Стереометрия

1. Объём исходной призмы: $$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 6 \cdot 7 = 42$$.

2. Многогранник $$ABC A_{1} B_{1}$$ — пирамида, которая занимает $$\frac{1}{3}$$ от объёма призмы.

3. Объём пирамиды: $$V = \frac{42}{3} = 14$$.

1. Формула объёма цилиндра: $$V = \pi r^2 h$$.

2. Для второго цилиндра: $$r_2 = 2r_1$$, $$h_2 = \frac{h_1}{3}$$.

3. Объём второго цилиндра: $$V_2 = \pi (2r_1)^2 \cdot \frac{h_1}{3} = \frac{4}{3} \cdot \pi r_1^2 h_1 = \frac{4}{3} \cdot 15 = 20$$.

1. Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату радиуса: $$S \sim r^2$$.

2. Если радиус первого шара в $$2$$ раза больше, то площадь его поверхности больше в $$2^2 = 4$$ раза.

1. Объём шара пропорционален кубу радиуса: $$V \sim r^3$$.

2. Если радиус первого шара в $$9$$ раз больше, то его объём больше в $$9^3 = 729$$ раз.

1. Диагональ куба: $$d = a\sqrt{3}$$, где $$a$$ — ребро куба.

2. Находим ребро: $$a = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$$.

3. Объём: $$V = a^3 = 1^3 = 1$$.

1. Радиус основания: $$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$$.

2. Высота $$h$$, радиус $$r$$ и образующая $$l$$ образуют прямоугольный треугольник.

3. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$.

1. Радиус основания: $$r = \frac{d}{2} = \frac{140}{2} = 70$$.

2. По теореме Пифагора находим высоту: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{74^2 - 70^2} = \sqrt{5476 - 4900} = \sqrt{576} = 24$$.

3. Осевое сечение конуса — треугольник с основанием $$d$$ и высотой $$h$$.

4. Площадь осевого сечения: $$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 140 \cdot 24 = 1680$$.

1. Дано: $$r_{конуса} = r_{шара} = r$$.

2. Объём конуса: $$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^3 = 20$$.

3. Объём шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$$.

4. Отношение объёмов: $$\frac{V_{шара}}{V_{кон}} = 4$$. Находим объём шара: $$V_{шара} = 4 \cdot 20 = 80$$.

1. Дано: $$r_{конуса} = r_{шара} = r$$.

2. Объём шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = 44$$.

3. Объём конуса: $$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^3$$.

4. Отношение объёмов: $$\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{1}{4}$$. Находим объём конуса: $$V_{кон} = \frac{44}{4} = 11$$.

1. Если куб описан около сферы, то ребро куба равно диаметру сферы: $$a = 2r = 2 \cdot 4 = 8$$.

2. Объём куба: $$V = a^3 = 8^3 = 512$$.

1. Многогранник $$A_{1}B_{1}F_{1}A$$ — пирамида с основанием $$A_{1}B_{1}F_{1}$$ и вершиной $$A$$.

2. Треугольник $$A_{1}B_{1}F_{1}$$ занимает $$\frac{1}{6}$$ площади правильного шестиугольника.

3. Площадь основания пирамиды: $$S_{осн} = \frac{12}{6} = 2$$.

4. Высота пирамиды: $$h = 15$$.

5. Объём: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 15 = 10$$.

1. Многогранник $$ABC C_{1}$$ — пирамида с основанием $$ABC$$ и вершиной $$C_{1}$$.

2. Площадь основания пирамиды: $$S_{осн} = 7$$.

3. Высота пирамиды равна боковому ребру призмы: $$h = 9$$.

4. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 7 \cdot 9 = 21$$.

1. Многогранник $$ABCDB_{1}$$ — пирамида с основанием $$ABCD$$ (прямоугольник) и вершиной $$B_{1}$$.

2. Площадь основания: $$S_{осн} = AB \cdot BC = 4 \cdot 7 = 28$$.

3. Высота пирамиды равна $$BB_{1} = 3$$, так как ребро $$BB_{1}$$ перпендикулярно плоскости основания.

4. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 3 = 28$$.

1. Многогранник $$ABDEA_{1}B_{1}D_{1}E_{1}$$ — четырёхугольная призма с основаниями $$ABDE$$ и $$A_{1}B_{1}D_{1}E_{1}$$.

2. Четырёхугольник $$ABDE$$ занимает $$\frac{2}{3}$$ площади правильного шестиугольника.

3. Объём: $$V = \frac{2}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot 7 \cdot 15 = 70$$.

1. Объём всей призмы: $$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 8 \cdot 6 = 48$$.

2. Многогранник $$ACA_{1}B_{1}$$ остаётся после отсечения двух пирамид, нижней пирамиды с вершинами $$A, B, C, B_{1}$$ и верхней пирамиды с вершинами $$A_{1}, B_{1}, C_{1}, B$$, каждая из которых составляет $$\frac{1}{3}$$ объёма призмы.

3. Объём многогранника: $$V = \frac{1}{3} V_{призмы} = \frac{48}{3} = 16$$.