Комбинации тел

1. Если шар вписан в куб, то диаметр шара равен ребру куба: $$d = 9$$, радиус $$r = \frac{9}{2} = 4,5$$.

2. Объём шара: $$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 4,5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 91,125 = 121,5\pi$$.

3. Делим на $$\pi$$: $$\frac{V}{\pi} = 121,5$$.

1. Цилиндр описан около призмы, значит диаметр его основания равен гипотенузе прямоугольного треугольника.

2. Находим гипотенузу: $$c = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$$.

3. Радиус основания цилиндра: $$r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{65}}{2}$$.

4. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $$h = \frac{6}{\pi}$$.

5. Объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{65}}{2}\right)^2 \cdot \frac{6}{\pi} = \pi \cdot \frac{65}{4} \cdot \frac{6}{\pi} = \frac{65 \cdot 6}{4} = 97,5$$.

1. Дано: $$r_{конуса} = r_{шара} = r$$.

2. Объём конуса: $$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^3 = 20$$.

3. Объём шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$$.

4. Отношение объёмов: $$\frac{V_{шара}}{V_{кон}} = 4$$. Находим объём шара: $$V_{шара} = 4 \cdot 20 = 80$$.

1. Дано: $$r_{конуса} = r_{шара} = r$$.

2. Объём шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = 44$$.

3. Объём конуса: $$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^3$$.

4. Отношение объёмов: $$\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{1}{4}$$. Находим объём конуса: $$V_{кон} = \frac{44}{4} = 11$$.

1. Если куб описан около сферы, то ребро куба равно диаметру сферы: $$a = 2r = 2 \cdot 4 = 8$$.

2. Объём куба: $$V = a^3 = 8^3 = 512$$.

1. Когда центр сферы совпадает с центром основания конуса: $$R = \frac{l}{\sqrt{2}}$$.

2. Находим радиус сферы: $$R = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 36$$.

1. Когда центр сферы совпадает с центром основания конуса, образующая конуса связана с радиусом сферы соотношением: $$l = R\sqrt{2}$$.

2. Находим образующую: $$l = 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 2 = 20$$.

1. Когда центр сферы совпадает с центром основания конуса, образующая конуса связана с радиусом сферы соотношением: $$l = R\sqrt{2}$$.

2. Находим образующую: $$l = 31\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 31 \cdot 2 = 62$$.

1. Если параллелепипед описан около сферы, то это куб с ребром, равным диаметру сферы: $$a = 2r = 2 \cdot 8,5 = 17$$.

2. Объём параллелепипеда: $$V = a^3 = 17^3 = 4913$$.

1. Сторона основания: $$a = 2r = 2 \cdot 2 = 4$$.

2. Высота параллелепипеда: $$h = 2$$.

3. Объём: $$V = a^2 \cdot h = 4^2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$$.

1. Сторона основания: $$a = 2r = 2 \cdot 3 = 6$$.

2. Объём параллелепипеда: $$V = a^2 \cdot h$$.

3. Высота цилиндра: $$h = \frac{V}{a^2} = \frac{36}{6^2} = \frac{36}{36} = 1$$.

1. Дано: $$h = r$$. Образующая конуса: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = r\sqrt{2}$$.

2. Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{кон} = \pi r^2 \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$. Отсюда $$\pi r^2 = 7$$.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S_{цил} = 2\pi r^2 = 2 \cdot 7 = 14$$.

1. Дано: $$h = r$$. Образующая конуса: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = r\sqrt{2}$$.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S_{цил} = 2\pi r^2 = 11\sqrt{2}$$. Отсюда $$\pi r^2 = \frac{11\sqrt{2}}{2}$$.

3. Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{кон} = \pi r^2 \sqrt{2} = \frac{11\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 11$$.

1. Формулы объёмов: $$V_{цил} = \pi r^2 h$$, $$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$.

2. Отношение объёмов: $$V_{цил} = 3 \cdot V_{кон}$$.

3. Находим объём цилиндра: $$V_{цил} = 3 \cdot 36 = 108$$.

1. Формулы объёмов: $$V_{цил} = \pi r^2 h$$, $$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$.

2. Поскольку у конуса и цилиндра общее основание и высота: $$V_{кон} = \frac{1}{3} V_{цил}$$.

3. Находим объём конуса: $$V_{кон} = \frac{162}{3} = 54$$.