Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 25. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Призёрами городской олимпиады по математике стали 7 учеников, что составило 5% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Ответ: 140
Скрыть Для определения исходного числа участников, нужно 7 разделить на коэффициент $$\frac{5}{100}=0,05$$, получим: $$\frac{7}{0,05}=140$$ участников.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 28 мая. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 5
Скрыть Рассмотрим сегмент графика, соответствующий 28 января. Так как температура откладывается по оси Oy, то нужно выбрать наименьшую точку на графике температуры. Это значение находится посередине отметок 4 и 6, то есть она равна 5 градусов Цельсия.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.
Ответ: 4
Скрыть Из рисунка видно, что стороны BC и BA имеют одинаковый наклон относительно вертикальной линии, проходящей через точку B (см. красная вертикальная линия на рисунке ниже). Равенство образованных углов (красные дуги) можно доказать через равенство тангенсов этих углов, они равны 3. Следовательно, биссектриса, исходящая из угла B, будет располагаться строго горизонтально и занимать ровно 4 клетки (см. синяя линия).
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

За круглый стол на 21 стул в случайном порядке рассаживаются 19 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.
Ответ: 0,9
Скрыть Решим эту задачу от обратного, сначала найдем вероятность того, что девочки окажутся рядом, а затем, вычислим обратную вероятность по формуле $$1-P$$. Допустим, первая девочка уже куда-то села (вероятность этого события 1). Осталось 20 мест и вторая девочка должна сесть или слева или справа от нее. Имеем благоприятное число исходов $$m=2$$ и общее число исходов $$n=20$$: $$P=\frac{m}{n}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$$, тогда противоположная вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом, равна: $$1-P=0,9$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $${\left(x-5\right)}^3=216$$.

Ответ: 11
Скрыть Так как $$216=6^3$$, то исходное уравнение можно записать в виде: $${\left(x-5\right)}^3=6^3\to x-5=6\to x=11$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 25$${}^\circ$$, угол CAD равен 41$${}^\circ$$. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 66
Скрыть Угол CAD и угол CBD - вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 41$${}^\circ$$. Следовательно: $$\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=25{}^\circ +41{}^\circ =66{}^\circ $$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: -1
Скрыть

1. Значение производной положительно в некоторой точке x, если в окрестности этой точки функция возрастает. Наоборот, если в окрестности точки x функция убывает, то производная в ней отрицательна. Причем значение производной тем больше, чем сильнее изменение функции в окрестности точки x.

2. Выберем точку на графике, в которой функция возрастает наибольшим образом. Это точка -1.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 500
Скрыть Объем прямоугольного параллелепипеда равен: $$V=a\cdot b\cdot c$$. Так как прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то $$a=b=2R=2\cdot 5=10$$; $$c=h=7\to v=10\cdot 10\cdot 5=500$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$3\sqrt{2}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{13\pi }{8}\ }-3\sqrt{2}{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{13\pi }{8}\ }$$

Ответ: -3
Скрыть Вспомним, что $${\cos 2\alpha \ }={{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }-{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }$$, тогда $$3\sqrt{2}{\cos \left(2\cdot \frac{13\pi }{8}\right)\ }=3\sqrt{2}{{\rm (-}\cos \frac{\pi }{4}\ })=-3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $$m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$, где $$m_0$$ - начальная масса изотопа, t - время, прошедшее от начального момента, Т - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 44 мг. Период его полураспада составляет 6 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 11 мг.

Ответ: 12
Скрыть Чтобы определить время, через которое масса $$m\left(t\right)=11$$ мг, подставим в закон изменения массы изотопа от времени все числовые значения и выразим (найдем) время $$t$$, получим: $$11=44\cdot 2^{-\frac{t}{6}}\to \frac{1}{4}=2^{-\frac{t}{6}}=2^{-2}\to \frac{t}{6}=2\to t=12$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 3
Скрыть

Обозначим через $$x$$ км/ч скорость течения. Тогда при движении ложки против течения, ее скорость была равна $$11-x$$ км/ч и на преодоления 112 км было потрачено $$\frac{112}{11-x}$$ часов. При обратном движении лодка шла по течению, то есть ее скорость была равна $$11+x$$ км/ч и на преодоления 112 км было затрачено $$\frac{112}{11+x}$$ часов. Известно, что на обратный путь было потрачено на 6 часов меньше. Имеем уравнение: $$\frac{112}{11-x}-\frac{112}{11+x}=6$$, откуда $$112\left(11+x\right)-112\left(11-x\right)=6(11-x)(11+x)\to $$ $$\to 6x^2+224x-726=0\to D=67600\to x_1=\frac{-224+260}{12}=3;\ x_2<0$$.

Получаем один положительный корень x=3 км/ч.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку минимума функции $$y={\left(x^2-7x+7\right)}^{e^{\left(x-17\right)}}$$
Ответ: 5
Скрыть

1. Вычислим производную функции, получим: $$y'={\left(2x-7\right)}^{e^{(x-17)}}+{\left(x^2-7x+7\right)}^{e^{\left(x-17\right)}}\to y'=e^{\left(x-17\right)}(x^2-5x)$$

2. Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума функции: $$e^{\left(x-17\right)}\left(x^2-5x\right)=0$$, так как $$e^{x-17}>0$$, то $$x^2-5x=0\to \left[ \begin{array}{c} x_1=0 \\ x_2=5 \end{array} \right.$$

3. Точкой минимума будет являться та точка экстремума, в окрестности которой производная меняет свой знак с «-» на «+». Получаем точку x = 5.

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $${\cos 4x\ }+{\cos 2x\ }=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\pi ;\frac{\pi }{3}\right]$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$; $$x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$ б) $$-\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}.$$
Скрыть

а) Перепишем исходное уравнение, используя формулу: $${\cos \alpha \ }+{\cos \beta \ }=2{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\ }{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\ }$$. Получим: $$2{\cos 3x\ }{\cos x\ }=0$$

Имеем два уравнения:

$$1) {\cos 3x\ }=0\to 3x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$

$$2) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$

Множество $$\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$ является частью множества $$\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$.

б) Отбор корней сделаем с помощью двойного неравенства, получим:

$$-\pi \le \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}\le \frac{\pi }{3}\to -1\le \frac{1}{6}+\frac{n}{3}\le \frac{1}{3}\to -3,5\le n\le 0,5$$. (Целые n: -3,-2,-1,0)

Имеем следующие корни: $$-\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $${\rm АВ\ =\ ВС\ =\ АС\ =}9\sqrt{2}$$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём $${\rm DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 2:7}$$. Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$\sqrt{166}$$
Скрыть

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 9\sqrt{2}$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Так как AD = BD и $$\angle ADB\ =\ 90{}^\circ $$, то треугольник $$\triangle ADB$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD: $$AD^2+BD^2=AB^2\to 2AD^2=AB^2\to AD^2=\frac{AB^2}{2}\to AD=\frac{AB}{\sqrt{2}}=9$$.

Треугольники $$\triangle MDN$$ и $$\triangle ADC$$ подобны ($$\angle D$$ - общий угол, $$DM\ :\ DA\ =\ DN\ :\ DC\ =\ 6\ :\ 7$$). Тогда $$\frac{MN}{AC}=\frac{2}{9}\to MN=\frac{2}{9}\cdot 9\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$.

Так как $$\frac{AM}{AD}=\frac{7}{9}\to AM=\frac{7}{9}\cdot 9=7$$

Рассмотрим $$\triangle АВМ$$, в котором $$\angle МAB=45{}^\circ $$. По теореме косинусов, найдем ВМ:

$$BM^2=AM^2+AB^2-2AM\cdot AB\cdot {\cos \angle MAB\ }=49+162-2\cdot 7\cdot 9\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=85.$$ $$BM=\sqrt{85}.$$

Треугольник $$\triangle MNB$$ - равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника $$\triangle MNB$$, т. е. $$BK\ \bot \ MN$$.

Из прямоугольного треугольника $$\triangle ВМK\ $$($$\angle ВKM\ =\ 90{}^\circ $$) найдем BK:

$$BK^2=BM^2-MK^2\ (MK=\frac{1}{2}\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}).$$ $$BK^2={\left(\sqrt{85}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2=83\to BK=\sqrt{83}.$$ Площадь треугольника $$\Delta MNB$$ равна половине произведения основания MN на высоту BK: $$S_{MNB}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{83}=\sqrt{166}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$1+\frac{9}{{{\log }_2 x\ }-5}+\frac{18}{{{\log }^2_2 x\ }-{{\log }_2 \left(\frac{x^{10}}{4}\right)\ }+23}\ge 0$$.

Ответ: $$x\in (0;\left.\frac{1}{2}\right]\cup \left[4\right.;32)\cup (32;+\infty )$$
Скрыть

1. Запишем ОДЗ: $$x>0$$.

2. Преобразуем неравенство, учитывая, что $${{\log }_2 \left(\frac{x^{10}}{4}\right)\ }={{{\log }_2 x\ }}^{10}-{{\log }_2 4\ }=10{{\log }_2 x\ }-2$$ и $${{\log }^2_2 x\ }-{{\log }_2 \left(\frac{x^{10}}{4}\right)\ }+23={{\log }^2_2 x\ }-10{{\log }_2 x\ }+25={\left({{\log }_2 x\ }-5\right)}^2$$ получим: $$1+\frac{9}{{{\log }_2 x\ }-5}+\frac{18}{{\left({{\log }_2 x\ }-5\right)}^2}\ge 0$$. Пусть $${{\log }_2 x\ }-5=t$$, тогда: $$1+\frac{9}{t}+\frac{18}{t^2}\ge 0\to \frac{t^2+9t+18}{t^2}\ge 0\to \frac{(t+3)(t+6)}{t^2}\ge 0$$.

Имеем следующие точки, делящие числовую ось: $$t=-3;t=-6;t\ne 0$$.

Рассмотрим два случая: $$1) t\le -6\to {{\log }_2 x\ }-5\le -6\to {{\log }_2 x\ }\le {{\log }_2 \frac{1}{2}\ }\to x\le \frac{1}{2}$$ $$2) \left\{ \begin{array}{c} t\ge -3 \\ t\ne 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} {{\log }_2 x\ }-5\ge -3 \\ {{\log }_2 x\ }-5\ne 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x\ge 4 \\ x\ne 32 \end{array} \right.$$ $$x\in (0;\left.\frac{1}{2}\right]\cup \left[4\right.;32)\cup (32;+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $$AB_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AC_1B_1$$, если известно, что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14.

Ответ: 4
Скрыть

а) Поскольку$$\ AC_1=AB_1$$, треугольник$$\ AB_1C_1$$ равнобедренный, биссектриса его угла А перпендикулярна основанию $$B_1C_1$$ и делит его пополам, значит, высота треугольника $$B_1QC_1$$ проведённая из вершины Q, является его медианой. Значит, треугольник $$B_1QC_1$$ равнобедренный, $$\angle QB_1C_1=\angle QC_1B_1$$.

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $$\angle AC_1B_1=2\angle QB_1C_1=2\angle QC_1B_1$$. Следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Поскольку Q - точка пересечения биссектрис треугольника $$AB_1C_1$$, эта точка - центр окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1.$$ Значит, искомое расстояние - это длина отрезка OQ, т.е. радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть этот радиус равен r, а полупериметр треугольника ABC равен р. Тогда $$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21\to $$ $$\to S_{\triangle ABC}=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=84$$

Следовательно, $$OQ=R=\frac{S_{\triangle ABC}}{P}=\frac{84}{21}=4$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 928 200 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Ответ: 1171280
Скрыть

Пусть $$x$$ рублей требуется платить каждый год для погашения кредита. Тогда, в первый год изначальная сумма 928200 рублей увеличивается в 1,1 раза (на 10%), а затем, уменьшается на величину $$x$$: $${\rm 928200}{\rm \cdot }{\rm 1,1}{\rm -}x$$ рублей.

Во второй год выполняется та же процедура: $$\left({\rm 928200}{\rm \cdot }{\rm 1,1}{\rm -}x\right)\cdot 1,1-x={\rm 928200}{\rm \cdot }{{\rm 1,1}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 1,}1x-x$$.

Соответственно, для третьего и четвертого годов, имеем: $${\rm 928200\cdot }{{\rm 1,1}}^{{\rm 3}}{\rm -}{{\rm 1,1}}^{{\rm 2}}x-1,1x-x$$; $$928200\cdot {1,1}^4-{1,1}^3x-{1,1}^2x-1,1x-x=0.$$

Равенство нулю означает, что за 4 года кредит был полностью погашен.

Найдем сумму платежа, получим: $$x\left({1,1}^3+{1,1}^2+1,1+1\right)=928200\cdot {1,1}^4\to x=292820$$ и банку за 4 года было выплачено $$292820\cdot 4=1171280$$ рублей.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найти все значения $$a$$ при каждом из которых уравнение $$\left(7x-6\right){\ln \left(x+a\right)\ }=(7x-6){\ln \left(4x-a\right)\ }$$ имеет единственный корень на отрезке $$[0;1]$$.

Ответ: одно решение при $$-\frac{6}{7}<a\le 0;a=\frac{9}{7};\frac{3}{2}<a<\frac{24}{7}$$
Скрыть

ОДЗ $$\left\{ \begin{array}{c} x+a>0 \\ 4x-a>0 \end{array} \to \left\{ \begin{array}{c} a>-x \\ a<4x \end{array} \right.\right.$$

$$\left(7x-6\right)\left({\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(4x-a\right)\ }\right)=0$$

$$1: 7x-6=0\to x=\frac{6}{7}$$

$$2: {\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(4x-a\right)\ }=0\to x+a=4x-a\to x=\frac{2a}{3}$$

3 случая:

1) корни совпадают $$\frac{6}{7}=\frac{2a}{3};a=\frac{9}{7};$$

2) $$x=\frac{2a}{3}\in [0;1]$$ и с учетом ОДЗ $$\to $$ $$0<a\le 1,5$$

3) $$x=\frac{6}{7}$$ удовлетворяет ОДЗ, если $$-\frac{6}{7}<a<\frac{24}{7}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 935 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 6 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?

Ответ: а) да б) нет в) 1632
Скрыть

а) Пусть в первый день Маша сделала m фотографий, тогда за 5 дней она сделает $$m+\left(m+1\right)+\left(m+2\right)+\left(m+3\right)+\left(m+4\right)=5m+10$$

Аналогично Наташа, за первый день она сделала n фотографий, а за 5 дней $$5n+10.$$ фотографий.

Необходимо найти такие m и n, чтобы выполнялось условие: $$5n+10-5m-10=935\to n-m=\frac{935}{5}=187$$. Очевидно, можно взять, например, числа $$n=188$$ и $$m=1$$.

б) Если фотографии делались в течение 6 дней, то получим условие: $$n-m=\frac{935}{6}$$. Так как 935 не делится нацело на 6, то подобрать целые значения n и m невозможно.

в) Допустим, что Маша и Наташа делали фотографии x дней. Тогда в последний день Маша должна была сделать $$m+x-1<50\to m+x<51$$. То есть число дней должно быть $$1<x<51$$. Кроме того из условия $$nx-mx=935\to n-m=\frac{935}{x}$$ число x должно являться делителем числа 935. Отсюда получаем, что $$x=5,\ 11,\ 17.$$

Сначала вычислим максимальное число фотографий, сделанных Машей, получим:

- для $$x=3$$ имеем: $$m+3<51\to m=47$$. $$S=\frac{2\cdot m+x-1}{2}\cdot x\to S_3=144$$.

- для $$x=11$$ имеем: $$m=39,\ S_{11}=484$$. 

- для $$x=17$$ имеем: $$m=33,\ S_{17}=697$$.

Следовательно, максимальное число фотографий, сделанных Наташей, равно: $$697+935=1632$$.