f(х)$$, принадлежащих отрезку $$[-2;\ 15]$$

Ответ: 1
Скрыть Функция $$f(x)$$ принимает минимумы или максимумы в точках, где производная равна нулю, т.е. пересекает ось Ox. Чтобы определить только точки максимума нужно выбрать точку $$f'\left(x\right)=0$$, которой предшествует положительное значение производной, т.е. когда график производной пересекает ось Ox из положительной области в отрицательную. Анализ рисунка показывает, что на интервале от -2 до 15 это точка $$x=10$$, т.е. одна точка.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

Ответ: 3,5
Скрыть У правильной треугольной пирамиды в основании лежит равносторонний треугольник, а высота совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Сначала найдем длину медианы AH, она же будет являться высотой треугольника ABC, лежащего в основании (см. рисунок). Стороны AB и BC равны по $$10,5=10\frac{1}{2}=\frac{21}{2}$$, а сторона $$BH=BC:2=\frac{21}{4}$$, следовательно, из теоремы Пифагора имеем: $$AH^2=AB^2-BH^2={\left(\frac{21}{2}\right)}^2-{\left(\frac{21}{4}\right)}^2=\frac{441\cdot 3}{16}\to AH=\frac{21\sqrt{3}}{4}$$. Тогда AO будет составлять 2/3 от AH и равна $$AO=\frac{2}{3}\cdot \frac{21\sqrt{3}}{4}=\frac{21}{2\sqrt{3}}$$. Наконец, высоту пирамиды SO вычислим также по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOS, в котором известен катет AO и гипотенуза $$AS=7$$, получим: $$SO^2=AS^2-AO^2=49-\frac{441}{4\cdot 3}=\frac{49}{4}\to SO=3,5$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$7\sqrt{2}{\sin \frac{15\pi }{8}\ }\cdot {\cos \frac{15\pi }{8}\ }$$

Ответ: 3,5
Скрыть Учитывая, что $${\sin \alpha \ }\cdot {\cos \alpha \ }=\frac{1}{2}{\sin 2\alpha \ }$$, получим: $$7\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}{\sin \left(2\cdot \frac{15\pi }{8}\right)\ }=\frac{7}{\sqrt{2}}{\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\ }=\frac{7}{2}=3,5$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $$p_1V^{1,4}_1=p_2V^{1,4}_2$$, где $$p_1,\ p_2$$ - давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $$V_1,V_2$$ - объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 294,4 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
Ответ: 9,2
Скрыть Найдем объем $$V_2$$ из выражения $$p_1V^{1,4}_1=p_2V^{1,4}_2$$, получим: $${294,4}^{1,4}=128\cdot V^{1,4}_2\to {294,4}^{\frac{7}{5}}=2^7\cdot V^{\frac{7}{5}}_2$$. Возведем обе части уравнения в степень $$\frac{5}{7}$$, получим: $$294,4=2^5\cdot V_2\to V_2=9,2$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 180 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?
Ответ: 10
Скрыть Пропускную способность первой трубы обозначим через $$x$$. Тогда вторая труба будет пропускать $$x+8$$ литров воды. Время заполнения объема в 180 литров первой трубы составляет $$\frac{180}{x}$$, а тот же объем для второй трубы $$\frac{180}{x+8}$$. По условию задачи сказано, что вторая труба заполняет данный объем на 8 минут быстрее первой. Получаем уравнение $$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8$$ откуда имеем: $$180\left(x+8\right)-180x-8\left(x^2+8x\right)=0\to 8x^2+64x-180\cdot 8=0\to$$ $$\to x^2+8x-180=0. $$ Решаем квадратное уравнение, получаем корни $$x_1=10,\ x_2=-18$$. Так как отрицательного значения быть не может, остается одно значение $$x=10$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$\frac{2}{3}x\sqrt{x}-6x-5$$ на отрезке $$[9;36]$$.

Ответ: -77
Скрыть Преобразуем выражение $$y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-6x-5$$. Производная равна $$y'=x^{\frac{1}{2}}-6=\sqrt{x}-6$$. В точках экстремума функции производная равна нулю, получаем уравнение $$\sqrt{x}-6=0\to x=36\in [9;36]$$. Рассмотрим значения функции в граничных точках диапазона, получим: $$y\left(9\right)=\frac{2}{3}\cdot 9\cdot 3-54-5=-41$$. $$y\left(36\right)=\frac{2}{3}\cdot 36\cdot 6-216-5=-77.$$ Наименьшее значение равно -77.
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$3{\cos 2x\ }-5{\sin x\ }+1=0$$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$$.
Ответ: а)$$\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z; \frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$ б)$$\frac{13\pi }{6}$$
Скрыть

а) Упростим уравнение, имеем: $$3\left({{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)-5{\sin x\ }+1=0\to 3\left(1-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)-3{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-5{\sin x\ }+1=0\to $$ $$\to 6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-4=0$$.

Делаем замену $${\sin x=t\ },\ t\in \left[-1;1\right],$$ получим: $$6t^2+5t-4=0$$.

Решаем уравнение, получаем: $$t_1=-\frac{4}{3}\notin \left[-1;1\right],\ t_2=\frac{1}{2}$$.

Переходя обратно к синусу, имеем $${\sin x\ }=\frac{1}{2}\to x_1=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z;x_2=\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$$. Получим число $$\frac{13\pi }{6}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость $$a$$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$a$$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью $$a$$.

Ответ: $$8+2\sqrt{2}$$
Скрыть

а) Сечение (плоскость $$a$$) проходит через точки M и N, причем $$MN$$ - средняя линия. Это означает, что отрезок $$MN\parallel AB\to MN\parallel ABC$$. По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем $${\rm PQ}\parallel MN$$. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO - высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть $$CO=\frac{2}{3}CE$$.

Точка K является серединой отрезка MN, причем $$KZ\bot CE$$, откуда следует, что $$KZ\parallel SO\to ZE=ZO$$. Так как $$EO=\frac{1}{3}CE$$, $$ZE=\frac{\frac{1}{3}}{2}\cdot CE=\frac{1}{6}CE$$. Таким образом, получаем, что $$CZ:ZE=5:1$$.

б) Найдем периметр трапеции MNPQ: $$P=MN+NQ+PQ+NP$$, где $$MN=\frac{1}{2}AB=3;PQ=\frac{5}{6}AB=5$$.

Для вычисления сторон $$MP=NQ$$, найдем высоту $$KZ=\frac{1}{2}SO=1$$ (величина $$SO=2$$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC - радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен $$OC=\frac{6}{\sqrt{3}}$$). Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (см. рисунок ниже).

Катет $$NH=KZ=1$$, а катет HQ равен $$HQ=\frac{PQ-MN}{2}=\frac{5-3}{2}=1$$ и $$NQ=\sqrt{2}$$. Получаем значение периметра $$P=5+3+\sqrt{2}+\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{2}{{\left(2^{2-x^2}-1\right)}^2}-\frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1\ge 0$$.

Ответ: $$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{2}\right)\cup \left(-\sqrt{2};-1\right]\cup [1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};+\infty )$$
Скрыть

1. Выполним замену $$2^{2-x^2}-1=t$$, получим: $$\frac{3}{t^2}-\frac{4}{t}+1\ge 0\to \frac{t^2-4t+3}{t^2}\ge 0$$.

2. Для решения неравенства находим точки, которые разбивают числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t^2-4t+3=0 \\ t^2=0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} t=1 \\ t=3 \\ t\ne 0 \end{array} \right.$$. $$1) \left\{ \begin{array}{c} t\le 1 \\ t\ne 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 2^{2-x^2}\le 2^1 \\ 2^{2-x^2}\ne 2^0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 2-x^2\le 1 \\ x^2-2>0 \end{array} \right.$$ $$2) t\ge 3\to 2^{2-x^2}-1\ge 3\to 2-x^2\ge 2\to x=0.$$ $$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{2}\right)\cup \left(-\sqrt{2};-1\right]\cup [1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};+\infty ).$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Две окружности касаются внутренним образом в точке $$A$$, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.

б) Пусть L - точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите АL, если радиус большей окружности равен 10, а $$BC=16$$.

Ответ: $$\frac{1}{2}AP=\sqrt{10}$$
Скрыть

а) О - центр большей окружности, А - внутренняя точка касания двух окружностей, АО - диаметр меньшей окружности. $$\angle AMO$$ - прямой, т.к опирается на диаметр окружности. Значит $$MO\bot AC,\ MO$$ - высота равнобедренного треугольника АОС. Тогда МО - медиана треугольника АОС, М - середина АС. $$\angle AKO$$ - прямой, К - лежит на окружности с диаметром АО. Тогда $$KO\bot AB,\ KO$$ - высота равнобедренного треугольника АОВ. Отсюда К - середина отрезка АВ. КМ - средняя линия $$\triangle ABC$$. Следовательно, $$KM\parallel BC$$.

б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. $$R=10,\ BC=16$$ надо найти AL. Опустим перпендикуляр ОН на хорду ВС. $$\triangle BOC$$ - равнобедренный, ОН - высота, медиана, биссектриса этого треугольника. H - середина ВС. $$BH=HC=8$$. Из прямоугольного треугольника ВОН по теореме Пифагора найдем ОН: $$OH^2=OB^2-BH^2={10}^2-8^2=36\to OH=6$$. Q - центр меньшей окружности, прямые $$QP\parallel OH$$. Опустим перпендикуляр QD на ОН. Тогда $$OD=OH-HD=6-5=1$$. Из прямоугольного треугольника $$\triangle QOD$$ по теореме Пифагора найдем $$QD^2=QO^2-OD^2=25-1=24;PH^2=QD^2=24$$. Из прямоугольного треугольника $$\triangle POH$$ по теореме Пифагора найдем $$OP^2=PH^2-OH^2=24-6^2=60.$$ Из прямоугольного треугольника $$\triangle QOD$$ по теореме Пифагора найдем $$AP^2=AO^2-OP^2={10}^2-60=40;\to AP=2\sqrt{10}.$$ КМ - средняя линия $$\triangle ABC$$, тогда L - середина отрезка АР. $$AL=\frac{1}{2}AP=\sqrt{10}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший - не менее 0,6 млн рублей.

Ответ: 20%
Скрыть

Обозначим через $$x$$ размер кредита, т.е. $$x=4,5$$ млн рублей. По условию задачи каждый год кредит увеличивается на r%, т.е. становится равный $$\frac{100+r}{100}x$$, а затем, делается платеж так, чтобы сумма долга уменьшалась на одну и ту же величину, т.е. в первый раз платеж должен быть равен $$\frac{x}{9}+\frac{r}{100}x$$ и долг становится $$\frac{100+r}{100}x-\frac{x}{9}+\frac{r}{100}x=\frac{8}{9}x$$.

На следующий год осуществляются подобные действия, долг увеличивается на r%, а платеж вносится в размере $$\frac{x}{9}+\frac{r}{100}\cdot \frac{8}{9}x$$: $$\frac{100+r}{100}\cdot \frac{8}{9}x-\frac{x}{9}+\frac{r}{100}\cdot \frac{8}{9}x=\frac{7}{9}x$$.

В последний год сумма платежа будет равна $$\frac{x}{9}+\frac{r}{100}\cdot \frac{1}{9}x$$.

Из этих выражений видно, что максимальная сумма платежа приходится на 1-й год, а минимальная - на последний. Следовательно, получаем два неравенства: $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{9}+\frac{r}{100}x\le 1,4 \\ \frac{x}{9}+\frac{r}{100}\cdot \frac{1}{9}x\ge 0,6 \end{array} \right.$$.

Выражаем неизвестное r, подставляем вместо $$x=4,5$$, получим $$\left\{ \begin{array}{c} r\le \frac{140}{x}-\frac{100}{9}=20 \\ r\ge \frac{60\cdot 9}{x}-100=20 \end{array} \right.$$. Следовательно, $$r=20\%$$ годовых.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$ имеет более двух решений.

Ответ: $$a\in (1;2)$$
Скрыть

$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end{array} \right.;$$ $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ 2x-2y-2=x^2+y^2-1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ 2x-2y-2={-x}^2-y^2+1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Рассмотрим каждую систему в совокупности отдельно:

$$1) \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ x^2-2x+1+y^2+2y+1=1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right.. $$

Выполним преобразования: $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1\ {\rm (1)} \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$

$$2) \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ x^2+2x+1+y^2-2y+1=5 \\ y=a(x-1) \end{array} \right..$$

Выполним преобразования: : $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5\ {\rm (2)} \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$

Геометрическое место точек, представляющих собой решения систем $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1 \end{array} \right.$$ и $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5 \end{array} \right.$$ - это две дуги, которые имеют две общие точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$ - место стыка графиков. Системы (1) и (2) будут иметь более двух решений, если графики параметрической прямой и дуг будут иметь более двух точек пересечения.

Параметрическая прямая, проходящая через точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$, имеет с графиком дуг две общие точки. Мы это положение рассматриваем как пограничное. При этом параметр равен $$a=1$$. Данное значение параметра включать в ответ не стоит.

Чтобы найти второе пограничное положение графика параметрической прямой и значение параметра при этом рассмотрим касание графика прямой $$y=a(x-1)$$ и графика окружности $${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$$. Нам известно из условия задачи расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до параметрической прямой $$y=a(x-1)$$. $$d=\sqrt{5}$$. Воспользуемся этим фактом. (Расстояние от точки до прямой по формуле $$d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$)

Преобразуем уравнение прямой к виду $$Ax+By+C=0$$. $$y=ax-a\to ax-y-a=0$$. Расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до касательной $$ax-y-a=0$$ равно $$d=\sqrt{5}$$. Следовательно $$\sqrt{5}=\frac{\left|-a-1-a\right|}{\sqrt{a^2+1}}$$.

Откуда $${\left(a-2\right)}^2=0.$$ Или $$a=2$$. 

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест - 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Ответ: а) да; б) да; в) 15
Скрыть

а) Да, могло. Пример: пусть получены результаты теста 90, 90, 90, 78, 78, 78, 60, 60, 60.

Средний балл шести участников, не сдавших тест, равен $$\frac{78+78+78+60+60+60}{6}\ =\ 69$$. После добавления всем участникам по 5 баллов результаты будут такими: 95, 95, 95, 83, 83, 83, 65, 65, 65.

Средний балл трёх участников, не сдавших тест равен $$\frac{65+65+65}{3}\ =\ 65$$. Как видим, средний балл участников, не сдавших тест, понизился.

б) Да, так могло быть. Вернемся к примеру, рассмотренному в пункте а). Итак, пусть получены результаты теста 90, 90, 90, 78, 78, 78, 60, 60, 60. Сдали тест всего трое учащихся.

Средний балл участников, сдавших тест равен $$\frac{90+90+90}{3}=\ 90$$.

После добавления всем участникам по 5 баллов результаты будут такими: 95, 95, 95, 83, 83, 83, 65, 65, 65. Участников, сдавших тест уже шестеро. Средний балл равен $$\frac{95+95+95+83+83+83}{6}=\ 89$$. Таким образом, средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился.

в) Пусть первоначально было $$х$$ участников, сдавших тест и $$у$$ участников, не сдавших тест.

Зная, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75, можно записать равенство: $$90(х+у)\ =\ 100х+75у$$. Упростим это выражение: $$90х+90у=100х+75у$$, отсюда $$10х=15у$$ или $$2х=3у$$.

Затем всем участникам добавили по 5 баллов, и, возможно, это помогло $$р$$ учащимся пополнить списки сдавших тест.

Тогда сдали тест $$(х+р)$$ участников, а не сдавших будет$$\ (у-р)$$ человек.

Зная, что при этом средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест - 79, составим равенство: $$95(х+у)\ =\ 103(х+р)+79(у-р)$$. Упрощаем это выражение. $$95х+95у\ =\ 103х+103р+79у-79р$$;

$$8х+24р=16у$$ или $$2х+6р=4у$$. Так как $$2х=3у$$, то $$3у+6р=4у$$, тогда $$у=6р$$.

Так как мы выясняем, при каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация, то возьмём $$р=1$$. Это будет означать, что добавление пяти баллов каждому участнику помогло лишь одному из них попасть в списки сдавших тест.

Тогда $$у=6$$ - это количество участников, не сдавших тест при первоначальном подсчёте баллов;

$$х\ =\frac{3\ \cdot \ 6}{2}=9\ $$- это количество участников, сдавших тест при первоначальном подсчёте баллов. Вывод: $$х+у\ =\ 9+6\ =\ 15\ $$- наименьшее число участников, при которых стала возможной описанная в пункте в) ситуация.