ОГЭ 2027 Вариант 1 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

1. Нужно определить, между какими целыми числами заключено значение $$\sqrt{140}$$.

2. Находим ближайшие полные квадраты: $$11^2 = 121$$ и $$12^2 = 144$$.

3. Так как $$121 < 140 < 144$$, то $$11 < \sqrt{140} < 12$$. Это соответствует варианту 4.

1. Раскрываем скобки в числителе по свойству степени произведения: $$(2\cdot3)^6 = 2^6 \cdot 3^6$$.

2. Подставляем в дробь и применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $$\frac{2^6 \cdot 3^6}{2^7 \cdot 3^4} = 2^{6-7} \cdot 3^{6-4} = 2^{-1} \cdot 3^2$$.

3. Вычисляем: $$2^{-1} \cdot 9 = \frac{9}{2} = 4,5$$.

1. Переносим слагаемые с переменной $$x$$ в левую часть, а числа — в правую: $$11x - 16x = 61 - 20$$.

2. Приводим подобные слагаемые: $$-5x = 41$$.

3. Находим корень уравнения: $$x = \frac{41}{-5} = -8,2$$.

1. Всего в сборнике $$n = 20$$ билетов, это общее число равновозможных исходов.

2. Благоприятных исходов (билетов с темой «Прогрессия») $$m = 3$$.

3. Находим вероятность по формуле $$P = \frac{m}{n} = \frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 0,15$$.

1. График А — прямая проходит через начало координат и убывает. Этому соответствует формула с отрицательным угловым коэффициентом: $$y = -3x$$ (вариант 3).

2. График Б — прямая не проходит через начало координат, возрастает и пересекает ось $$Oy$$ в отрицательной области. Это соответствует формуле $$y = x - 3$$ (вариант 2).

3. График В — прямая проходит через начало координат и возрастает. Это соответствует формуле $$y = 3x$$ (вариант 1).

1. Подставим известные значения в формулу площади: $$24 = \frac{25 \cdot d_2 \cdot 0,3}{2}$$.

2. Умножим обе части уравнения на $$2$$, чтобы избавиться от знаменателя: $$48 = 25 \cdot d_2 \cdot 0,3$$.

3. Вычислим произведение в правой части: $$25 \cdot 0,3 = 7,5$$. Получаем $$48 = 7,5 \cdot d_2$$.

4. Разделим обе части на $$7,5$$, чтобы найти $$d_2$$: $$d_2 = \frac{48}{7,5} = 6,4$$.

1. Решим первое неравенство системы: $$3 - x \ge 5$$. Перенесём $$3$$ в правую часть: $$-x \ge 2$$. Умножим на $$-1$$, меняя знак неравенства: $$x \le -2$$.

2. Решим второе неравенство системы: $$x + 3,2 \le 0$$. Перенесём $$3,2$$ в правую часть: $$x \le -3,2$$.

3. Найдём пересечение решений: числа должны удовлетворять обоим условиям ($$x \le -2$$ и $$x \le -3,2$$). Общим является промежуток $$x \le -3,2$$.

4. Это соответствует числовому лучу, направленному влево от точки $$-3,2$$ (вариант 3).

1. Найдём общий прирост населения за период с $$2010$$ по $$2025$$ год: $$74\,100 - 67\,800 = 6\,300$$ человек.

2. Количество лет в этом периоде: $$2025 - 2010 = 15$$ лет.

3. Найдём ежегодный прирост: $$\frac{6\,300}{15} = 420$$ человек в год.

4. Найдём количество лет от $$2010$$ до $$2018$$ года: $$2018 - 2010 = 8$$ лет.

5. Вычислим прирост за $$8$$ лет: $$8 \cdot 420 = 3\,360$$ человек.

6. Найдём население к концу $$2018$$ года: $$67\,800 + 3\,360 = 71\,160$$ человек.

1. Так как точки $$M$$ и $$N$$ являются серединами сторон $$AB$$ и $$BC$$, отрезки $$AN$$ и $$CM$$ являются медианами треугольника $$ABC$$.

2. Точка $$O$$ пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

3. Для медианы $$CM$$ это означает, что $$CO : OM = 2 : 1$$. Следовательно, длина отрезка $$OM$$ составляет одну треть от длины всей медианы $$CM$$.

4. Вычислим длину $$OM$$: $$OM = \frac{1}{3} \cdot CM = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$$.

1. Так как $$AB$$ — диаметр, вписанный угол $$\angle AMB = 90^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$AMB$$ угол $$\angle MAB = 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$$.

2. Углы $$\angle MAB$$ и $$\angle BNM$$ опираются на одну и ту же дугу $$BM$$. Следовательно, они равны: $$\angle BNM = 52^\circ$$.

1. Углы ромба равны $$115^\circ$$ и $$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$. Большая диагональ является биссектрисой меньшего угла ($$65^\circ$$), поэтому угол между большей диагональю и стороной равен $$65^\circ : 2 = 32,5^\circ$$.

2. Высота ромба перпендикулярна стороне. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, диагональю и стороной, искомый угол равен $$90^\circ - 32,5^\circ = 57,5^\circ$$.

1. По рисунку определяем размеры трапеции в клетках: верхнее основание равно $$4$$, нижнее основание равно $$8$$, высота равна $$3$$.

2. Используем формулу площади трапеции: $$S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$$.

1. Утверждение 1: сумма углов любого треугольника равна $$180^\circ$$. Утверждение истинно.

2. Утверждение 2: две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу, а не перпендикулярны. Утверждение ложно.

3. Утверждение 3: площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей только для ромба. Для произвольного параллелограмма это неверно. Утверждение ложно.

1. Переносим $$x$$ в левую часть: $$\frac{x^2}{x-25} - x \le 0$$.

2. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - x(x-25)}{x-25} \le 0$$.

3. Раскрываем скобки в числителе: $$\frac{x^2 - x^2 + 25x}{x-25} \le 0$$, что упрощается до $$\frac{25x}{x-25} \le 0$$.

4. Решаем неравенство методом интервалов. Нули числителя: $$x = 0$$, знаменателя: $$x = 25$$. Отмечаем на числовой прямой точки $$0$$ (закрашенная, так как неравенство нестрогое) и $$25$$ (пустая).

5. Определяем знаки на интервалах. Неравенство выполняется на отрезке $$[0; 25)$$.

1. Пусть весь путь равен $$2S$$. Время первого велосипедиста: $$t_1 = \frac{2S}{v}$$.

2. Время второго велосипедиста: $$t_2 = \frac{S}{v+4,5} + \frac{S}{15}$$.

3. Так как они прибыли одновременно, приравниваем времена и сокращаем на $$S$$: $$\frac{2}{v} = \frac{1}{v+4,5} + \frac{1}{15}$$.

4. Приводим к общему знаменателю и решаем уравнение: $$\frac{2(v+4,5) - v}{v(v+4,5)} = \frac{1}{15} \Rightarrow 15(v+9) = v^2+4,5v$$.

5. Получаем квадратное уравнение $$v^2 - 10,5v - 135 = 0$$. Умножаем на 2: $$2v^2 - 21v - 270 = 0$$.

6. Дискриминант $$D = 441 - 4 \cdot 2 \cdot (-270) = 2601 = 51^2$$. Корни: $$v = \frac{21 \pm 51}{4}$$.

7. Так как скорость должна быть положительной, $$v = \frac{72}{4} = 18$$ км/ч.

1. Первая часть функции: $$y = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$$ при $$x > 4$$. Это правая ветвь параболы.

2. Находим координаты вершины параболы: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2} = 5$$, $$y_0 = (5-5)^2 = 0$$. Вершина в точке $$(5; 0)$$.

3. На границе $$x = 4$$: $$y = (4-5)^2 = 1$$. Точка $$(4; 1)$$ — выколотая (так как $$x > 4$$).

4. Вторая часть функции: $$y = 1,5x - 3$$ при $$x \le 4$$. Составляем таблицу значений для построения луча:

5. Луч начинается в точке $$(4; 3)$$ (закрашенная, так как $$x \le 4$$) и идёт через точку $$(2; 0)$$ вниз влево.

6. Анализируем пересечения прямой $$y = m$$ с графиком:

— При $$m = 0$$: прямая касается вершины параболы $$(5; 0)$$ и пересекает луч прямой в точке $$(2; 0)$$. Итого 2 точки.

— При $$0 < m < 1$$: прямая пересекает параболу в двух точках (обе при $$x > 4$$) и луч прямой в одной точке. Итого 3 точки.

— При $$m = 1$$: парабола даёт точку $$x = 6$$ (точка $$x = 4$$ выколота), луч прямой — одну точку. Итого 2 точки.

— При $$1 < m \le 3$$: парабола даёт одну точку ($$x = 5 + \sqrt{m}$$), луч прямой — одну точку. Итого 2 точки.

— При $$m > 3$$: только одна точка пересечения с параболой.

7. Ровно две общие точки при $$m = 0$$ и $$1 \le m \le 3$$.

1. Сумма частей, на которые дуги относятся как $$3:5:16$$, равна $$3+5+16=24$$.

2. Находим углы треугольника, опирающиеся на эти дуги (вписанный угол равен половине дуги): $$\alpha = \frac{3}{24} \cdot 180^\circ = 22,5^\circ$$, $$\beta = \frac{5}{24} \cdot 180^\circ = 37,5^\circ$$, $$\gamma = \frac{16}{24} \cdot 180^\circ = 120^\circ$$.

3. Наибольшая сторона лежит против наибольшего угла ($$120^\circ$$). По теореме синусов: $$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$$.

4. Подставляем: $$2R = \frac{12}{\sin 120^\circ} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$$.

5. Находим радиус: $$R = 4\sqrt{3}$$.

1. Рассмотрим треугольники $$NAD$$ и $$NBC$$.

2. $$AN = NB$$, так как $$N$$ — середина $$AB$$.

3. $$AD = BC$$, так как это противоположные стороны параллелограмма.

4. $$ND = NC$$ по условию.

5. Следовательно, $$\triangle NAD = \triangle NBC$$ по трём сторонам.

6. Из равенства треугольников следует, что $$\angle A = \angle B$$.

7. Так как $$AD \parallel BC$$, сумма односторонних углов $$\angle A + \angle B = 180^\circ$$. Значит, $$\angle A = \angle B = 90^\circ$$.

8. Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

1. В трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$ параллельны. Боковая сторона $$AB$$ перпендикулярна основанию $$BC$$, следовательно, $$AB \perp AD$$. Углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ прямые.

2. Окружность касается прямой $$AB$$ в точке $$E$$ и проходит через точки $$C$$ и $$D$$. По свойству угла между касательной и хордой:

— $$\angle AED = \angle ECD$$ (угол между касательной $$AE$$ и хордой $$ED$$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $$ED$$).

— $$\angle BEC = \angle EDC$$ (аналогично для касательной $$BE$$ и хорды $$EC$$).

3. Опустим перпендикуляр $$EF$$ из точки $$E$$ на прямую $$CD$$ ($$F$$ — основание перпендикуляра). Нам нужно найти длину $$EF$$.

4. Треугольники $$AED$$ и $$CFE$$ подобны:

— $$\angle A = \angle CFE = 90°$$;

— $$\angle AED = \angle FCE$$ (доказано выше).

Из подобия: $$\frac{ED}{CE} = \frac{AD}{EF}$$ ... (1)

5. Треугольники $$BEC$$ и $$DFE$$ подобны:

— $$\angle B = \angle DFE = 90°$$;

— $$\angle BEC = \angle FDE$$ (доказано выше).

Из подобия: $$\frac{EC}{ED} = \frac{BC}{EF}$$ ... (2)

6. Перемножаем равенства (1) и (2):

$$\frac{ED}{CE} \cdot \frac{EC}{ED} = \frac{AD}{EF} \cdot \frac{BC}{EF}$$

$$1 = \frac{AD \cdot BC}{EF^2}$$

$$EF^2 = AD \cdot BC = 45 \cdot 20 = 900$$

$$EF = 30$$