Квадратные и степенные уравнения и неравенства
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 6779
Автомобиль, движущийся со скоростью $$v_0=24$$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $$a=3$$ м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь $$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$$ (м). Определите время, если за это время автомобиль проехал 90 метров.
1. Подставляем: $$90=24t-\frac{3t^2}{2}=24t-1,5t^2$$.
2. Получаем: $$1,5t^2-24t+90=0$$, умножаем на 2: $$3t^2-48t+180=0$$.
3. Делим на 3: $$t^2-16t+60=0$$.
4. Находим дискриминант: $$D=256-240=16$$.
5. Корни: $$t_1=\frac{16+4}{2}=10$$, $$t_2=\frac{16-4}{2}=6$$. Выбираем меньший: $$t=6$$ с.
Задание 6804
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $$H(t)=at^2+bt+H_0$$, где $$H_0=2,5$$ м – начальный уровень воды, $$a=\frac{1}{160}$$ м/мин² и $$b=-\frac{1}{4}$$ м/мин – постоянные, $$t$$ – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?
1. Вода вытечет, когда $$H(t)=0$$: $$\frac{1}{160}t^2-\frac{1}{4}t+2,5=0$$.
2. Умножаем на 160: $$t^2-40t+400=0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=1600-1600=0$$.
4. Находим корень: $$t=\frac{40}{2}=20$$ мин.
Задание 6815
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t)=2+11t-5t^2$$, где $$h$$ – высота в метрах, $$t$$ – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?
1. Решаем неравенство: $$2+11t-5t^2\geq 4$$.
2. Переносим всё в одну сторону: $$-5t^2+11t-2\geq 0$$, умножаем на -1: $$5t^2-11t+2\leq 0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=121-40=81$$, $$\sqrt{D}=9$$.
4. Находим корни: $$t_1=\frac{11-9}{10}=0,2$$, $$t_2=\frac{11+9}{10}=2$$. Время нахождения: $$2-0,2=1,8$$ с.
Задание 6812
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: $$T(t)=T_0+bt+at^2$$, где $$t$$ – время (в мин.), $$T_0=1450$$ К, $$a=-30$$ К/мин², $$b=180$$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.
1. Решаем уравнение: $$1450+180t-30t^2=1600$$.
2. Получаем: $$-30t^2+180t-150=0$$, делим на -30: $$t^2-6t+5=0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=36-20=16$$, $$\sqrt{D}=4$$.
4. Находим корни: $$t_1=\frac{6+4}{2}=5$$, $$t_2=\frac{6-4}{2}=1$$. Наибольшее время: $$t=1$$ мин.
Задание 6789
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$, где t – время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $$\omega=25$$ град./мин – начальная угловая скорость вращения катушки, а $$\beta=10$$ град./мин² – угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, если за это время угол намотки $$\varphi$$ достиг 1500°.
1. Подставляем: $$1500=25t+\frac{10t^2}{2}=25t+5t^2$$.
2. Получаем: $$5t^2+25t-1500=0$$, делим на 5: $$t^2+5t-300=0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=25+1200=1225$$, $$\sqrt{D}=35$$.
4. Находим положительный корень: $$t=\frac{-5+35}{2}=\frac{30}{2}=15$$ мин.
Задание 6794
Зависимость объёма спроса $$q$$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $$p$$ (тыс. руб.) задаётся формулой $$q=60-5p$$. Выручка предприятия за месяц $$r$$ (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $$r(p)=q\cdot p$$. Определите наибольшую цену $$p$$, при которой месячная выручка $$r(p)$$ составит не менее $$100$$ тыс. руб.
1. Записываем выручку: $$r(p)=(60-5p)\cdot p=60p-5p^2$$.
2. Решаем неравенство: $$60p-5p^2\geq 100$$.
3. Переносим все в одну сторону: $$5p^2-60p+100\leq 0$$, делим на 5: $$p^2-12p+20\leq 0$$.
4. Находим корни: $$p_1=2$$, $$p_2=10$$. Наибольшее значение: $$p=10$$ тыс. руб.
Задание 6809
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле $$T(t)=T_0+bt+at^2$$, где $$t$$ – время в минутах, $$T_0=1320$$ К, $$a=-20$$ К/мин², $$b=200$$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.
1. Решаем уравнение: $$1320+200t-20t^2=1800$$.
2. Получаем: $$-20t^2+200t-480=0$$, делим на -20: $$t^2-10t+24=0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=100-96=4$$, $$\sqrt{D}=2$$.
4. Находим корни: $$t_1=\frac{10+2}{2}=6$$, $$t_2=\frac{10-2}{2}=4$$. Наибольшее время: $$t=4$$ мин.
Задание 6784
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $$v_0=60$$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $$a=18$$ км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$, где t – время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, если за это время он удалился от города на 21 км.
1. Подставляем: $$21=60t+\frac{18t^2}{2}=60t+9t^2$$.
2. Получаем: $$9t^2+60t-21=0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=3600+756=4356$$, $$\sqrt{D}=66$$.
4. Находим корень: $$t=\frac{-60+66}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$ ч.
5. Переводим в минуты: $$\frac{1}{3}\cdot 60=20$$ мин.
Задание 6777
На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке.
В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой $$y=0,0032x^2-0,62x+34$$, где $$x$$ и $$y$$ измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 60 метрах от пилона.
1. Подставляем $$x=60$$ в формулу: $$y=0,0032\cdot 60^2-0,62\cdot 60+34$$.
2. Вычисляем: $$y=0,0032\cdot 3600-37,2+34=11,52-37,2+34=8,32$$.
Задание 6914
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $$p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}$$, где $$p_1$$ и $$p_2$$ – давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $$V_1$$ и $$V_2$$ – объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен $$316,8$$ л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало $$128$$ атмосфер?
1. Подставляем известные значения: $$1\cdot 316,8^{1,4}=128\cdot V_2^{1,4}$$.
2. Выражаем $$V_2^{1,4}$$: $$V_2^{1,4}=\frac{316,8^{1,4}}{128}$$.
3. Так как $$128=2^7$$, а $$1,4=\frac{7}{5}$$, получаем: $$V_2^{7/5}=\frac{316,8^{7/5}}{2^7}=\left(\frac{316,8}{32}\right)^{7/5}=9,9^{7/5}$$.
4. Извлекаем корень: $$V_2=9,9$$ л.