Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 30. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В доме, в котором живёт Игорь, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Игорь живёт в квартире 47. На каком этаже живёт Игорь?

Ответ: 8
Скрыть Чтобы определить этаж проживания Игоря, нужно разделить номер его квартиры 47 на 6 и округлить результат до большего значения, получим: $$47:6=7\frac{5}{6}$$ и после округления имеем 8. т.е. на 8 этаже.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Ответ: 6
Скрыть Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S=\frac{1}{2}ah$$, где $$a$$ - длина основания; $$h$$ - высота треугольника. Из рисунка видно, что $$a=3$$ , а $$h=4$$, следовательно, площадь равна $$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Миша, Олег, Настя и Галя бросили жребий - кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет не Галя.
Ответ: 0,75
Скрыть Всего четыре участника игры. Среди них Галя - это один участник, остальных $$4-1=3$$ участника. Следовательно, вероятность того, что не Галя будет начинать игру, равна $$\frac{3}{4}=0,75$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите корень уравнения $${\left(6x-13\right)}^2={\left(6x-11\right)}^2$$.
Ответ: 2
Скрыть Возведем в квадрат левую и правую части уравнения: $$36x^2-156x+169=36x^2-132x+121$$. Упростим выражение, получим: $$-156x+132x=121-169\to x=2$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Угол АСВ равен $$54{}^\circ $$. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точек D и Е, равна $$138{}^\circ $$ Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 15
Скрыть

По условию задачи дана градусная мера дуги AB, на которую опирается вписанный угол ADB. Значение угла ADB в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается, т.е. $$\angle ADB=138{}^\circ :2=69{}^\circ $$.

Следовательно, угол $$\angle ADC=180{}^\circ -\angle ADB=111{}^\circ $$. Рассмотрим треугольник $$ADC$$, в котором известны два угла, третий угол $$DAC$$, который также равен углу DAE, вычисляется как $$\angle DAC=\angle DAE=180{}^\circ -111{}^\circ -54{}^\circ =15{}^\circ $$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображён график функции $$у\ =\ f(x)$$, определённой на интервале $$(-7;\ 7)$$. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 8
Скрыть Положительный знак производной означает, что в точке взятия производной функция возрастает. Проанализируем график, представленный на рисунки из которого следует, что производная будет положительная в целых точках: $$x=-6;-5;-3;-1;2;3;4;5$$, т.е. в 8 точках.
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.
Ответ: 2,5
Скрыть

В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат. Его сторона равна 10. Найдем диагональ квадрата, на пересечении которых лежит вершина пирамиды: $$d^2=100+100=200\to d=10\sqrt{2}$$.

Найдем высоту пирамиды из теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна боковому ребру, а один из катетов половине диагонали квадрата в основании. Второй катет, т.е. высота пирамиды, равна $$h^2={\left(7,5\right)}^2-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2=56,25-50=6,25\to h=2,5$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите значение выражения $$\sqrt{108}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{\pi }{12}\ }-\sqrt{27}$$.

Ответ: 4,5
Скрыть Преобразуем выражение, учитывая, что $${\cos 2\alpha \ }=2{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }-1$$, получим: $$\sqrt{27\cdot 4}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{\pi }{12}\ }-\sqrt{27}=\sqrt{27}{\cos \left(2\cdot \frac{\pi }{12}\right)\ }=\sqrt{27}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}=4,5$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне Тп= 25$${}^\circ$$С, через радиатор пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $$m\ =\ 0,3$$ кг/с. Проходя по трубе расстояние х, вода охлаждается от начальной температуры Тв= 57$${}^\circ$$С до температуры Т, причём $$x=\alpha \cdot \frac{cm}{\gamma }\cdot {{\log }_2 \frac{T_B-T_n}{T-T_n}\ }$$, где $$c=4200$$ Вт*с/кг$$\cdot {\rm{}^\circ\!C}$$ - теплоёмкость воды, $$\gamma =63$$ Вт/м $$\cdot{\rm{}^\circ\!C}$$ - коэффициент теплообмена, $$\alpha =1,4$$ - постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 56 м.

Ответ: 33
Скрыть

Сначала вычислим значение логарифма, в который входит значение T, получим $$x=\alpha \cdot \frac{cm}{\gamma }\cdot {{\log }_2 \frac{T_B-T_n}{T-T_n}\ }\to {{\log }_2 \frac{T_B-T_n}{T-T_n}\ }=\frac{x\cdot \gamma }{\alpha \cdot c\cdot m}$$.

Вычислим значение $$\frac{x\cdot \gamma }{\alpha \cdot c\cdot m}=\frac{56\cdot 63}{1,4\cdot 4200\cdot 0,3}=2$$ следовательно, $${{\rm log}}_2\frac{57-25}{T-25}=2\to \frac{32}{T-25}=4\to T=33$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Расстояние между городами А и В равно 630 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 50
Скрыть Обозначим через $$x$$ скорость первого автомобиля. В момент встречи он проехал 350 км. Общее время в пути у него составило $$4+3=7$$ часов. Следовательно, $$x=\frac{350}{7}=50$$ км/ч.
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=20{\tan x\ }-20x+5\pi -6$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$

Ответ: 14
Скрыть

Вычислим производную, получим: $$y'=\frac{20}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-20$$.

Приравняем производную нулю для поиска точек экстремума функции, получим уравнение $$\frac{20}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}=20\to {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }=1$$ откуда имеем $${\cos x\ }=1\to x=0\in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$ и $${\cos x\ }=-1\to x=\pi \notin \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$.

Дополнительно нужно оценить значение функции в граничных точках диапазона $$y\left(-\frac{\pi }{4}\right)=20{\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)\ }-20\left(-\frac{\pi }{4}\right)+5\pi -6$$ и $$y\left(0\right)=20{\tan \left(0\right)\ }+5\pi -6$$ данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ; $$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=14$$ - точка максимума.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

а) Решите уравнение $$6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }-2=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$$.

Ответ: а) $$\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z; -\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z$$ б)$$-\frac{14\pi }{3}$$
Скрыть

а) Упростим уравнение, получим: $$6\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+5{\cos x\ }-2=0\to 6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-5{\cos x\ }-4=0$$.

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,t\in [-1;1]$$, получим: $$6t^2-5t-4=0$$.

Решаем уравнение, имеем: $$D=25+96=121\to t_1=-\frac{1}{2};t_2=\frac{4}{3}\notin [-1;1]$$.

Переходя к косинусу, получаем $${\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$$. Получаем один корень $$-\frac{14\pi }{3}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки М и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость $$\alpha $$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha $$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью $$\alpha $$.

Ответ: $$\frac{80\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2:1, то есть $$OC=\frac{2}{3}CE$$.

Рассмотрим высоту SE. Точка $$F_1$$, расположена точно по центру высоты SE. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок $$OE=\frac{1}{3}CE$$, тогда $$EF=OF=\frac{\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$.

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как $$CF=\frac{5}{6}CE$$ или в соотношении 5:1, начиная от точки C.

б) Найдем высоту пирамиды CF, которая равна $$\frac{5}{6}CE$$. Длину медианы СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE: $$CE=\sqrt{{12}^2-6^2}=6\sqrt{3}$$ и $$OC=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$. Следовательно, $$CF=\frac{5}{6}\cdot 6\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$.

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок $$KZ=\frac{5}{6}\cdot 12=10$$, отрезок $$MN=\frac{12}{2}=6$$ (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции $$FF_1=\frac{1}{2}\cdot SO$$. Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC: $$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{64-48}=4$$, тогда $$FF_1=\frac{4}{2}=2$$.

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна $$S=\frac{10+6}{2}\cdot 2=16$$.

Объем пирамиды найдем по формуле $$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 5\sqrt{3}=\frac{80\sqrt{3}}{3}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$\frac{13-5\cdot 3^x}{9^x-12\cdot 3^x+27}\ge 0,5$$

Ответ: $$x=0; 1<x<2$$
Скрыть

1. Преобразуем выражение, получим: $$\frac{13-5\cdot 3^x}{9^x-12\cdot 3^x+27}-\frac{1}{2}\ge 0$$.

2. Делаем замену: $$3^x=t,t>0$$ получаем: $$\frac{13-5t}{t^2-12t+37}-\frac{1}{2}\ge 0\to \frac{26-10t-t^2+12t-27}{2\left(t^2-12t+27\right)}\ge 0\to \frac{t^2-2t+1}{2(t^2-12t+27)}\le 0\to $$ $$\to \frac{{\left(t-1\right)}^2}{t^2-12t+27}\le 0$$.

3. Для решения неравенства находим точки, которые разбивают числовую прямую на интервалы: $$\left\{ \begin{array}{c} {\left(t-1\right)}^2=0 \\ t^2-12t+27\ne 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} t=1 \\ t\ne 3 \\ t\ne 9 \end{array} \right.$$. Для $$t=1$$: $$3^x=3^0\to x=0$$. Для $$3<t<9$$: $$3^1<3^x$$$$<3^2\to 1<x<2$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L.

а) Докажите, что $$CN:CM=LB:LA$$.

б) Найдите MN, если $$LB:LA=2:3$$, а радиус малой окружности равен $$\sqrt{23}$$.

Ответ: $$\frac{115}{6}$$
Скрыть

а) О - центр большей окружности, К - внутренняя точка касания, КО - диаметр меньшей окружности.

$$\angle KBO$$ - прямой, т.к. опирается на диаметр окружности, значит, $$BO\bot KN$$. ВО - высота равнобедренного треугольника KNO. Тогда ВО - медиана треугольника KNO, В - середина КМ. $$\angle KAO$$ - прямой, А - лежит на окружности с диаметром КО. Тогда $$AO\bot KM$$, АО - высота равнобедренного треугольника KMO. Отсюда А - середина КМ. АВ тогда - средняя линия $$\triangle KMN,\ AB\parallel MN$$.

$$\triangle AKL\sim \triangle MKC$$ - по двум углам ($$\angle AKL-$$ общий; $$\angle KAL=\angle KMC$$), следовательно $$\frac{MC}{AL}=\frac{KC}{KL}$$.

$$\triangle LKB\sim \triangle CKN$$ ($$\angle LKB-$$ общий; $$\angle KLB=\angle KCN$$), следовательно $$\frac{CN}{LB}=\frac{KC}{KL}$$.

Правые части этих равенств равны, будут равны и левые части. $$\frac{MC}{AL}=\frac{CN}{LB}\to CN:MC=LB:AL$$.

б) Найти следует $$MN$$, если LB:LA=2:3, а радиус малой окружности равен $$\sqrt{23}$$, $$\frac{CN}{MC}=\frac{LB}{AL}=\frac{2}{3}$$; Пусть x - одна часть, тогда $$CN=2x,\ MC=3x,\ NM=5x$$.

В $$\triangle MON$$ проведем высоту OH, она также является медианой. Значит, $$MH=HN=2,5x$$.

Из прямоугольного треугольника MOH по теореме Пифагора найдем OH.

$$OH^2=MO^2-MH^2;OH=R=2r=2\sqrt{23};OH=\sqrt{92-6,25x^2};$$ Q - центр вписанной окружности. Проведем $$OD\bot QC,DC=OH$$. $$DC=\sqrt{92-6,25x^2},\ QD=QC-DC,\ QO=QC=r=\sqrt{23}\to $$ $$\to QD=\sqrt{23}-\sqrt{92-6,25x^2}$$.

$$OD=CH=MH-MC=2,5x-2x=0,5x$$; Из прямоугольного треугольника $$QDO$$ по теореме Пифагора имеем $$QO^2=QD^2+DO^2;{\left(\sqrt{23}\right)}^2={\left(0,5x\right)}^2+{\left(\sqrt{23}-\sqrt{92-6,25x^2}\right)}^2\to $$ $$\to 23=0,25x^2+23-2\sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}+92-6,25x^2\to $$ $$\to 2\sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}=92-6x^2\to \sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}=46-3$$.

Возведем обе части в квадрат, после преобразований получим $$9x^2-\frac{529}{4}\cdot x^2=0\to x^2\left(3x-\frac{23}{2}\right)\left(3x-\frac{23}{2}\right)=0\to x=0,\ x=\frac{23}{6},x=-\frac{23}{6}$$.

Удовлетворяют условию задачи только $$x=\frac{23}{6}$$, тогда $$MN=5x=5\cdot \frac{23}{6}=\frac{115}{6}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Ответ: 10
Скрыть

Взятый в первый год кредит в сумме 16 млн рублей, на следующий год сначала увеличивается на 25%, т.е. становится равный $$1,25\cdot 16$$ млн рублей, а затем, идет погашение таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год. Предположим, что долг выплачивается $$x$$ лет, тогда после первого года выплата составит $$\frac{16}{x}+\frac{25}{100}\cdot 16$$ и сумма долга будет равна $$1,25\cdot 16-\frac{16}{x}-0,25\cdot 16=\frac{x-1}{x}\cdot 16$$ млн рублей.

После второго года следует сделать выплату в размере $$\frac{16}{x}+\frac{25}{100}\cdot \frac{x-1}{x}\cdot 16$$ и сумма долга будет равна $$1,25\cdot \frac{x-1}{x}\cdot 16-\frac{16}{x}-0,25\cdot \frac{\left(x-1\right)}{x}\cdot 16=\frac{x-2}{x}\cdot 16$$.

Таким образом, после $$x$$ лет сумма долга будет равна $$\frac{x-x}{x}\cdot 16=0$$, а размер выплат составит $$16+\frac{0,25\cdot 16}{x}\cdot \left(x+x-1+x-2+\dots +1\right)=38$$, так как по условию задачи общая сумма выплат составила 38 млн рублей. Учитывая, что $$\left(x+\left(x-1\right)+\left(x-2\right)+\dots +1\right)=\frac{\left(x+1\right)\cdot x}{2}$$, получим $$16+\frac{0,25\cdot 16}{x}\cdot \frac{x\left(x+1\right)}{2}=38\to 16+2x+2=38\to x=10$$. То есть на 10 лет.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right| \\ x+2y=a \end{array} \right.$$ имеет более двух решений.

Ответ:
Скрыть

$$\left\{ \begin{array}{c} x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right|\ (1) \\ x+2y=a\ (2) \end{array} \right.$$

Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-10\ge 0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-10<0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40 \end{array} \right. \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ x^2-16x+y^2+8y=-55 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.\right.$$ $$\to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ x^2-16x+64+y^2+8y+16=-55+64+16 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.\to$$ $$\to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ {\left(x-8\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.$$

$${\left(x-8\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25$$ - уравнение окружности с центром (8;-4), $$R_1=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y\le 2x-10$$.

$$x^2+y^2=25$$ уравнение окружности с центром (0;0), $$R_2=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y>2x-10$$.

(2) $$x+2y=a\to y=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$$ - обозначим $$\frac{a}{2}=b\to y=-\frac{1}{2}x+b$$ - это множество прямых, параллельных прямой $$y=-\frac{1}{2}x$$.

Заметим еще, что прямые $$y=2x-10$$ и $$y=-\frac{1}{2}x$$ перпендикулярны, т.к. $$2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1.$$

Найдем те значения b, при которых прямая $$y=-\frac{1}{2}x+b$$ проходит через точки: $$1) A\left(5;0\right)\to 0=-\frac{1}{2}\cdot 5+b,\ b=2,5$$ $$2) B\left(3;-4\right)\to -4=-\frac{1}{2}\cdot 3+b,\ b=-2,5$$ $$3) C(x_0;y_0)\to \left\{ \begin{array}{c} y_0=2x_0 \\ y_0=-0,5x_0+b,\ b=2,5x_0.\ \ CH\bot Ox.\ \ CH=y_0=2x_0,\ OH=x_0 \end{array} \right.$$

$$OC^2=OH^2+CH^2;25=x^2_0+4x^2_0,\ 5x^2_0=25,\ x_0=\pm \sqrt{5}$$

Для точки $$C(\sqrt{5};2\sqrt{5})\to b=2,5\sqrt{5}$$.

Для точки $$D\left(-\sqrt{5};-2\sqrt{5}\right)\to b=-2,5\sqrt{5}$$.

По условию должно быть более двух решений $$\left[ \begin{array}{c} -2\sqrt{5}<\frac{a}{2}\le -2,5\\2,5\le \frac{a}{2}<2\sqrt{5} \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} -5\sqrt{5}<a\le -5 \\ 5\le a<5\sqrt{5}\end{array}\right.\right.$$. 

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Ответ: а) да; б) нет; в)$$\ 38\frac{1}{7}$$.
Скрыть

а) Да, может, например, если взять 19 чисел, равных 10, а 20-е равное 1, то после уменьшения 20-го числа на 1, оно становится равным 0 и получается среднее значение уже не 20 чисел, а 19-ти, то есть имеем:

- первоначальное среднее значение: $$S_1=\frac{19\cdot 10+1}{20}=9,55$$;

- среднее значение после изменения: $$S_2=\frac{19\cdot 10}{19}=10$$.

Как видим, второе среднее значение стало больше исходного.

б) Предположим, что для выполнения этого условия нужно взять $$n$$ единиц, затем взять $$19-n$$ чисел $$b$$ и одно число $$a$$, всего 20 чисел. Их среднее арифметическое будет равно $$\frac{n+b\left(19-n\right)-a}{20}=27$$, а после стирания единиц должны получить $$\frac{b\left(19-n\right)+a}{19-n+1}=34$$, то есть имеем систему уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} n+19b-bn+a=540 \\ 19b-bn+a=680-34n \end{array} \right.$$.

Вычтем из первого уравнения второе, получим: $$n=540-680+34n\to n\approx 4,24$$.

Таким образом, для выполнения условия данного пункта нужно взять дробное количество чисел, что невозможно в рамках данной задачи. 

в) Чтобы получить максимальное среднее оставшихся на доске чисел, изначально нужно записать набор чисел, состоящих из наибольшего числа единиц (которые, затем, будут стерты с доски), а остальные числа должны быть максимальными. Запишем это условие в виде $$\frac{n\cdot 1+40\left(19-n\right)+a}{20}=27$$, где $$n$$ - число единиц; $$a$$ - 20-е число (оно выбирается так, чтобы обеспечить среднее равным 27). Отсюда имеем: $$n+760-40n+a=540\to n=\frac{220+a}{39}$$.

Из полученного выражения видно, что минимальное значение $$a=14$$, при котором получим максимальное значение $$n=6$$. Таким образом, имеем последовательность чисел, сумма которых равна $$6\cdot 1+13\cdot 40+14$$ и среднее арифметическое $$S_1=\frac{6+13\cdot 40+14}{20}=27$$, а после стирания единиц, имеем: $$S_2=\frac{13\cdot 40+14}{14}=38\frac{1}{7}$$.