Прямоугольный параллелепипед

1. Прямая $$A_{1}C_{1}$$ параллельна прямой $$AC$$. Значит, угол между $$B_{1}C$$ и $$A_{1}C_{1}$$ равен углу между $$B_{1}C$$ и $$AC$$.

2. Рассмотрим треугольник $$AB_{1}C$$. Его стороны $$AB_{1}$$, $$B_{1}C$$ и $$AC$$ являются диагоналями равных граней куба, поэтому треугольник равносторонний.

3. Все углы равностороннего треугольника равны $$60^{\circ}$$.

1. Пусть сторона основания $$AD = a$$. Тогда диагональ призмы $$BD_{1} = 2a$$.

2. Диагонали правильной четырёхугольной призмы равны и пересекаются в центре, делясь пополам. Половина каждой диагонали равна $$a$$.

3. Треугольник, образованный половинами диагоналей $$DB_{1}$$ и $$AC_{1}$$ и стороной основания $$AB$$, имеет все стороны равные $$a$$.

4. Треугольник равносторонний, следовательно, угол между диагоналями равен $$60^{\circ}$$.

1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$.

2. Подставляем данные: $$DB_{1} = \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 25 + 100} = \sqrt{225} = 15$$.

Ответ: 15.

1. Объем полного параллелепипеда: $$V_{полн} = AB \cdot BC \cdot AA_{1} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$$.

2. Многогранник $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ — треугольная призма, занимает половину параллелепипеда (площадь основания в 2 раза меньше).

3. Объем: $$V = \frac{210}{2} = 105$$.

1. Многогранник $$ABCB_{1}$$ — пирамида с основанием $$ABC$$ (прямоугольный треугольник) и вершиной $$B_{1}$$.

2. Площадь основания: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 = 31,5$$.

3. Высота пирамиды равна $$BB_{1} = AA_{1} = 6$$, так как ребро $$BB_{1}$$ перпендикулярно плоскости основания.

4. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 31,5 \cdot 6 = 63$$.

1. Сечение $$ACC_{1}A_{1}$$ — прямоугольник.

2. Находим диагональ основания $$AC$$: $$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.

3. Сторона $$CC_{1} = AA_{1} = 32$$.

4. Площадь: $$S = CC_{1} \cdot AC = 32 \cdot 5 = 160$$.

1. Прямая $$A_{1}D_{1}$$ параллельна $$AD$$. Искомый угол равен углу между $$AD$$ и $$AC$$.

2. В треугольнике $$ADC$$: $$AD=8$$, $$DC=AB=6$$, $$AC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$.

3. $$\sin(\angle DAC) = \frac{DC}{AC} = \frac{6}{10} = 0,6$$.

1. Объём исходной призмы: $$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 6 \cdot 7 = 42$$.

2. Многогранник $$ABC A_{1} B_{1}$$ — пирамида, которая занимает $$\frac{1}{3}$$ от объёма призмы.

3. Объём пирамиды: $$V = \frac{42}{3} = 14$$.

1. Диагональ куба: $$d = a\sqrt{3}$$, где $$a$$ — ребро куба.

2. Находим ребро: $$a = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$$.

3. Объём: $$V = a^3 = 1^3 = 1$$.

1. Многогранник $$ABCDB_{1}$$ — пирамида с основанием $$ABCD$$ (прямоугольник) и вершиной $$B_{1}$$.

2. Площадь основания: $$S_{осн} = AB \cdot BC = 4 \cdot 7 = 28$$.

3. Высота пирамиды равна $$BB_{1} = 3$$, так как ребро $$BB_{1}$$ перпендикулярно плоскости основания.

4. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 3 = 28$$.

1. Исходный параллелепипед имеет $$8$$ вершин. Наш многогранник содержит $$6$$ из них: $$A$$, $$B$$, $$A_{1}$$, $$B_{1}$$, $$C_{1}$$, $$D_{1}$$. Отсутствуют вершины $$C$$ и $$D$$.

2. Плоскость, проходящая через точки $$A$$, $$B$$, $$C_{1}$$, $$D_{1}$$, делит параллелепипед на две равные части.

3. Наш многогранник — это ровно половина исходного параллелепипеда.

4. Объём полного параллелепипеда: $$V_{полн} = AB \cdot AD \cdot AA_{1} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$$.

5. Объём многогранника: $$V = \frac{V_{полн}}{2} = \frac{60}{2} = 30$$.

1. Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда объём куба $$V_{куба} = a^3 = 20$$.

2. Отсекаемая фигура — треугольная призма. Её основание — прямоугольный треугольник с катетами $$\frac{a}{2}$$ и $$\frac{a}{2}$$ (плоскость проходит через середины рёбер).

3. Площадь основания призмы: $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$$.

4. Высота призмы равна $$a$$ (секущая плоскость параллельна третьему ребру).

5. Объём призмы: $$V_{пр} = S \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8} = \frac{20}{8} = 2,5$$.