ЕГЭ 2020. Вариант 1. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.
Задание 2
На рисунке показаны данные о численности населения в Астрахани на конец каждого года с 2000 года по 2018 год (в тыс. чел.). Для наглядности точки соединены отрезками.
Определите, на сколько тысяч человек выросла численность населения в Астрахани за 2012 год.
Задание 10
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $$\phi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$, где t — время в минутах, $$\omega$$ = 60°/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $$\beta$$ = 6° мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки ср достигнет 3375°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.
Задание 14
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём АК:КВ = SM:МС = 1:5. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.
Задание 16
Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
Задание 17
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Задание 19
В ящике лежит 76 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 85 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 124 г.
Задание 20
Показания счётчика электроэнергии 1 января составляли 53848 кВт*ч, а 1 февраля - 54107 кВт*ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за январь, если 1 кВт*ч электроэнергии стоит 2 руб. 80 коп.? Ответ дайте в рублях.
Задание 21
На диаграмме показан уровень инфляции в России в 2018 и 2019 годах. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - уровень инфляции (в процентах) за каждый месяц соответствующего года. Определите количество месяцев, когда инфляция в 2019 году была ниже, чем инфляция в соответствующем месяце 2018 года.
Задание 22
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён ромб. Найдите его площадь.
Задание 23
В гонке с раздельным стартом участвуют 25 лыжников, среди которых 7 спортсменов из Норвегии. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из норвежских лыжников получил стартовый номер «5». Найдите вероятность, что он будет стартовать за своим соотечественником.
Задание 24
Найдите корень уравнения $$\frac{1}{2x-3}=\frac{1}{8}$$.
Задание 25
В треугольнике АВС угол С равен $$46{}^\circ $$, AD и BE - биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.
Задание 26
На рисунке изображён график $$у\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-9; 6). Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку $$[-8; 5].$$
Задание 27
В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$DC_1$$ и $$BD$$. Ответ дайте в градусах.
Задание 28
Задание 29
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$a$$ в км/ч$${}^{2}$$. Скорость $$v$$ (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=\sqrt{2la}$$, где $$l$$ - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч$${}^{2}$$.
Задание 30
Задание 31
Найдите наименьшее значение функции $$y=4{\sin x\ }-6x+7$$ на отрезке $$\left[-\frac{3\pi }{2};0\right]$$
Задание 32
а) Решите уравнение $$2{{\sin }^{{\rm 2}} (\frac{\pi }{2}-x)\ }+{\sin 2x\ }=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3\pi ;\frac{9\pi }{2}]$$
а) $$2{{\sin }^{{\rm 2}} (\frac{\pi }{2}-x)\ }+{\sin 2x\ }=0\leftrightarrow 2{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+2{\sin x\ }{\cos x\ }=0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 2{\cos x\ }\left({\cos x\ }+{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x=0\ } \\ {\cos x\ }+{\sin x\ }=0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x=0\ } \\ 1+{\tan x\ }=0 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z \end{array} \right.$$
б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]:1)3\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2};2)4\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}\ ;3)4\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}\ $$
Задание 33
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М - середина ребра АВ. Плоскость $$\alpha $$ перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость $$\alpha $$ в точке К.
а) Докажите, что KM = KD.
б) Найдите объём пирамиды CDKM.
А) 1) Пусть $$FC\cap DM=L$$. Т.к. $$\alpha \bot ABC$$, то ч/з L пойдет $$LK\bot ABC$$. Пусть $$CB\cap DM=H$$, $$KH\cap SB=R\to \left(DKRM\right)$$ - искомая плоскость.
2) FC равноудалена от ED и AB $$\to $$ т.к. $$ED\parallel AB$$, то $$\angle XDL=\angle LZB$$ (накрест лежащие) $$\to \triangle XDL=\triangle LMZ\to DL=LM\to KL$$ - высота и медиана $$\to $$ $$\triangle DKM$$ - равнобедренный $$\to KM=KD$$.
Б) 1) $$V_{CDKM}=\frac{1}{3}S_{CDKM}\cdot KL$$. $$S_{ABCDEF}=6S_{AOB}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\to S_{MNDCB}=3\sqrt{3}.$$ $$S_{MND}=\frac{1}{2}MN\cdot ND=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$$ $$S_{MBC}=\frac{1}{2}MB\cdot BC{\sin \angle B\ }=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to S_{CDM}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=$$ $$=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$
2) $$NX=OL\to LC=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\to \frac{KL}{SO}=\frac{LC}{OC}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$$ (т.к. $$\triangle SOC\sim \triangle KLC$$ по острому углу) - $$SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\to KL=\frac{3\sqrt{15}}{2}\to$$ $$\to V_{CDKM}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{15}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{4}$$.
Задание 34
Решите неравенство $$x^2{{\log }_{64} (3-2x)\ }\ge {{\log }_2 \left(4x^2-12x+9\right)\ }$$
Задание 35
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
а) По т.о. касательной и хорде $$\angle LCD=\angle CAD$$ (для меньшей) и $$\angle LCD=\angle CED$$ (для большей) $$\to \angle CAD=\angle CED$$, а они накрест лежащие $$\to AD\parallel BE$$.
б) $$\angle CDA$$ и $$\angle EBE$$ - прямоугольные, $$\angle CAD=\angle CED\to \triangle CDA\sim \triangle CBE\to \frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CE}=\frac{AD}{BE}$$. При этом AD и BE - диаметры ($$\angle C$$ - вписан и прямой) $$\to AD=6;BE=8\to \frac{CD}{CB}=\frac{3}{4}$$. Пусть $$CA=CB=x\to CD=\frac{3}{4}x$$. Из $$\triangle ADC:AD^2=CD^2+CA^2\to 36=x^2+\frac{9x^2}{16}\to x^2=\frac{36\cdot 16}{25}\to x=4,8$$.
Задание 36
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
- выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
- к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Задание 37
Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-a^2x^2} \\ x^2+y^2=8x+4y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.
$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-a^2x^2} \\ x^2+y^2=8x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 16-y^2\ge 0 \\ 16-y^2=16-{\left(ax\right)}^2 \\ x^2+y^2-8x-4y=0 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} y\in [-4;4] \\ y=ax \\ y=-ax \\ x^2+y^2-8x-4y=0 \end{array} \right.$$
При $$y=ax:x^2+{a^2x}^2-8x-4ax=0\leftrightarrow x\left(x+a^2x-8-4a\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=\frac{4a+8}{a^2+1} \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=0 \\ y=\frac{4a^2+8a}{a^2+1} \end{array} \right.$$.
При $$y=-ax:\ x^2+{a^2x}^2-8x+4ax=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=\frac{-4a+8}{a^2+1} \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=0 \\ y=\frac{4a^2-8a}{a^2+1} \end{array} \right.$$.
Получим: $$\left(0:0\right):\left(\frac{4a+8}{a^2+1};\frac{4a^2+8a}{a^2+1}\right);(\frac{8-4a}{a^2+1};\frac{4a^2-8a}{a^2+1})$$.
При этом $$\left(0:0\right)$$ всегда, т.к. $$y\in [-4;4]$$ выполняется.
Вторая пара существует при: $$-4\le \frac{4a^2+8a}{a^2+1}\le 4\to \left\{ \begin{array}{c} 4a^2+8a\ge -4a^2-4 \\ 4a^2+8a\le 4a^2+4 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 8a^2+8a+4\ge 0 \\ a\le \frac{1}{2} \end{array} \right.\leftrightarrow a\le \frac{1}{2}$$.
Третья пара существует при: $$-4\le \frac{4a^2-8a}{a^2+1}\le 4\to \left\{ \begin{array}{c} 4a^2-8a\ge -4a^2-4 \\ 4a^2-8a\ge 4a^2+4 \end{array} \right.$$$$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 8a^2-8a+4\ge 0 \\ a\ge -\frac{1}{2} \end{array} \right.\leftrightarrow a\ge -\frac{1}{2}$$.
При этом первая и вторая совпадают при $$\frac{4a+8}{a^2+1}=0\to a=-2.$$
Первая и третья: $$\frac{8-4a}{a^2+1}=0\to a=2$$.
Вторая и третья: $$\frac{4a+8}{a^2+1}=\frac{8-4a}{a^2+1}\to a=0$$. т.е. должно быть только 2: $$a\in \left(-\infty ;-2\right);(-2;+\infty )$$.
Задание 38
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы - цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
А) Пусть было три числа $$A,B,C\in N,A\ne B\ne C\le 9$$. Получим $$A\to 10A+3;B\to 10B+7$$. Следовательно, $$\frac{10A+3+10B+7+C}{A+B+C}=8\to 2A+2B+10-7C=0$$. Пусть $$A=2,B=8,C=4\to $$ Да, могла.
Б) Пусть в 1-ой группе $$x$$ чисел, их сумма $$A$$, во 2-ой $$y$$ чисел, сумма $$B$$, в 3-ей $$Z$$ чисел, сумма $$C$$. Тогда $$\frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=17\to 3x+7y=7A+7B+16C.$$ При этом $$A\ge x,B\ge y$$, тогда $$3x+7y<7A+7B\to $$ равенство невозможно.
В) Пусть в 1,2 и 3 группах x, y и 7 чисел соответственно, их сумма $$A,B,C$$. Тогда $$\frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=Q\to \frac{10\left(A+B+C\right)+3x+7y-9C}{A+B+C}=Q\to$$ $$\to Q=10+\frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$ т.к. при переносе чисел из первой или третьей группы во вторую $$A+B+C$$ не меняется, но $$3x+7y-9C$$ увеличивается, то и Q увеличится. Следовательно, $$Q\to max$$, при $$x\to min$$. А $$x_{min}=1$$. $$C\to min$$, т.е. $$Z\to min,\ Z=1(C=1)$$. При этом общее число чисел тогда $$y+2$$. Получим: $$Q=10+\frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$. Т.к. числа разные натуральные, то $$A+B+C\ge 2+1+\frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y$$ (т.к. минимальная сумма будет у подряд идущих натуральных чисел с единицы). Т.е. $$A+B+C\ge 3+\frac{\left(5+y\right)y}{2}$$ или $$A+B+C\ge \frac{y^2+5y+6}{2}=\frac{\left(y+2\right)\left(y+3\right)}{2}$$. Тогда: $$Q=10+\frac{\left(7y-6\right)\cdot 2}{(y+2)(y+3)}$$. Найдем максимальное значение $$\frac{14y-12}{(y+2)(y+3)}=f(y)$$ при $$y\in N$$. $$f'\left(y\right)=\frac{14\left(y^2+5y+6\right)-\left(14y-12\right)\left(2y+5\right)}{{\left((y+2)(y+3)\right)}^2}=0\to $$ $$\to 14y^2+70y+84-28y^2-70y+24y+60=0$$. $$-14y^2+24y+144=0\to -7y^2+12y+72=0\to \frac{D}{4}=540\in ({23}^2;{24}^2)$$. $$\left[ \begin{array}{c} y_1=\frac{-6+\sqrt{540}}{-7} \\ y_2=\frac{-6-\sqrt{540}}{-7}-max \end{array} \right..$$
При этом $$y_2=\frac{6+\sqrt{540}}{7}\approx \frac{6+23}{7}\approx \frac{29}{7}\to y=4$$ или $$y=5$$. При $$y=4:f\left(4\right)=\frac{14\cdot 4-12}{6\cdot 7}=\frac{44}{6\cdot 7}=\frac{22}{21}$$.
При $$y=5:f\left(5\right)=\frac{14\cdot 5-12}{7\cdot 8}=\frac{58}{7\cdot 8}=\frac{29}{28}$$. $$f\left(4\right)>f\left(5\right)\to Q_{max}=10+\frac{22}{21}=\frac{232}{21}.$$