ЕГЭ (профиль) / Вычисления и преобразования

1. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{91}{100} = \frac{9}{100}$$.

2. Так как $$\alpha$$ в IV четверти, $$\cos \alpha > 0$$, поэтому $$\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0,3$$.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$.

2. Находим $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{91}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{91}{100} = \frac{9}{100}$$.

3. Так как $$\alpha$$ в IV четверти, $$\sin \alpha < 0$$, поэтому $$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{100}} = -\frac{3}{10} = -0,3$$.

1. Находим $$\sin \alpha$$: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$$.

2. Так как $$\alpha$$ в III четверти, $$\sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{13}}$$.

3. Находим тангенс: $$\text{tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{\sqrt{13}}}{-\frac{2}{\sqrt{13}}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$.

1. Находим $$\cos \alpha$$: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{41} = \frac{25}{41}$$.

2. Так как $$\alpha$$ в III четверти, $$\cos \alpha = -\frac{5}{\sqrt{41}}$$.

3. Находим тангенс: $$\text{tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{4}{\sqrt{41}}}{-\frac{5}{\sqrt{41}}} = \frac{4}{5} = 0{,}8$$.

1. Используем формулу двойного угла: $$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$$.

2. Подставляем: $$\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot 0{,}6^2 = 1 - 2 \cdot 0{,}36 = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$$.

3. Вычисляем: $$3 \cdot 0{,}28 = 0{,}84$$.

1. Применяем формулу приведения: $$\text{tg}56° = \text{tg}(90°-34°) = \text{ctg}34° = \frac{1}{\text{tg}34°}$$.

2. Подставляем: $$-42\text{tg}34° \cdot \frac{1}{\text{tg}34°} + 6 = -42 + 6 = -36$$.

1. Упрощаем корни: $$\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$, $$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$.

2. Подставляем: $$(5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$$.

1. Применяем свойство степени: $$(5^4)^6 = 5^{24}$$.

2. Применяем свойство деления степеней: $$5^{24} : 5^{22} = 5^2 = 25$$.

1. Применяем свойство степеней: $$64^{27}:16^{40}$$

2. Представляем числа как степени с основанием 2: $$(2^6)^{27}:(2^4)^{40} = 2^{162}:2^{160}$$

3. Вычитаем показатели: $$2^{162-160} = 2^2 = 4$$

Ответ: 4

1. Раскрываем квадрат: $$(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$$.

2. Выносим общий множитель: $$10 + 2\sqrt{21} = 2(5 + \sqrt{21})$$, $$40 + 8\sqrt{21} = 8(5 + \sqrt{21})$$.

3. Сокращаем: $$\frac{2(5 + \sqrt{21})}{8(5 + \sqrt{21})} = \frac{2}{8} = 0,25$$.

1. Возводим числитель в квадрат: $$(2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$$.

2. Делим: $$\frac{28}{4} = 7$$.

1. Применяем свойство степеней: $$(7^{\frac{5}{6}} \cdot 8^{\frac{3}{4}})^{24} = 7^{\frac{5}{6} \cdot 24} \cdot 8^{\frac{3}{4} \cdot 24} = 7^{20} \cdot 8^{18}$$.

2. Представляем 56 как произведение: $$56^{18} = (7 \cdot 8)^{18} = 7^{18} \cdot 8^{18}$$.

3. Сокращаем: $$\frac{7^{20} \cdot 8^{18}}{7^{18} \cdot 8^{18}} = 7^{20-18} = 7^2 = 49$$.

1. Применяем формулу перехода: $$\frac{\log_2 4}{\log_2 14} = \log_{14} 4$$.

2. Складываем логарифмы: $$\log_{14} 4 + \log_{14} 3{,}5 = \log_{14} (4 \cdot 3{,}5) = \log_{14} 14$$.

3. Вычисляем: $$\log_{14} 14 = 1$$.

1. Применяем формулу перехода к новому основанию: $$\frac{\log_7 243}{\log_7 3} = \log_3 243$$.

2. Представляем 243 как степень: $$243 = 3^5$$, откуда $$\log_3 243 = 5$$.

1. Применяем формулу перехода: $$\frac{\log_8 14}{\log_{64} 14} = \log_{14} 64 : \log_{14} 8 = \log_8 64$$.

2. Представляем 64 как степень: $$64 = 8^2$$, откуда $$\log_8 64 = 2$$.