Задачи на движение по воде

1. Общее время с $$07$$:$$00$$ до $$23$$:$$00$$ — $$16$$ часов. С учётом стоянки $$2$$ ч $$40$$ мин = $$\frac{8}{3}$$ ч, время движения: $$16 - \frac{8}{3} = \frac{40}{3}$$ ч.

2. Пусть собственная скорость байдарки $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 3)$$ км/ч, против: $$(v - 3)$$ км/ч.

3. Уравнение: $$\frac{30}{v + 3} + \frac{30}{v - 3} = \frac{40}{3}$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{30(v - 3) + 30(v + 3)}{v^2 - 9} = \frac{40}{3}$$.

5. $$\frac{60v}{v^2 - 9} = \frac{40}{3} \Rightarrow 180v = 40v^2 - 360$$.

6. $$40v^2 - 180v - 360 = 0 \Rightarrow 2v^2 - 9v - 18 = 0$$.

7. Дискриминант: $$81 + 144 = 225 = 15^2$$.

8. $$v = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$$ км/ч.

Ответ: $$6$$

1. Общее время с $$06$$:$$00$$ до $$22$$:$$00$$ — $$16$$ часов. С учётом стоянки $$4$$ ч, время движения: $$16 - 4 = 12$$ ч.

2. Пусть скорость течения $$x$$ км/ч. По течению: $$(8 + x)$$ км/ч, против: $$(8 - x)$$ км/ч.

3. Уравнение: $$\frac{45}{8 + x} + \frac{45}{8 - x} = 12$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{45(8 - x) + 45(8 + x)}{64 - x^2} = 12$$.

5. $$\frac{720}{64 - x^2} = 12 \Rightarrow 64 - x^2 = 60 \Rightarrow x^2 = 4$$.

6. $$x = 2$$ км/ч.

Ответ: $$2$$

1. Общее время с $$05$$:$$00$$ до $$23$$:$$00$$ — $$18$$ часов. С учётом стоянки $$2$$ ч, время движения: $$18 - 2 = 16$$ ч.

2. Пусть собственная скорость катера $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 1)$$ км/ч, против: $$(v - 1)$$ км/ч.

3. Уравнение: $$\frac{30}{v + 1} + \frac{30}{v - 1} = 16$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{30(v - 1) + 30(v + 1)}{v^2 - 1} = 16$$.

5. $$\frac{60v}{v^2 - 1} = 16 \Rightarrow 60v = 16v^2 - 16$$.

6. $$16v^2 - 60v - 16 = 0 \Rightarrow 4v^2 - 15v - 4 = 0$$.

7. Дискриминант: $$225 + 64 = 289 = 17^2$$.

8. $$v = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$$ км/ч.

Ответ: $$4$$

1. Общее время с $$11$$:$$00$$ до $$17$$:$$00$$ — $$6$$ часов. С учётом стоянки $$1$$ ч $$20$$ мин = $$\frac{4}{3}$$ ч, время движения: $$6 - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$$ ч.

2. Пусть скорость течения $$x$$ км/ч. По течению: $$(7 + x)$$ км/ч, против: $$(7 - x)$$ км/ч.

3. Уравнение: $$\frac{15}{7 + x} + \frac{15}{7 - x} = \frac{14}{3}$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{15(7 - x) + 15(7 + x)}{49 - x^2} = \frac{14}{3}$$.

5. $$\frac{210}{49 - x^2} = \frac{14}{3} \Rightarrow 49 - x^2 = 45 \Rightarrow x^2 = 4$$.

6. $$x = 2$$ км/ч.

Ответ: $$2$$

1. Пусть скорость течения $$x$$ км/ч. Против течения: $$(12 - x)$$ км/ч, по течению: $$(12 + x)$$ км/ч.

2. Уравнение: $$\frac{135}{12 - x} - \frac{135}{12 + x} = 6$$.

3. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{135(12 + x) - 135(12 - x)}{144 - x^2} = 6$$.

4. $$\frac{270x}{144 - x^2} = 6 \Rightarrow 270x = 864 - 6x^2$$.

5. $$6x^2 + 270x - 864 = 0 \Rightarrow x^2 + 45x - 144 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$x = 3$$ (так как $$3 \cdot (-48) = -144$$ и $$3 + (-48) = -45$$).

Ответ: $$3$$

1. Пусть скорость лодки в неподвижной воде $$v$$ км/ч. Против течения: $$(v - 1)$$ км/ч, по течению: $$(v + 1)$$ км/ч.

2. Уравнение: $$\frac{143}{v - 1} - \frac{143}{v + 1} = 2$$.

3. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{143(v + 1) - 143(v - 1)}{v^2 - 1} = 2$$.

4. $$\frac{286}{v^2 - 1} = 2 \Rightarrow v^2 - 1 = 143 \Rightarrow v^2 = 144$$.

5. $$v = 12$$ км/ч.

Ответ: $$12$$

1. Пусть скорость первого теплохода $$v$$ км/ч, тогда второго $$(v + 3)$$ км/ч.

2. Время первого: $$\frac{108}{v}$$ ч, второго: $$\frac{108}{v + 3}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{108}{v} - \frac{108}{v + 3} = 3$$.

4. Умножаем на $$v(v + 3)$$: $$108(v + 3) - 108v = 3v(v + 3)$$.

5. $$324 = 3v^2 + 9v \Rightarrow v^2 + 3v - 108 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-12) = -108$$ и $$9 + (-12) = -3$$).

Ответ: $$9$$

1. Пусть скорость первого теплохода $$v$$ км/ч, тогда второго $$(v + 2)$$ км/ч.

2. Время первого: $$\frac{120}{v}$$ ч, второго: $$\frac{120}{v + 2}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 2} = 2$$.

4. Умножаем на $$v(v + 2)$$: $$120(v + 2) - 120v = 2v(v + 2)$$.

5. $$240 = 2v^2 + 4v \Rightarrow v^2 + 2v - 120 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-12) = -120$$ и $$10 + (-12) = -2$$).

7. Скорость второго теплохода: $$10 + 2 = 12$$ км/ч.

Ответ: $$12$$

Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х+8 км/ч - скорость второго. Время первого $$t_{1}=\frac{70}{x}$$ часов, время второго $$t_{2}=\frac{70}{x+8}$$ часов. При этом первый плыл на час дольше, тогда:

$$t_{1}-t_{2}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{70}{x}-\frac{70}{x+8}=1|*(x^{2}+64)\Leftrightarrow$$$$70x+560-70x=x^{2}+8x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+8x-560=0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-8\\x_{1}*x_{2}=-560\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-28\\x_{2}=20\end{matrix}\right.$$

Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляла 20 км/ч

1. Пусть скорость баржи из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 4)$$ км/ч.

2. Время из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{234}{v}$$ ч, обратно (с остановкой): $$\frac{234}{v + 4} + 8$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{234}{v} = \frac{234}{v + 4} + 8$$.

4. Умножаем на $$v(v + 4)$$: $$234(v + 4) = 234v + 8v(v + 4)$$.

5. $$936 = 8v^2 + 32v \Rightarrow v^2 + 4v - 117 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-13) = -117$$ и $$9 + (-13) = -4$$).

Ответ: $$9$$

1. Скорость плота равна скорости течения: $$1$$ км/ч.

2. Время движения плота до $$18$$ км: $$\frac{18}{1} = 18$$ ч.

3. Яхта вышла через $$1$$ ч, значит, её время в пути: $$18 - 1 = 17$$ ч.

4. Пусть собственная скорость яхты $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 1)$$ км/ч, против: $$(v - 1)$$ км/ч.

5. Уравнение: $$\frac{144}{v + 1} + \frac{144}{v - 1} = 17$$.

6. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{144(v - 1) + 144(v + 1)}{v^2 - 1} = 17$$.

7. $$\frac{288v}{v^2 - 1} = 17 \Rightarrow 288v = 17v^2 - 17$$.

8. $$17v^2 - 288v - 17 = 0$$.

9. Дискриминант: $$82944 + 1156 = 84100 = 290^2$$.

10. $$v = \frac{288 + 290}{34} = \frac{578}{34} = 17$$ км/ч.

Ответ: $$17$$

Пусть х км/ч - собственная скорость яхты, плот двигается со скоростью течения, тогда время плота $$t_{1}=\frac{22}{2}=11$$ часов. Лодка плыла на 2 часа меньше, то есть $$11-2=9$$ часов, при этом данное время складывается из времени по течению: $$t_{2}=\frac{80}{x+2}$$ и времени движения против течения $$t_{3}=\frac{80}{x-2}$$.

Получаем: $$\frac{80}{x+2}+\frac{80}{x-2}=9|*(x+2)(x-2)\Leftrightarrow$$$$80x-160+80x+160=9x^{2}-36\Leftrightarrow$$$$9x^{2}-160x-36=0\Rightarrow$$$$D=25600+1296=164^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{160+164}{18}=18 , x_{2}<0$$, то есть собственная скорость лодки 18 км/ч

1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 4)$$ км/ч, против: $$(v - 4)$$ км/ч.

2. Время движения: $$\frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4}$$.

3. С учётом стоянки: $$\frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4} + 8 = 48 \Rightarrow \frac{384}{v + 4} + \frac{384}{v - 4} = 40$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{384(v - 4) + 384(v + 4)}{v^2 - 16} = 40$$.

5. $$\frac{768v}{v^2 - 16} = 40 \Rightarrow 768v = 40v^2 - 640$$.

6. $$40v^2 - 768v - 640 = 0 \Rightarrow 5v^2 - 96v - 80 = 0$$.

7. Дискриминант: $$9216 + 1600 = 10816 = 104^2$$. $$v = \frac{96 + 104}{10} = 20$$ км/ч.

Ответ: $$20$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$x$$ км/ч - скорость течения реки. В пути теплоход был $$50-8=42$$ часа. Тогда: $$\frac{416}{21+x}+\frac{416}{21-x}=42\leftrightarrow 416\cdot 21-416x+416\cdot 21+416x=42(441-x^2)\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 42\cdot 416=\left(441-x^2\right)\cdot 42\leftrightarrow 416=441-x^2\leftrightarrow x^2=25\to x=5$$ км/ч (отрицательной быть не может)

1. Пусть скорость течения $$x$$ км/ч. По течению: $$(28 + x)$$ км/ч, против: $$(28 - x)$$ км/ч.

2. Время движения: $$\frac{775}{28 + x} + \frac{775}{28 - x}$$.

3. С учётом стоянки: $$\frac{775}{28 + x} + \frac{775}{28 - x} + 5 = 61 \Rightarrow \frac{775}{28 + x} + \frac{775}{28 - x} = 56$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{775(28 - x) + 775(28 + x)}{784 - x^2} = 56$$.

5. $$\frac{43400}{784 - x^2} = 56 \Rightarrow 784 - x^2 = \frac{43400}{56} = 775$$.

6. $$x^2 = 784 - 775 = 9 \Rightarrow x = 3$$ км/ч.

Ответ: $$3$$