Стереометрия

1. Многогранник $$ABFA_{1}B_{1}F_{1}$$ — треугольная призма с основаниями $$ABF$$ и $$A_{1}B_{1}F_{1}$$.

2. Треугольник $$ABF$$ занимает $$\frac{1}{6}$$ площади правильного шестиугольника.

3. Объём: $$V = \frac{1}{6} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{6} \cdot 8 \cdot 15 = 20$$.

1. Исходный параллелепипед имеет $$8$$ вершин. Наш многогранник содержит $$6$$ из них: $$A$$, $$B$$, $$A_{1}$$, $$B_{1}$$, $$C_{1}$$, $$D_{1}$$. Отсутствуют вершины $$C$$ и $$D$$.

2. Плоскость, проходящая через точки $$A$$, $$B$$, $$C_{1}$$, $$D_{1}$$, делит параллелепипед на две равные части.

3. Наш многогранник — это ровно половина исходного параллелепипеда.

4. Объём полного параллелепипеда: $$V_{полн} = AB \cdot AD \cdot AA_{1} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$$.

5. Объём многогранника: $$V = \frac{V_{полн}}{2} = \frac{60}{2} = 30$$.

1. Многогранник $$FA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ — пирамида с основанием $$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ и вершиной $$F$$.

2. Площадь основания пирамиды: $$S_{осн} = 4$$.

3. Высота пирамиды: $$h = 3$$.

4. Объём: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4$$.

1. Достраиваем фигуру до полного параллелепипеда.

2. Объём полного параллелепипеда: $$V_{полн} = 4 \cdot 2 \cdot 4 = 32$$.

3. Вырезанная часть отсутствует или её объём равен нулю.

4. Объём многогранника: $$V = 32$$.

1. Фигура — основание $$5 \times 2 \times 3$$ с выступом сверху $$1 \times 2 \times 3$$ по центру.

2. Передняя и задняя (форма Т): каждая $$5 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 18$$. Две: $$36$$.

3. Левая и правая основания: $$2 \cdot 3 = 6$$ каждая, итого $$12$$. Боковые выступа: $$2 \cdot 3 = 6$$ каждая, итого $$12$$. Сумма: $$24$$.

4. Нижняя: $$5 \cdot 2 = 10$$. Верхняя основания (минус выступ): $$5 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 8$$. Верхняя выступа: $$1 \cdot 2 = 2$$. Сумма: $$20$$.

5. Итог: $$S = 36 + 24 + 20 = 80$$.

1. Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда объём куба $$V_{куба} = a^3 = 20$$.

2. Отсекаемая фигура — треугольная призма. Её основание — прямоугольный треугольник с катетами $$\frac{a}{2}$$ и $$\frac{a}{2}$$ (плоскость проходит через середины рёбер).

3. Площадь основания призмы: $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$$.

4. Высота призмы равна $$a$$ (секущая плоскость параллельна третьему ребру).

5. Объём призмы: $$V_{пр} = S \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8} = \frac{20}{8} = 2,5$$.

1. Пирамида $$SABC$$ составляет половину пирамиды $$SABCD$$, так как треугольник $$ABC$$ — половина квадрата $$ABCD$$: $$V_{SABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD}$$.

2. В пирамиде $$EABC$$ основание то же ($$ABC$$), а вершина $$E$$ — середина ребра $$SB$$. Высота из $$E$$ на плоскость основания в 2 раза меньше высоты из $$S$$.

3. Объём пирамиды $$EABC$$: $$V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABC} = \frac{1}{4} V_{SABCD} = \frac{152}{4} = 38$$.

1. Плоскость проходит через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $$\frac{1}{2}$$.

2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$.

3. Высота отсечённой пирамиды равна высоте исходной (так как плоскость проходит через вершину).

4. Объёмы пирамид с одинаковой высотой относятся как площади оснований: $$\frac{V_{отс}}{V_{исх}} = \frac{S_{отс}}{S_{исх}} = \frac{1}{4}$$.

5. Находим объём: $$V_{отс} = \frac{V_{исх}}{4} = \frac{94}{4} = 23,5$$.

1. Когда центр сферы совпадает с центром основания конуса: $$R = \frac{l}{\sqrt{2}}$$.

2. Находим радиус сферы: $$R = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 36$$.

1. Когда центр сферы совпадает с центром основания конуса, образующая конуса связана с радиусом сферы соотношением: $$l = R\sqrt{2}$$.

2. Находим образующую: $$l = 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 2 = 20$$.

1. Когда центр сферы совпадает с центром основания конуса, образующая конуса связана с радиусом сферы соотношением: $$l = R\sqrt{2}$$.

2. Находим образующую: $$l = 31\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 31 \cdot 2 = 62$$.

1. Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 = 14$$.

2. Объём призмы: $$V = S_{осн} \cdot h$$, где $$h$$ — боковое ребро.

3. Находим высоту: $$h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{56}{14} = 4$$.

1. Площадь основания: $$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 = 7$$.

2. Объём призмы: $$V = S \cdot h = 7 \cdot 6 = 42$$.

1. $$h_1 = 2h_2$$, $$r_2 = 3r_1$$.

2. Объёмы кружек: $$V_1 = \pi r_1^2 \cdot 2h_2$$, $$V_2 = \pi (3r_1)^2 h_2 = 9\pi r_1^2 h_2$$.

3. Отношение объёмов: $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{9\pi r_1^2 h_2}{2\pi r_1^2 h_2} = \frac{9}{2} = 4,5$$.

1. Боковая поверхность призмы: $$S = P \cdot h$$, где $$P$$ — периметр основания, $$h$$ — высота.

2. Средняя линия треугольника делит стороны пополам, поэтому периметр основания отсечённой призмы равен $$\frac{P}{2}$$.

3. Высота остаётся той же $$h$$.

4. Боковая поверхность отсечённой призмы: $$S_{отс} = \frac{P}{2} \cdot h = \frac{S}{2} = \frac{75}{2} = 37,5$$.