Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 1. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Решаем 1 вариант Ященко 2020 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 задания. Решаем 1 вариант Ященко 2020 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 задания.
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В школе немецкий язык изучают 189 учащихся, что составляет 35% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

Ответ: 540
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показаны данные о численности населения в Астрахани на конец каждого года с 2000 года по 2018 год (в тыс. чел.). Для наглядности точки соединены отрезками.

Определите, на сколько тысяч человек выросла численность населения в Астрахани за 2012 год.

 

Ответ: 6
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Ответ: 28
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Всего в группе туристов 21 человек, в том числе Женя и Саша. Группу случайным образом делят на три подгруппы по 7 человек для посадки в три микроавтобуса. Какова вероятность того, что Женя и Саша случайно окажутся в одном микроавтобусе?

Ответ: 0.3
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$0,5^{4-5x}=64$$
Ответ: 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности.

Ответ: 6,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-4;7). В какой точке отрезка [-2; 2] функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.

Ответ: 54
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3}-\sqrt{13})(\sqrt{3}+\sqrt{13})$$
Ответ: -10
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $$\phi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$, где t — время в минутах, $$\omega$$ = 60°/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $$\beta$$ = 6° мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки ср достигнет 3375°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 25
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Первая труба наполняет резервуар на 54 минуты дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 36 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Ответ: 54
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку минимума функции $$y=x^{2}-28x+96\ln x-5$$
Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\cos 2x-\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}+x)+1=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: а)$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n; -\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$$ б)$$-\frac{19\pi}{4};-\frac{17\pi}{4}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём АК:КВ = SM:МС = 1:5. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой SА.
б) Найдите угол между плоскостями $$\alpha$$ и SВС.
Ответ: $$arccos \frac{31\sqrt{10}}{140}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$\log_{0,5}(12-6x)\geq \log_{0,5}(x^2-6x+8)+\log_{0,5}(x+3)$$
Ответ: [-2;2)
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что $$\angle POA=\angle PAO$$.
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, $$\angle BAC=75$$, $$\angle ABC=60$$.
Ответ: $$9\sqrt{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Ответ: 39
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{|3x|-2x-2-a}{x^2-2x-a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$(-2;-1)\cup (-1;0)\cup$$$$(0;3)\cup (3;8)\cup$$$$(8;+\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

В ящике лежит 76 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 85 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 124 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 8 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Ответ: нет, нет, 676 гр.
Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Показания счётчика электроэнергии 1 января составляли 53848 кВт*ч, а 1 февраля - 54107 кВт*ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за январь, если 1 кВт*ч электроэнергии стоит 2 руб. 80 коп.? Ответ дайте в рублях.

Ответ: 725,2
Скрыть Разница в кВт*ч: $$54107-53848=259$$. Стоимость: $$259\cdot 2,8=725,2$$ рубля.
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

На диаграмме показан уровень инфляции в России в 2018 и 2019 годах. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - уровень инфляции (в процентах) за каждый месяц соответствующего года. Определите количество месяцев, когда инфляция в 2019 году была ниже, чем инфляция в соответствующем месяце 2018 года.

Ответ: 9
Скрыть Это месяцы с апреля по декабрь: 9 месяцев.
Аналоги к этому заданию:

Задание 22

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён ромб. Найдите его площадь.

Ответ: 12
Скрыть Найдем диагонали по теореме Пифагора $$d_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2};\ d_2=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$. $$S=\frac{1}{2} d_1\cdot d_2=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}=12$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 23

В гонке с раздельным стартом участвуют 25 лыжников, среди которых 7 спортсменов из Норвегии. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из норвежских лыжников получил стартовый номер «5». Найдите вероятность, что он будет стартовать за своим соотечественником.

Ответ: 0,25
Скрыть Вероятность, что 4-ый будет из Норвегии: $$P\left(A\right)=\frac{6}{24}$$ (т.к. после того, как один получит номер «5» лыжников из Норвегии осталось 6, а всего лыжников 24). Т.е. 0,25.
Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Найдите корень уравнения $$\frac{1}{2x-3}=\frac{1}{8}$$.

Ответ: 5,5
Скрыть $$\frac{1}{2x+3}=\frac{1}{8}\leftrightarrow 2x-3=8\leftrightarrow 2x=11\leftrightarrow x=5,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 25

В треугольнике АВС угол С равен $$46{}^\circ $$, AD и BE - биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 113
Скрыть $$\angle A+\angle B=180{}^\circ -\angle C=134{}^\circ \to \frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}=\frac{134}{2}=67{}^\circ \to$$ $$\to \angle AOB=180-67=113{}^\circ $$
Аналоги к этому заданию:

Задание 26

На рисунке изображён график $$у\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-9; 6). Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку $$[-8; 5].$$

Ответ: 2
Скрыть Точка минимума там, где $$f'\left(x\right)=0$$ при возрастании $$f'\left(x\right)$$, т.е. $$\approx -1,8;\ \approx 1,5;\ \approx 5,6$$. Но на $$x\in [-8;5]$$ их 2 точки.
Аналоги к этому заданию:

Задание 27

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$DC_1$$ и $$BD$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60
Скрыть Рассмотрим $$\triangle BC_1D:BC_1=DC_1=BC_1=BD$$ (диагонали равных квадратов)$$\to \triangle BC_1D$$ - равносторонний $$\to \ \angle BDC_1=60{}^\circ $$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 28

Найдите значение выражения $$4^{1-2{{\log }_{0,5} 3\ }}$$
Ответ: 324
Скрыть $$4^{1-2{{\log }_{0,5} 3\ }}=\frac{4^1}{4^{2{{\log }_{0,5} 3\ }}}=\frac{4^1}{{(2^2)}^{{{\log }_{2^{-1}} 3\ }}}=\frac{4}{2^{-2{{\log }_2 9\ }}}=\frac{4}{2^{{{\log }_2 \frac{1}{81}\ }}}=\frac{4}{\frac{1}{81}}=324$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 29

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$a$$ в км/ч$${}^{2}$$. Скорость $$v$$ (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=\sqrt{2la}$$, где $$l$$ - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч$${}^{2}$$.

Ответ: 6250
Скрыть Подставим известные в формулу: $$100=\sqrt{2\cdot 0,8\cdot a}\leftrightarrow 10000=1,6a\leftrightarrow a=6250$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 30

Катер в 8:40 вышел из пунтка А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
Ответ: 14
Скрыть Прошло времени: 7 часов 40 минут. При этом 40 минут стоял, т.е. в движении 5 часов. Пусть $$x$$ км/ч - собственная скорость катера. Тогда: $$\frac{48}{x+2}+\frac{48}{x-2}=7\leftrightarrow 48x-96+48x+96=7x^2-28\leftrightarrow 7x^2-96x-28=0\to $$ $$\to \frac{D}{4}=2304+196=2500\to \left[ \begin{array}{c} x_1=\frac{48+50}{7} \\ x_2<0 \end{array} \right.\leftrightarrow x=14$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 31

Найдите наименьшее значение функции $$y=4{\sin x\ }-6x+7$$ на отрезке $$\left[-\frac{3\pi }{2};0\right]$$

Ответ: 7
Скрыть Найдем производную: $$y'=4{\cos x\ }-6$$. Т.к. $$\left|{\cos x\ }\right|\le 1$$, то $$y'<0$$ при любом $$x$$, тогда функция убывает на всем $$D\left(x\right)\to y_{min}=y(0)$$. $$y\left(0\right)=4{\sin 0\ }-6\cdot 0+7=7$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 32

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^{{\rm 2}} (\frac{\pi }{2}-x)\ }+{\sin 2x\ }=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3\pi ;\frac{9\pi }{2}]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$$; $$-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z$$ б) $$1)3\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2};2)4\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}\ ;3)4\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}\ $$
Скрыть

а) $$2{{\sin }^{{\rm 2}} (\frac{\pi }{2}-x)\ }+{\sin 2x\ }=0\leftrightarrow 2{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+2{\sin x\ }{\cos x\ }=0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 2{\cos x\ }\left({\cos x\ }+{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x=0\ } \\ {\cos x\ }+{\sin x\ }=0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x=0\ } \\ 1+{\tan x\ }=0 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z \end{array} \right.$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]:1)3\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2};2)4\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}\ ;3)4\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}\ $$

Аналоги к этому заданию:

Задание 33

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М - середина ребра АВ. Плоскость $$\alpha $$ перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость $$\alpha $$ в точке К.

а) Докажите, что KM = KD.

б) Найдите объём пирамиды CDKM.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{5}}{4}$$
Скрыть

А) 1) Пусть $$FC\cap DM=L$$. Т.к. $$\alpha \bot ABC$$, то ч/з L пойдет $$LK\bot ABC$$. Пусть $$CB\cap DM=H$$, $$KH\cap SB=R\to \left(DKRM\right)$$ - искомая плоскость.

2) FC равноудалена от ED и AB $$\to $$ т.к. $$ED\parallel AB$$, то $$\angle XDL=\angle LZB$$ (накрест лежащие) $$\to \triangle XDL=\triangle LMZ\to DL=LM\to KL$$ - высота и медиана $$\to $$ $$\triangle DKM$$ - равнобедренный $$\to KM=KD$$.

Б) 1) $$V_{CDKM}=\frac{1}{3}S_{CDKM}\cdot KL$$. $$S_{ABCDEF}=6S_{AOB}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\to S_{MNDCB}=3\sqrt{3}.$$ $$S_{MND}=\frac{1}{2}MN\cdot ND=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$$ $$S_{MBC}=\frac{1}{2}MB\cdot BC{\sin \angle B\ }=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to S_{CDM}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=$$ $$=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

2) $$NX=OL\to LC=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\to \frac{KL}{SO}=\frac{LC}{OC}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$$ (т.к. $$\triangle SOC\sim \triangle KLC$$ по острому углу) - $$SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\to KL=\frac{3\sqrt{15}}{2}\to$$ $$\to V_{CDKM}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{15}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{4}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 34

Решите неравенство $$x^2{{\log }_{64} (3-2x)\ }\ge {{\log }_2 \left(4x^2-12x+9\right)\ }$$

Ответ: $$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{12}\right];[1;1,5)$$
Скрыть $$x^2{{\log }_{64} (3-2x)\ }\ge {{\log }_2 \left(4x^2-12x+9\right)\ }\leftrightarrow \frac{x^2}{6}{{\log }_2 \left(3-2x\right)\ }-{{\log }_{64} {\left(2x-3\right)}^2\ }\ge 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow $$ т.к. $$3-2x>0$$, то: $$\frac{x^2}{6}{{\log }_2 \left(3-2x\right)\ }-2{{\log }_2 \left(3-2x\right)\ }\ge 0\leftrightarrow (x^2-12)({{\log }_2 (3-2x)\ })\ge 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 3-2x>0 \\ (x^2-12)(3-2x-1)\ge 0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x<1,5 \\ (x-\sqrt{12})(x+\sqrt{12})(x-1)\le 0 \end{array} \right.$$. $$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{12}\right];[1;1,5)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 35

Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.

Ответ: 4,8
Скрыть

а) По т.о. касательной и хорде $$\angle LCD=\angle CAD$$ (для меньшей) и $$\angle LCD=\angle CED$$ (для большей) $$\to \angle CAD=\angle CED$$, а они накрест лежащие $$\to AD\parallel BE$$.

б) $$\angle CDA$$ и $$\angle EBE$$ - прямоугольные, $$\angle CAD=\angle CED\to \triangle CDA\sim \triangle CBE\to \frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CE}=\frac{AD}{BE}$$. При этом AD и BE - диаметры ($$\angle C$$ - вписан и прямой) $$\to AD=6;BE=8\to \frac{CD}{CB}=\frac{3}{4}$$. Пусть $$CA=CB=x\to CD=\frac{3}{4}x$$. Из $$\triangle ADC:AD^2=CD^2+CA^2\to 36=x^2+\frac{9x^2}{16}\to x^2=\frac{36\cdot 16}{25}\to x=4,8$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 36

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

- выплаты в 2026 и 2027 годах равны;

- к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Ответ: 500 т.р.
Скрыть Раз первые 3 года долг не менялся, то платили только проценты, т.е. $$1050\cdot 0,1=105$$ т.р. Пусть крайние 2 выплаты по $$x$$ т.р. Тогда: $$\left(1050\cdot 1,1-x\right)\cdot 1,1-x=0\leftrightarrow 1270,5-2,1x=0\to x=605$$ т.р. Тогда разница: $$605-105=500$$ т.р.
Аналоги к этому заданию:

Задание 37

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-a^2x^2} \\ x^2+y^2=8x+4y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$a\in \left(-\infty ;-2\right);(-2;+\infty )$$
Скрыть

$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-a^2x^2} \\ x^2+y^2=8x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 16-y^2\ge 0 \\ 16-y^2=16-{\left(ax\right)}^2 \\ x^2+y^2-8x-4y=0 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} y\in [-4;4] \\ y=ax \\ y=-ax \\ x^2+y^2-8x-4y=0 \end{array} \right.$$

При $$y=ax:x^2+{a^2x}^2-8x-4ax=0\leftrightarrow x\left(x+a^2x-8-4a\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=\frac{4a+8}{a^2+1} \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=0 \\ y=\frac{4a^2+8a}{a^2+1} \end{array} \right.$$.

При $$y=-ax:\ x^2+{a^2x}^2-8x+4ax=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=\frac{-4a+8}{a^2+1} \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=0 \\ y=\frac{4a^2-8a}{a^2+1} \end{array} \right.$$.

Получим: $$\left(0:0\right):\left(\frac{4a+8}{a^2+1};\frac{4a^2+8a}{a^2+1}\right);(\frac{8-4a}{a^2+1};\frac{4a^2-8a}{a^2+1})$$.

При этом $$\left(0:0\right)$$ всегда, т.к. $$y\in [-4;4]$$ выполняется.

Вторая пара существует при: $$-4\le \frac{4a^2+8a}{a^2+1}\le 4\to \left\{ \begin{array}{c} 4a^2+8a\ge -4a^2-4 \\ 4a^2+8a\le 4a^2+4 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 8a^2+8a+4\ge 0 \\ a\le \frac{1}{2} \end{array} \right.\leftrightarrow a\le \frac{1}{2}$$.

Третья пара существует при: $$-4\le \frac{4a^2-8a}{a^2+1}\le 4\to \left\{ \begin{array}{c} 4a^2-8a\ge -4a^2-4 \\ 4a^2-8a\ge 4a^2+4 \end{array} \right.$$$$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 8a^2-8a+4\ge 0 \\ a\ge -\frac{1}{2} \end{array} \right.\leftrightarrow a\ge -\frac{1}{2}$$.

При этом первая и вторая совпадают при $$\frac{4a+8}{a^2+1}=0\to a=-2.$$

Первая и третья: $$\frac{8-4a}{a^2+1}=0\to a=2$$.

Вторая и третья: $$\frac{4a+8}{a^2+1}=\frac{8-4a}{a^2+1}\to a=0$$. т.е. должно быть только 2: $$a\in \left(-\infty ;-2\right);(-2;+\infty )$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 38

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы - цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Ответ: а)да б)нет в)$$\frac{232}{21}$$
Скрыть

А) Пусть было три числа $$A,B,C\in N,A\ne B\ne C\le 9$$. Получим $$A\to 10A+3;B\to 10B+7$$. Следовательно, $$\frac{10A+3+10B+7+C}{A+B+C}=8\to 2A+2B+10-7C=0$$. Пусть $$A=2,B=8,C=4\to $$ Да, могла.

Б) Пусть в 1-ой группе $$x$$ чисел, их сумма $$A$$, во 2-ой $$y$$ чисел, сумма $$B$$, в 3-ей $$Z$$ чисел, сумма $$C$$. Тогда $$\frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=17\to 3x+7y=7A+7B+16C.$$ При этом $$A\ge x,B\ge y$$, тогда $$3x+7y<7A+7B\to $$ равенство невозможно.

В) Пусть в 1,2 и 3 группах x, y и 7 чисел соответственно, их сумма $$A,B,C$$. Тогда $$\frac{10A+3x+10B+7y+C}{A+B+C}=Q\to \frac{10\left(A+B+C\right)+3x+7y-9C}{A+B+C}=Q\to$$ $$\to Q=10+\frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$ т.к. при переносе чисел из первой или третьей группы во вторую $$A+B+C$$ не меняется, но $$3x+7y-9C$$ увеличивается, то и Q увеличится. Следовательно, $$Q\to max$$, при $$x\to min$$. А $$x_{min}=1$$. $$C\to min$$, т.е. $$Z\to min,\ Z=1(C=1)$$. При этом общее число чисел тогда $$y+2$$. Получим: $$Q=10+\frac{3x+7y-9c}{A+B+C}$$. Т.к. числа разные натуральные, то $$A+B+C\ge 2+1+\frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y$$ (т.к. минимальная сумма будет у подряд идущих натуральных чисел с единицы). Т.е. $$A+B+C\ge 3+\frac{\left(5+y\right)y}{2}$$ или $$A+B+C\ge \frac{y^2+5y+6}{2}=\frac{\left(y+2\right)\left(y+3\right)}{2}$$. Тогда: $$Q=10+\frac{\left(7y-6\right)\cdot 2}{(y+2)(y+3)}$$. Найдем максимальное значение $$\frac{14y-12}{(y+2)(y+3)}=f(y)$$ при $$y\in N$$. $$f'\left(y\right)=\frac{14\left(y^2+5y+6\right)-\left(14y-12\right)\left(2y+5\right)}{{\left((y+2)(y+3)\right)}^2}=0\to $$ $$\to 14y^2+70y+84-28y^2-70y+24y+60=0$$. $$-14y^2+24y+144=0\to -7y^2+12y+72=0\to \frac{D}{4}=540\in ({23}^2;{24}^2)$$. $$\left[ \begin{array}{c} y_1=\frac{-6+\sqrt{540}}{-7} \\ y_2=\frac{-6-\sqrt{540}}{-7}-max \end{array} \right..$$

При этом $$y_2=\frac{6+\sqrt{540}}{7}\approx \frac{6+23}{7}\approx \frac{29}{7}\to y=4$$ или $$y=5$$. При $$y=4:f\left(4\right)=\frac{14\cdot 4-12}{6\cdot 7}=\frac{44}{6\cdot 7}=\frac{22}{21}$$.

При $$y=5:f\left(5\right)=\frac{14\cdot 5-12}{7\cdot 8}=\frac{58}{7\cdot 8}=\frac{29}{28}$$. $$f\left(4\right)>f\left(5\right)\to Q_{max}=10+\frac{22}{21}=\frac{232}{21}.$$