Стереометрия

1. Если шар вписан в куб, то диаметр шара равен ребру куба: $$d = 9$$, радиус $$r = \frac{9}{2} = 4,5$$.

2. Объём шара: $$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 4,5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 91,125 = 121,5\pi$$.

3. Делим на $$\pi$$: $$\frac{V}{\pi} = 121,5$$.

1. Прямая $$A_{1}C_{1}$$ параллельна прямой $$AC$$. Значит, угол между $$B_{1}C$$ и $$A_{1}C_{1}$$ равен углу между $$B_{1}C$$ и $$AC$$.

2. Рассмотрим треугольник $$AB_{1}C$$. Его стороны $$AB_{1}$$, $$B_{1}C$$ и $$AC$$ являются диагоналями равных граней куба, поэтому треугольник равносторонний.

3. Все углы равностороннего треугольника равны $$60^{\circ}$$.

1. Цилиндр описан около призмы, значит диаметр его основания равен гипотенузе прямоугольного треугольника.

2. Находим гипотенузу: $$c = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$$.

3. Радиус основания цилиндра: $$r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{65}}{2}$$.

4. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $$h = \frac{6}{\pi}$$.

5. Объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{65}}{2}\right)^2 \cdot \frac{6}{\pi} = \pi \cdot \frac{65}{4} \cdot \frac{6}{\pi} = \frac{65 \cdot 6}{4} = 97,5$$.

1. Основание — равносторонний треугольник со стороной $$a = 10,5$$.

2. Расстояние от центра основания до вершины (радиус описанной окружности): $$r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{10,5}{\sqrt{3}}$$.

3. Из прямоугольного треугольника (высота, радиус, боковое ребро): $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{7^2 - \left(\frac{10,5}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{49 - \frac{110,25}{3}} = \sqrt{49 - 36,75} = \sqrt{12,25} = 3,5$$.

1. Прямая $$BB_{1}$$ параллельна прямой $$CC_{1}$$. Искомый угол равен углу между $$CC_{1}$$ и $$AC_{1}$$.

2. Боковая грань $$ACC_{1}A_{1}$$ — квадрат, так как все рёбра равны.

3. $$AC_{1}$$ — диагональ квадрата, $$CC_{1}$$ — его сторона. Угол между диагональю и стороной квадрата равен $$45^{\circ}$$.

1. Точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, поэтому $$OA = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$$.

2. Треугольник $$SOA$$ — прямоугольный ($$SO \perp AC$$).

3. По теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30$$.

1. Точка $$O$$ — центр квадрата $$ABCD$$, середина диагонали $$BD$$. Длина $$OA$$ равна половине диагонали: $$OA = \frac{BD}{2} = \frac{42}{2} = 21$$.

2. Высота $$SO$$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому треугольник $$SOA$$ — прямоугольный с катетами $$SO = 28$$ и $$OA = 21$$.

3. По теореме Пифагора: $$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{28^2 + 21^2} = \sqrt{784 + 441} = \sqrt{1225} = 35$$.

1. Высота $$SO$$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому треугольник $$SOC$$ — прямоугольный.

2. По теореме Пифагора: $$OC = \sqrt{SC^2 - SO^2} = \sqrt{73^2 - 48^2} = \sqrt{5329 - 2304} = \sqrt{3025} = 55$$.

3. Точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, значит $$AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot 55 = 110$$.

1. Диагональ квадратного основания: $$d = a\sqrt{2} = 35\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 70$$.

2. Половина диагонали: $$r = \frac{d}{2} = 35$$.

3. Высота: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{37^2 - 35^2} = \sqrt{1369 - 1225} = \sqrt{144} = 12$$.

4. Площадь основания: $$S = (35\sqrt{2})^2 = 2450$$.

5. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2450 \cdot 12 = 9800$$.

1. Основание — квадрат со стороной $$a = 6$$. Диагональ квадрата: $$d = 6\sqrt{2}$$.

2. Расстояние от центра основания до вершины: $$r = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}$$.

3. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{4,5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{20,25 - 18} = \sqrt{2,25} = 1,5$$.

1. Сечение, проходящее через середины боковых рёбер, параллельно основанию и подобно ему.

2. Коэффициент подобия равен $$\frac{1}{2}$$, поэтому сторона квадрата в сечении: $$a_{сеч} = \frac{6}{2} = 3$$.

3. Площадь сечения: $$S = 3^2 = 9$$.

1. Из прямоугольного треугольника (высота, половина диагонали основания, боковое ребро): $$r^2 = l^2 - h^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$$, где $$r$$ — половина диагонали основания.

2. Диагональ квадрата: $$d = 2r = 2\sqrt{12}$$.

3. Площадь основания: $$S = \frac{d^2}{2} = \frac{48}{2} = 24$$.

4. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 = 16$$.

1. Пусть сторона основания $$AD = a$$. Тогда диагональ призмы $$BD_{1} = 2a$$.

2. Диагонали правильной четырёхугольной призмы равны и пересекаются в центре, делясь пополам. Половина каждой диагонали равна $$a$$.

3. Треугольник, образованный половинами диагоналей $$DB_{1}$$ и $$AC_{1}$$ и стороной основания $$AB$$, имеет все стороны равные $$a$$.

4. Треугольник равносторонний, следовательно, угол между диагоналями равен $$60^{\circ}$$.

1. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: $$r = a = 4$$.

2. Высота $$h$$, боковое ребро $$l = 8,5$$ и радиус $$r$$ образуют прямоугольный треугольник.

3. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{8,5^2 - 4^2} = \sqrt{72,25 - 16} = \sqrt{56,25} = 7,5$$.

1. Прямая $$D_{1}E_{1}$$ параллельна прямой $$DE$$. Искомый угол равен углу между $$FA$$ и $$DE$$.

2. В правильном шестиугольнике $$FA \parallel CD$$. Угол между $$CD$$ и $$DE$$ равен $$120^{\circ}$$.

3. Острый угол между прямыми равен $$180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$.