ЕГЭ (профиль) / Текстовые задачи

1. Производительность Тани: $$\frac{1}{36}$$ грядки в минуту.

2. Совместная производительность Ани и Тани: $$\frac{1}{24}$$ грядки в минуту.

3. Производительность Ани: $$\frac{1}{24} - \frac{1}{36} = \frac{3}{72} - \frac{2}{72} = \frac{1}{72}$$ грядки в минуту.

4. Время работы одной Ани: $$72$$ минуты.

Ответ: $$72$$

1. Общее время с $$07$$:$$00$$ до $$23$$:$$00$$ — $$16$$ часов. С учётом стоянки $$2$$ ч $$40$$ мин = $$\frac{8}{3}$$ ч, время движения: $$16 - \frac{8}{3} = \frac{40}{3}$$ ч.

2. Пусть собственная скорость байдарки $$v$$ км/ч. По течению: $$(v + 3)$$ км/ч, против: $$(v - 3)$$ км/ч.

3. Уравнение: $$\frac{30}{v + 3} + \frac{30}{v - 3} = \frac{40}{3}$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{30(v - 3) + 30(v + 3)}{v^2 - 9} = \frac{40}{3}$$.

5. $$\frac{60v}{v^2 - 9} = \frac{40}{3} \Rightarrow 180v = 40v^2 - 360$$.

6. $$40v^2 - 180v - 360 = 0 \Rightarrow 2v^2 - 9v - 18 = 0$$.

7. Дискриминант: $$81 + 144 = 225 = 15^2$$.

8. $$v = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$$ км/ч.

Ответ: $$6$$

1. Общее время с $$06$$:$$00$$ до $$22$$:$$00$$ — $$16$$ часов. С учётом стоянки $$4$$ ч, время движения: $$16 - 4 = 12$$ ч.

2. Пусть скорость течения $$x$$ км/ч. По течению: $$(8 + x)$$ км/ч, против: $$(8 - x)$$ км/ч.

3. Уравнение: $$\frac{45}{8 + x} + \frac{45}{8 - x} = 12$$.

4. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{45(8 - x) + 45(8 + x)}{64 - x^2} = 12$$.

5. $$\frac{720}{64 - x^2} = 12 \Rightarrow 64 - x^2 = 60 \Rightarrow x^2 = 4$$.

6. $$x = 2$$ км/ч.

Ответ: $$2$$

1. Пусть начальная цена $$P$$, изменение на $$x\%$$ (в долях $$a = x/100$$).

2. После понедельника: $$P(1 + a)$$.

3. После вторника: $$P(1 + a)(1 - a) = P(1 - a^2)$$.

4. По условию цена упала на $$1\%$$, то есть стала $$0,99P$$.

5. $$1 - a^2 = 0,99 \Rightarrow a^2 = 0,01 \Rightarrow a = 0,1$$.

6. Значит, акции подорожали на $$10\%$$.

Ответ: $$10$$

1. Найдём количество вещества в исходном растворе: $$10 \cdot 0,14 = 1,4$$ л.

2. Общий объём нового раствора: $$10 + 4 = 14$$ л.

3. Концентрация: $$\frac{1,4}{14} \cdot 100\% = 10\%$$.

Ответ: $$10$$

1. Пусть скорость из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 4)$$ км/ч.

2. Время пути из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{117}{v}$$ ч.

3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{117}{v + 4}$$ ч.

4. С учётом остановки: $$\frac{117}{v + 4} + 4 = \frac{117}{v}$$.

5. Умножаем на $$v(v + 4)$$: $$117v + 4v(v + 4) = 117(v + 4)$$.

6. $$117v + 4v^2 + 16v = 117v + 468 \Rightarrow 4v^2 + 16v - 468 = 0 \Rightarrow v^2 + 4v - 117 = 0$$.

7. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-13) = -117$$ и $$9 + (-13) = -4$$).

8. Скорость из $$B$$ в $$A$$: $$9 + 4 = 13$$ км/ч.

Ответ: $$13$$

1. Пусть скорость из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 5)$$ км/ч.

2. Время пути из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{126}{v}$$ ч.

3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{126}{v + 5}$$ ч.

4. С учётом остановки: $$\frac{126}{v + 5} + 5 = \frac{126}{v}$$.

5. Умножаем на $$v(v + 5)$$: $$126v + 5v(v + 5) = 126(v + 5)$$.

6. $$126v + 5v^2 + 25v = 126v + 630 \Rightarrow 5v^2 + 25v - 630 = 0 \Rightarrow v^2 + 5v - 126 = 0$$.

7. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-14) = -126$$ и $$9 + (-14) = -5$$).

Ответ: $$9$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть х - скорость первого дня

$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8$$

$$\frac{22,5}{x}-\frac{22,5}{x+8}=1$$

$$22,5x+180-22,5x=x^{2}+8x$$

$$x^{2}+8x-180=0$$ $$D=64+720=784$$

$$x_{1}=\frac{-8+28}{2}=10$$

$$x_{2}<0$$

1. Пусть куртка стоит $$C$$, а рубашка $$R$$.

2. По условию: $$8R = 0,96C \Rightarrow R = 0,12C$$.

3. Стоимость $$11$$ рубашек: $$11R = 11 \cdot 0,12C = 1,32C$$.

4. Это на $$32\%$$ больше стоимости куртки.

Ответ: $$32$$

1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 4)$$ км/ч.

2. Время второго: $$\frac{140}{v}$$ ч, первого: $$\frac{140}{v + 4}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{140}{v} - \frac{140}{v + 4} = 4$$.

4. Умножаем на $$v(v + 4)$$: $$140(v + 4) - 140v = 4v(v + 4)$$.

5. $$140v + 560 - 140v = 4v^2 + 16v \Rightarrow 4v^2 + 16v - 560 = 0 \Rightarrow v^2 + 4v - 140 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-14) = -140$$ и $$10 + (-14) = -4$$).

7. Скорость первого: $$10 + 4 = 14$$ км/ч.

Ответ: $$14$$

1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 3)$$ км/ч.

2. Время второго: $$\frac{154}{v}$$ ч, первого: $$\frac{154}{v + 3}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{154}{v} - \frac{154}{v + 3} = 3$$.

4. Умножаем на $$v(v + 3)$$: $$154(v + 3) - 154v = 3v(v + 3)$$.

5. $$154v + 462 - 154v = 3v^2 + 9v \Rightarrow 3v^2 + 9v - 462 = 0 \Rightarrow v^2 + 3v - 154 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 11$$ (так как $$11 \cdot (-14) = -154$$ и $$11 + (-14) = -3$$).

Ответ: $$11$$

Путь х км/ч - скорость второго, тогда х+10 км/ч - скорость первого, тогда, время первого $$t_{1}=\frac{60}{x+10}$$ часов, $$t_{2}=\frac{60}{x}$$ часов - время второго. При этом второй ехал на 3 часа дольше, то есть : $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3|*\frac{x(x+10)}{3}\Leftrightarrow$$$$20x+200-20x=x^{2}+10x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+10x-200=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-10\\x_{1}*x_{2}=-200 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-20\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость второго составляла 10 км/ч.

Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ часов. Первая труба заполняет бассейн за  40 часов, а обе за $$18+\frac{40}{60}=18+\frac{2}{3}=\frac{56}{3}$$ часа. Условно примем объем резервуара за 1. Тогда первая труба будет наполнять его со скоростью $$\frac{1}{x}$$, а вторая со скоростью $$\frac{1}{40}$$. И так как обе трубы заполняют этот резервуар за $$\frac{56}{54}$$ часа, то можно записать уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{40}=\frac{3}{56}$$

откуда

$$\frac{1}{x}=\frac{3}{56}-\frac{1}{40}=\frac{15-7}{280}=\frac{8}{280}=\frac{1}{35}$$

$$x=35$$

1. Время на подъём: $$7 - 4 = 3$$ ч.

2. Пусть скорость на подъёме $$v$$ км/ч, тогда на спуске $$(v + 2)$$ км/ч.

3. Расстояние на подъёме: $$3v$$, на спуске: $$4(v + 2)$$.

4. Уравнение: $$3v + 4(v + 2) = 15$$.

5. $$3v + 4v + 8 = 15 \Rightarrow 7v = 7 \Rightarrow v = 1$$ км/ч.

6. Скорость на спуске: $$1 + 2 = 3$$ км/ч.

Ответ: $$3$$