Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 33 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Рост Джимми 4 фута 7 дюймов. Выразите рост Джимми в сантиметрах, если в 1 футе 12 дюймов, а в 1 дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Ответ: 140
Скрыть Найдем число дюймов в росте Джимми, получим: $$4\cdot 12+7=48+7=55$$ дюймов. Так как в 1 дюйме 2,54 см, то рост в сантиметрах равен $$55\cdot 2,54=139,7\approx 140$$ см.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике жирными точками показан курс доллара, установленный Центробанком РФ, на все рабочие дни с 7 мая по 31 мая 2018 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали -- цена доллара в рублях. Для наглядности точки соединены линиями.

Определите наибольший курс доллара в рублях в период с 14 по 28 мая.

Ответ: 62,5
Скрыть Курс доллара отложен по вертикали. Найдем наибольшее значение по оси Oy в диапазоне значений $$[14;\ 28]$$ по оси Ox. Из графика видно, что это величина 62,5, соответствующая 21-му дню.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты $$(1;\ 1),\ (10;\ 1),\ (7;\ 8),\ (2;\ 8).$$

Ответ: 49
Скрыть Площадь трапеции можно найти как произведение ее высоты на полусумму оснований: $$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$$, где a, b - длины оснований; h - высота трапеции. Из рисунка видно, что $$h=8-1=7$$, $$a=10-1=9$$, $$b=7-2=5.$$ Получаем площадь трапеции: $$S=\frac{9+5}{2}\cdot 7=49.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На складе на одном стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных клавиатур: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. На другом стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных компьютерных мышей: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. Найдите вероятность того, что случайно выбранные клавиатура и мышь будут одинакового цвета.

Ответ: 0,44
Скрыть

Выделим три несовместных события:

А - клавиатура и мышь черного цвета; B - клавиатура и мышь белого цвета; C - клавиатура и мышь серого цвета.

Вероятность события A равна $$P\left(A\right)=\frac{30}{50}\cdot \frac{30}{50}=\frac{9}{25}$$, так как имеется 30 клавиатур черного цвета из 50-ти возможных и 30 мышей черного цвета из 50-ти возможных. Произведение означает, что выбрана И черная клавиатура И черная мышь.

Аналогично получаем значения вероятностей: $$P\left(B\right)=\frac{10}{50}\cdot \frac{10}{50}=\frac{1}{25}.$$

В задаче интересует возникновение или события A, или события B, или события C, то есть, нужно вычислить вероятность (при условии, что события несовместны): $$P\left(A+B+C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)=\frac{9}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}=\frac{11}{25}=0,44$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$2^{2-3x}=32$$.
Ответ: -1
Скрыть Преобразуем выражение, получим: $$\frac{2^2}{2^{3x}}=2^5\to 2^{3x}=2^2-5=2^{-3}\to x=-1.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC угол С равен $$90{}^\circ $$, $${\cos А\ }=0,41$$ Найдите $${\sin В\ }$$.

Ответ: 0,41
Скрыть Косинус угла - это отношение прилежащего катета на гипотенузу. Синус угла - это отношение противолежащего катета на гипотенузу. По условию задачи дано значение косинуса угла A, т.е. дано отношение прилежащего к углу A катета на гипотенузу: $$\frac{AC}{AB}=0,41.$$ Синус угла B - это также отношение AC к AB, и, следовательно, равен $${\sin B\ }={\cos A\ }=0,41.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и касательная к этому графику, проведённая в точке $$x_0$$. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $$y=4f\left(x\right)-3$$ в точке $$x_0$$

Ответ: -3
Скрыть Сначала найдем значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$. Как известно значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к оси OX. Найдем его из уравнения касательной, имеем: $$x_1=-2:y_1=-\frac{3}{4}\cdot \left(-2\right)+6,5=8$$; $$x_2=2:y_2=-\frac{3}{4}\cdot 2+6,5=5$$ и тангенс угла наклона к оси OX есть $${\tan \alpha \ }=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5-8}{2-(-2)}=-\frac{3}{4}.$$ Функция $$y=4f\left(x\right)-3$$ масштабирует начальную функцию по оси OY в 4 раза, следовательно, и производная также возрастет в 4 раза. Смещение -3 не оказывает на значение производной никакого влияния, получим: $$4{\tan \alpha \ }=-\frac{3}{4}\cdot 4=-3.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Шар, объём которого равен $$36\pi $$, вписан в куб. Найдите объём куба.

Ответ: 216
Скрыть Объем шара определяется выражением $$V=\frac{4}{3}\pi R^3,$$ следовательно, куб радиуса будет равен $$R^3=\frac{3V}{4\pi }=\frac{3\cdot 36\pi }{4\pi }=3\cdot 9=27.$$ Объем куба, описанного вокруг шара, равен диаметру шара в кубе, т.е. $$V=d^3={\left(2R\right)}^3=8R^3=8\cdot 27=216$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{5,6}\cdot \sqrt{3,5}}{\sqrt{0,4}}$$

Ответ: 7
Скрыть Преобразуем и вычислим выражение, получим: $$\frac{\sqrt{5,6}\cdot \sqrt{3,5}}{\sqrt{0,4}}=\sqrt{49}=7$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h\left(t\right)=2+13t-5t^2$$, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 10 м?

Ответ: 0,6
Скрыть На высоте не менее 10 метров означает, что $$h(t)\ge 10$$, получаем неравенство $$-5t^2+13t+2\ge 10\to 5t^2-13t+8\le 0.$$ Решаем квадратное уравнение, получаем два корня $$\left\{ \begin{array}{c} t_1=1 \\ t_2=1,6 \end{array} \to t\in [1;1,6]\right.$$ Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее 10 метров $$1,6-1=0,6$$ секунд.
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 96
Скрыть

Пусть $$x$$ - скорость первого гонщика, а $$y$$ - скорость второго гонщика. Они оба проехали 68 кругов по 6 км каждый круг, т.е. расстояние $$S=68\cdot 6=408$$ км. Время первого гонщика составило $$\frac{408}{x}$$, а время второго $$\frac{408}{y}$$. Известно, что первый гонщик пришел на 15 минут раньше второго, т.е. на $$\frac{1}{4}$$ часа быстрее, получаем уравнение $$\frac{408}{y}-\frac{408}{x}=\frac{1}{4}.$$

Также в задаче сказано, что первый гонщик впервые обогнал на круг (на 6 км) второго через 60 минут (1 час), следовательно, $$x-y=6.$$

Получаем систему уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{408}{y}-\frac{408}{x}=\frac{1}{4} \\ x-y=6 \end{array} \right.$$

Найдем скорость второго гонщика, т.е. y, получим: $$x=6+y$$ подставляем в первое уравнение $$\frac{408}{y}-\frac{408}{6+y}=\frac{1}{4}\to \frac{2448+408y-408y}{6y+y^2}=\frac{1}{4}\to y^2+6y-9792=0.$$ Решаем квадратное уравнение, получаем два корня $$y_1=96;\ y_2=-102.$$ Так как скорость не должна быть отрицательной, то получаем значение скорости второго гонщика 96 км/ч.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=\left(x-22\right)e^{x-21}$$ на отрезке $$[20;\ 22].$$

Ответ: -1
Скрыть Вычислим производную $$y'=e^{x-21}+{\left(x-22\right)}^{e^{x-21}}=e^{x-21}\left(x-21\right).$$ В точках экстремума производная равна нулю, получим уравнение $$e^{x-21}\left(x-21\right)=0\to x=21\in \left[20;22\right].$$ Для определения наименьшего значения функции, вычислим ее значение на краях диапазона и в точке экстремума, получим: $$y\left(20\right)=-2e^{-1}$$ данное значение не может быть выражено конечной десятичной дробью, а значит не является ответом в ЕГЭ; $$y\left(21\right)=-1;y\left(22\right)=0.$$ Наименьшее значение равно -1.
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$2{\sin 2x\ }-4{\cos x\ }+3{\sin x\ }-3=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right].$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z; x=\pm \left(\pi -{\arccos \frac{3}{4}\ }\right)+2\pi m,\ m\in Z$$; б) $$\frac{5\pi }{2};\pi +{\arccos \frac{3}{4}\ }$$
Скрыть

а) Упрощаем выражение, получаем: $$4{\sin x\ }{\cos x\ }-4{\cos x\ }+3{\sin x\ }-3=0$$.

Делаем группировку, имеем: $$4{\cos x\ }\left({\sin x\ }-1\right)+3\left({\sin x\ }-1\right)=0\to \left({\sin x\ }-1\right)\left(4{\cos x\ }+3\right)=0.$$

Получаем два уравнения: $$\left\{ \begin{array}{c} {\sin x\ }=1 \\ {\cos x\ }=-\frac{3}{4} \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z \\ x=\pm \left(\pi -{\arccos \frac{3}{4}\ }\right)+2\pi m,\ m\in Z \end{array} \right.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$\frac{5\pi }{2};\pi +{\arccos \frac{3}{4}\ }.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA\ =\ \sqrt{21},\ SB=\sqrt{85}\ ,\ SD\ =\ \sqrt{57}.$$

а) Докажите, что SA - высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Ответ: $${\arccos \frac{14}{55}\ }.$$
Скрыть

а) Рассмотрим треугольник SAB. Из значения его сторон следует, что $$SB^2=SA^2+AB^2$$, Следовательно, SB - гипотенуза и угол SAB - прямой. Аналогично для треугольника SAD: $${SD}^2=AD^2+SA^2$$, получаем, что SD - гипотенуза и угол SAD - прямой. В результате получаем, что при $$SA\bot AB,\ SA\bot AD$$, следует $$SA\bot ABC$$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), и следовательно, SA - высота пирамиды.

б) Угол между прямыми SC и BD - это угол между двумя скрещивающимися прямыми, который соответствует углу $$\alpha $$ между прямыми NO и OD (см. рисунок). Так как прямая $$ON\parallel SC$$ и точка O делит прямую AC пополам, то и точка N будет делить AS пополам. Следовательно, ON - это средняя линия треугольника ASC и равна $$ON=\frac{1}{2}SC.$$

Вычислим диагональ AC из прямоугольного треугольника ACD: $$AC=\sqrt{36+64}=10.$$

Тогда длина ребра SC будет равна (учитывая, что треугольник SAC прямоугольный): $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=11$$ и $$ON=\frac{11}{2}=5,5.$$

Так как диагонали в прямоугольнике равны, то $$BD=AC$$. Тогда $$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{10}{2}=5.$$

Найдем длину отрезка DN. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAD, в котором катет $$DA=6$$, катет $$AN=\frac{1}{2}SA=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ и по теореме Пифагора имеем $$DN=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}.$$

По теореме косинусов находим косинус угла $$\alpha $$, получаем: $${\cos \alpha \ }=\frac{OD^2+ON^2-DN^2}{2\cdot OD\cdot ON}=\frac{25+30,25-41,25}{2\cdot 5\cdot 5,5}=\frac{14}{55}$$ откуда $$\alpha ={\arccos \frac{14}{55}\ }.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$5^{x+1}+3\cdot 5^{-x}\le 16.$$

Ответ: $$x\in [-1;{{\log }_5 3\ }]$$
Скрыть

1. Сделаем замену $$5^x=t,t>0$$, получим: $$5t+\frac{3}{t}-16\le 0$$ умножим левую и правую части на $$t$$: $$5t^2-16t+3\le 0.$$

2. Решаем квадратное уравнение относительно $$t$$, имеем два корня $$t_1=\frac{1}{5};\ t_2=3$$ и, следовательно, имеем разбиение числовой прямой то есть $$1/5\le t\le 3$$, откуда получаем: $$5^{-1}\le 5^x\le 5^{{{\log }_5 3\ }}\to -1\le x\le {{\log }_5 3\ }.$$

Ответ: $$x\in [-1;{{\log }_5 3\ }]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Ответ: $$\frac{1}{2}.$$
Скрыть

а) Треугольник ABC - равнобедренный ($$AB\ =\ BC$$), BH - высота, следовательно, BH - биссектриса угла ABC. Окружность с центром в точке O вписана в угол CBE, поэтому ее центр находится на биссектрисе (BO) угла CBE. Углы ABC и CBE - смежные, их сумма равна 180$${}^\circ$$, следовательно, сумма углов HBC и OBC равна 90$${}^\circ$$. Получаем, что в четырехугольнике HBON $$\angle HBO=\angle BHN=\angle ONH=90{}^\circ $$ то есть, имеем прямоугольник HBON. Его противоположные стороны равны $$BH=ON$$ и радиус окружности с центром O равен высоте треугольника ABC.

б) Пусть радиус вписанной окружности равен $$r$$. Так как радиус описанной окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности, то $$BH=4r$$, а $$O_1B=4r-r=3r$$ (см. рисунок). Прямоугольник $$O_1MB$$ - прямоугольный, так как $$O_1M\bot BC$$ (BC - касательная, а O1M - радиус). Тогда по теореме Пифагора, имеем: $$MB=\sqrt{O_1B^2-O_1M^2}=\sqrt{9r^2-r^2}=2\sqrt{2}r.$$

Рассмотрим треугольники $$BO_1M$$ и $$BCH$$, которые подобны по двум углам (угол B - общий, а $$\angle O_1MB=\angle BHC=90{}^\circ $$). Следовательно, $$\frac{BM}{O_1M}=\frac{BH}{CH}$$, откуда $$CH=\frac{O_1M\cdot BH}{BM}=\frac{r\cdot 4r}{2\sqrt{2}r}=\sqrt{2}r.$$

Также $$CH=CM$$ по теореме об отрезках касательных, то есть, $$CM=\sqrt{2}r$$. Соответственно, $$\frac{CM}{BM}=\frac{\sqrt{2}r}{2\sqrt{2}r}=\frac{1}{2}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 932400
Скрыть

Пусть $$x$$ тыс. рублей сумма взятого кредита в банке. В первый месяц сумма долга увеличивается на 1%, что составит $$1,01x$$ тыс. рублей. Долг выплачивается в течение 21 месяца так, чтобы долг на одну и ту же величину был меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. То есть, после первого месяца нужно выплатить $$\frac{x}{21}+0,01x$$ тыс. рублей. Оставшаяся сумма долга будет равна $$1,01x-\frac{x}{21}-0,01x=\frac{20}{21}x$$ тыс. рублей.

После второго месяца сумма долга будет равна $$1,01\cdot \frac{20}{21}x$$, а выплата составит $$\frac{x}{21}+0,01\cdot \frac{20}{21}x$$. Сумма долга будет равна $$1,01\cdot \frac{20}{21}x-\frac{x}{21}-0,01\cdot \frac{20}{21x}=\frac{19}{21}x.$$

Таким образом, на 11-й месяц нужно выплатить $$\frac{x}{21}+0,01\cdot \frac{11}{21}x$$ или в виде $$x\left(\frac{1}{21}+\frac{0,11}{21}\right)=x\cdot \frac{1,11}{21}.$$

По условию задачи выплата на 11-й месяц кредитования составила 44,4 тыс. рублей. Получаем уравнение $$x\cdot \frac{1,11}{21}=44,4\to x=840.$$ Имеем кредит, равный 840 тыс. рублей. Тогда общая сумма выплат в течение 21 месяца составит $$840+\frac{0,01\cdot 840}{21}\cdot \left(21+20+\dots +1\right)=840+\frac{0,01\cdot 840\cdot 231}{21}=932,4.$$ То есть 932,4 тыс. рублей или 932400 рублей.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$f\left(x\right)=\left|a+2\right|\sqrt[3]{x}$$ имеет четыре решения, где $$f$$ - четная периодическая функция с периодом $$T=\frac{16}{3}$$, определенная на всей числовой прямой, причем $$f\left(x\right)=ax^2,$$ если $$0\le x\le \frac{8}{3}.$$

Ответ: $$-\frac{18}{41}; \frac{18}{23}$$
Скрыть

$$1. a>0;$$ $$ax^2=\left|a+2\right|\sqrt[3]{x}\to \frac{64a}{9}=\left|a+2\right|\sqrt[3]{8}\to a=\frac{18}{23};$$

$$2. a<0;$$ $$\frac{64a}{9}=\left|a+2\right|\sqrt[3]{-8}\to \left|a+2\right|=-\frac{32a}{9}>0\to \left[ \begin{array}{c} a+2=-\frac{32a}{9} \\ a+2=\frac{32a}{9} \end{array} \right.\to \left[ \begin{array}{c} a=-\frac{18}{41} \\ a=\frac{18}{23} \end{array} \right.$$

$$a=\frac{18}{23}$$ - посторонний корень.

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

Ответ: а) 729; б) 576; в) 17
Скрыть

а) Рассмотрим трехзначное число, например, 121, оно разлагается на два простых числа 11 и 11: $$121={11}^2.$$ Если к степеням простых множителей добавить 1 и полученные числа перемножить, то получим общее число делителей числа. В данном случае имеем $$2+1=3$$ - общее число делителей числа 121, это числа: 1, 11 и 121.

Чтобы получить ровно 7 делителей можно взять число $$3^6=729$$, у которого будет $$6+1=7$$ делителей. Это делители: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Ответ: 729.

б) Если у числа 21 делитель, то можно, например, подобрать простые множители со степенью 20, но минимальное число $$2^{20}$$ - это явно не трехзначное число. Вместе с тем, число 21 можно представить в виде произведения $$21=3\cdot 7$$ и взять множители $$2^6\cdot 3^2=64\cdot 9=576$$. У числа 576 21 делитель:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576. Ответ: 576.

в) Ровно 18 делителей для трехзначных чисел можно получить следующим образом. Число 18 можно представить в виде множителей $$\prod_i{(a_i+1)}$$ следующими вариантами: $$18=2\cdot 3\cdot 3=\left(1+1\right)\cdot \left(2+1\right)\cdot \left(2+1\right);18=\left(5+1\right)\cdot \left(2+1\right);18=\left(8+1\right)\cdot \left(1+1\right).$$

То есть для получения трехзначных чисел с 18-ю делителями, необходимо перебрать все простые множители, с соответствующим числом делителей и степенями:

- для первого варианта имеем:

$$2^1\cdot 3^2\cdot 5^2=450$$

$$2^1\cdot 3^2\cdot 7^2=882$$

$$2^2\cdot 3^1\cdot 5^2=300$$

$$2^2\cdot 3^1\cdot 5^2=588$$

$$2^2\cdot 5^1\cdot 7^2=980$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot 5^1=180$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot 7^1=252$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {11}^1=396$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {13}^1=468$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {17}^1=612$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {19}^1=684$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {23}^1=828$$

$$2^2\cdot 5^2\cdot 7^1=700$$

- для второго варианта:

$$2^5\cdot 3^2=288$$

$$2^5\cdot 5^2=800$$

$$2^2\cdot 3^5=972$$

- для третьего варианта:

$$2^8\cdot 3^1=768$$

Всего имеем 17 вариантов трехзначных чисел с 18-ю делителями.