ЕГЭ 2021. Вариант 10 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

а)

$$\cos 2x\sin 2x\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{4}\cos(8x-\frac{3\pi}{2}$$

$$\frac{1}{2}\cdot(2\sin 2x\cos 2x)\sin(\pi-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{4}\cos(\frac{3\pi}{2}-8x)$$

$$\frac{1}{2}\sin 4x\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{4}\cdot(-\sin 8x)$$

$$\frac{1}{2}\sin 4x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{4}\sin(2\cdot 4x)$$

$$\sqrt{3}\sin 4x+2\sin 4x\cos 4x=0$$

$$\sin 4x(\sqrt{3}+2\cos 4x)=0$$

$$\sin 4x=0$$

$$4x=\pi k, k\in Z$$

$$x=\frac{\pi k}{4}, k\in Z$$

$$\sqrt{3}+2\cos 4x=0$$

$$\cos 4x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$4x=\pm\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n, n\in Z$$

$$4x=\pm(\pi-\arccos\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n, n\in Z$$

$$4x=\pm(\pi-\frac{\pi}{6})+2\pi n, n\in Z$$

$$4x=\pm\frac{5}{6}+2\pi n, n\in Z$$

$$x=\pm\frac{5}{24}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z$$

б)

С помощью двойного неравенства отберём корни на отрезке $$[\frac{8\pi}{3};\frac{10\pi}{3}]$$

1) $$\frac{8\pi}{3}\leq\frac{\pi k}{4}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{32}{3}\leq k\leq\frac{40}{3}, k\in Z\Rightarrow k=11;12;13$$

$$k=11: x=\frac{\pi\cdot11}{4}=\frac{11\pi}{4}$$

$$k=12: x=\frac{\pi\cdot12}{4}=3\pi$$

$$k=13: x=\frac{\pi\cdot13}{4}=\frac{13\pi}{4}$$

2) $$\frac{8\pi}{3}\leq\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{64-5\pi}{24}\cdot\frac{2}{\pi}\leq k\leq\frac{80\pi-5\pi}{24}\cdot\frac{2}{\pi}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\frac{59}{12}\leq k\leq\frac{75}{12}, k\in Z\Rightarrow k=5;6$$

$$k=5: x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot5}{2}=\frac{65\pi}{24}$$

$$k=6: x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot6}{2}=\frac{77\pi}{24}$$

3) $$\frac{8\pi}{3}\leq-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{64+5}{12}\leq k\leq\frac{80+5}{12}, k\in Z\Rightarrow k=6;7$$

$$k=6: x=-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot6}{2}=\frac{67\pi}{24}$$

$$k=7: x=-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot7}{2}=\frac{79\pi}{24}$$

а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы $$ACB=ALB=90^{\circ},$$ а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов $$ACB+ALB=180^{\circ}$$). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги $$\cup AL=\cup LB,$$ следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: $$\angle ACL=\angle LCB=45^{\circ};$$ $$\angle KCA+\angle ACL=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ};$$ $$\angle LCB+\angle BCM=90^{\circ},$$ следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.

б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:

$$S_{KLM}=\frac{1}{2}KM\cdot LC$$

Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как $$\angle ACP=\angle BCP=45^{\circ},$$ то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:

$$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{CB}=\frac{b}{a}$$

Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:

$$\frac{AP}{PB}=\frac{b}{a}$$

$$AP+PB=c$$

С решением:

$$AP=\frac{bc}{a+b}; PB=\frac{ac}{a+b}$$

Так как углы $$\angle ACL=\angle BAL=45^{\circ},$$ то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:

$$\frac{AC}{PA}=\frac{CL}{AL}\Rightarrow b: \frac{bc}{a+b}=d:\frac{c}{\sqrt{2}}$$

и $$d=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.$$ Из равенства KM = KC + CM, получаем:

$$KM=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=d=10$$

Следовательно:

$$S_{KLM}=\frac{1}{2}10\cdot10=50$$

Упорядочим числа по возрастанию x₁ < x₂ < ... < x₄₀. Заметим сразу, что достаточно проверять условие только для двух самых больших и четырех самых маленьких чисел.

а), б) В наборе 33, 777, 778, ..., 815 выполнено

в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие

не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше. Если x₄₀ ≠ x₃₉ + 1, то можно заменить x₄₀ на x₃₉ + 1. Если после этого x₃₉ ≠ x₃₈ + 1, то можно заменить x₃₉ на x₃₈ + 1 и x₄₀ на x₃₈ + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд, кроме может быть первого (даже все числа от x₃ до x₄₀ можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства

будут уменьшаться одинаково). Далее можно увеличивать на 1 первое число и уменьшать на 1 все остальные. Так можно делать, если x₂ − x₁ > 2.

Итак, оптимальный набор — это числа x, x + 1, x + 2, ..., x + 39 или x − 1, x + 1, x + 2, ..., x + 39, причем в первом случае 4x + 6 > 2x + 77, откуда x ≥ 36, а во втором 4x + 5 > 2x + 77, откуда x ≥ 37. В наборе 36, 37, ..., 75 сумма очевидно меньше, чем в наборе 36, 38, 39, ..., 76. Значит, минимальная сумма равна

а примером могут служить числа от 36 до 75.