Тригонометрические уравнения и неравенства
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 6948
Груз массой $$0,5$$ кг колеблется на пружине. Его скорость $$v$$ (в м/с) меняется по закону $$v=v_0\sin\frac{2\pi t}{T}$$, где $$t$$ – время с момента начала колебаний в секундах, $$T=27$$ с – период колебаний, $$v_0=0,8$$ м/с. Кинетическая энергия $$E$$ (в Дж) груза вычисляется по формуле $$E=\frac{mv^2}{2}$$, где $$m$$ – масса груза (в кг), $$v$$ – скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через $$9$$ секунд после начала колебаний.
1. Находим скорость через $$t=9$$ с: $$v=0,8\cdot\sin\frac{2\pi\cdot 9}{27}=0,8\cdot\sin\frac{2\pi}{3}$$.
2. Так как $$\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем $$v=0,8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=0,4\sqrt{3}$$ м/с.
3. Вычисляем кинетическую энергию: $$E=\frac{0,5\cdot(0,4\sqrt{3})^2}{2}=\frac{0,5\cdot 0,48}{2}$$.
4. Получаем: $$E=\frac{0,24}{2}=0,12$$ Дж.
Задание 6957
Два тела, массой $$m=2$$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $$v=8$$ м/с под углом $$2\alpha$$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $$Q=mv^2\sin^2\alpha$$, где $$m$$ – масса (в кг), $$v$$ – скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $$2\alpha$$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная $$32$$ Дж.
1. Подставляем известные значения в формулу: $$32=2\cdot 8^2\cdot\sin^2\alpha$$.
2. Упрощаем: $$32=2\cdot 64\cdot\sin^2\alpha \Rightarrow 32=128\sin^2\alpha$$.
3. Находим $$\sin^2\alpha$$: $$\sin^2\alpha=\frac{32}{128}=\frac{1}{4}$$.
4. Так как угол острый, $$\sin\alpha=\frac{1}{2}$$, откуда $$\alpha=30^\circ$$.
5. Искомый угол $$2\alpha=2\cdot 30^\circ=60^\circ$$.
Задание 6945
Мяч бросили под углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле $$t=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}$$. При каком наименьшем значении угла $$\alpha$$ (в градусах) время полёта будет не меньше $$3$$ секунд, если мяч бросают с начальной скоростью $$v_0=30$$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $$g=10$$ м/с².
1. Подставляем известные значения в неравенство: $$\frac{2\cdot 30\cdot\sin\alpha}{10}\geq 3$$.
2. Упрощаем: $$\frac{60\sin\alpha}{10}\geq 3$$, откуда $$6\sin\alpha\geq 3$$.
3. Делим на $$6$$: $$\sin\alpha\geq 0,5$$.
4. Наименьший угол, для которого $$\sin\alpha=0,5$$, равен $$\alpha=30^\circ$$.
Задание 6964
Небольшой мячик бросают под острым углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика $$H$$ (в м) вычисляется по формуле $$H=\frac{v_0^2}{4g}(1-\cos 2\alpha)$$, где $$v_0=16$$ м/с — начальная скорость мячика, а $$g$$ — ускорение свободного падения (считайте $$g=10$$ м/с$$^2$$). При каком наименьшем значении угла $$\alpha$$ мячик пролетит над стеной высотой $$8,6$$ м на расстоянии $$1$$ м? Ответ дайте в градусах.
1. Высота полёта должна быть: $$H = 8,6 + 1 = 9,6$$ м.
2. Подставляем в формулу: $$9,6 = \frac{16^2}{4 \cdot 10}(1-\cos 2\alpha) = 6,4(1-\cos 2\alpha)$$.
3. Решаем уравнение: $$1-\cos 2\alpha = \frac{9,6}{6,4} = 1,5$$, откуда $$\cos 2\alpha = -0,5$$.
4. Находим угол: $$2\alpha = 120°$$, следовательно $$\alpha = 60°$$.