Задачи на проценты, сплавы и смеси

1. Пусть начальная цена $$P$$, изменение на $$x\%$$ (в долях $$a = x/100$$).

2. После понедельника: $$P(1 + a)$$.

3. После вторника: $$P(1 + a)(1 - a) = P(1 - a^2)$$.

4. По условию цена упала на $$1\%$$, то есть стала $$0,99P$$.

5. $$1 - a^2 = 0,99 \Rightarrow a^2 = 0,01 \Rightarrow a = 0,1$$.

6. Значит, акции подорожали на $$10\%$$.

Ответ: $$10$$

1. Найдём количество вещества в исходном растворе: $$10 \cdot 0,14 = 1,4$$ л.

2. Общий объём нового раствора: $$10 + 4 = 14$$ л.

3. Концентрация: $$\frac{1,4}{14} \cdot 100\% = 10\%$$.

Ответ: $$10$$

1. Пусть куртка стоит $$C$$, а рубашка $$R$$.

2. По условию: $$8R = 0,96C \Rightarrow R = 0,12C$$.

3. Стоимость $$11$$ рубашек: $$11R = 11 \cdot 0,12C = 1,32C$$.

4. Это на $$32\%$$ больше стоимости куртки.

Ответ: $$32$$

1. Сухое вещество в винограде: $$100\% - 82\% = 18\%$$.

2. Сухое вещество в изюме: $$100\% - 19\% = 81\%$$.

3. Масса сухого вещества в $$38$$ кг изюма: $$38 \cdot 0,81 = 30,78$$ кг.

4. Пусть масса винограда $$x$$ кг. Тогда $$0,18x = 30,78$$.

5. $$x = 171$$ кг.

Ответ: $$171$$

1. При смешивании равных масс: $$\frac{p_1 + p_2}{2} = 77\% \Rightarrow p_1 + p_2 = 154\% \Rightarrow p_2 = 154 - p_1$$.

2. Уравнение для смешивания всех растворов: $$100p_1 + 20p_2 = (100 + 20) \cdot 67$$.

3. Подставляем: $$100p_1 + 20(154 - p_1) = 120 \cdot 67$$.

4. $$100p_1 + 3080 - 20p_1 = 8040 \Rightarrow 80p_1 = 4960 \Rightarrow p_1 = 62\%$$.

5. Масса кислоты в первом сосуде: $$100 \cdot 0,62 = 62$$ кг.

Ответ: $$62$$

1. При смешивании равных масс: $$\frac{p_1 + p_2}{2} = 36\% \Rightarrow p_1 + p_2 = 72\% \Rightarrow p_2 = 72 - p_1$$.

2. Уравнение для смешивания всех растворов: $$40p_1 + 25p_2 = (40 + 25) \cdot 30$$.

3. Подставляем: $$40p_1 + 25(72 - p_1) = 65 \cdot 30$$.

4. $$40p_1 + 1800 - 25p_1 = 1950 \Rightarrow 15p_1 = 150 \Rightarrow p_1 = 10$$.

Ответ: $$10$$

1. Пусть масса первого сплава $$x$$ кг, второго — $$y$$ кг.

2. Система уравнений: $$\begin{cases} x + y = 175 \\ 0,1x + 0,35y = 0,25 \cdot 175 \end{cases}$$

3. Из первого уравнения $$x = 175 - y$$. Подставляем во второе: $$0,1(175 - y) + 0,35y = 43,75$$.

4. $$17,5 - 0,1y + 0,35y = 43,75 \Rightarrow 0,25y = 26,25 \Rightarrow y = 105$$.

5. Тогда $$x = 175 - 105 = 70$$.

6. Разница масс: $$105 - 70 = 35$$ кг.

Ответ: $$35$$

1. Пусть масса второго сплава $$x$$ кг, тогда масса первого $$(x + 10)$$ кг.

2. Масса меди в первом: $$0,40(x + 10)$$.

3. Масса меди во втором: $$0,25x$$.

4. Масса третьего сплава: $$2x + 10$$. Масса меди в нем: $$0,35(2x + 10)$$.

5. Уравнение: $$0,40(x + 10) + 0,25x = 0,35(2x + 10)$$.

6. $$0,40x + 4 + 0,25x = 0,70x + 3,5 \Rightarrow 0,65x + 4 = 0,70x + 3,5 \Rightarrow 0,05x = 0,5 \Rightarrow x = 10$$.

7. Масса третьего сплава: $$2 \cdot 10 + 10 = 30$$ кг.

Ответ: $$30$$

1. Пусть масса первого сплава $$x$$ кг, тогда масса второго $$(x + 8)$$ кг.

2. Масса меди в первом сплаве: $$0,05x$$, во втором: $$0,11(x + 8)$$.

3. Масса третьего сплава: $$x + x + 8 = 2x + 8$$ кг. Масса меди в нем: $$0,10(2x + 8)$$.

4. Уравнение: $$0,05x + 0,11(x + 8) = 0,10(2x + 8)$$.

5. Раскрываем скобки: $$0,05x + 0,11x + 0,88 = 0,20x + 0,80$$.

6. $$0,16x + 0,88 = 0,20x + 0,80 \Rightarrow 0,04x = 0,08 \Rightarrow x = 2$$.

7. Масса третьего сплава: $$2 \cdot 2 + 8 = 12$$ кг.

Ответ: $$12$$

Если в свежих фруктах содержится 80% воды, тогда 20% - сухая масса, которая переходит в сушеные фрукты. Тогда: 228 кг - 100% x кг - 20% $$x=\frac{228*20}{100}$$ кг - сухой массы. В сухофруктах 28% воды, следовательно, 72% сухой массы, тогда: $$x=\frac{228*20}{100}$$ кг - 72% у - 100% $$y=\frac{\frac{228*20}{100}*100}{72}=80$$ кг - масса сухофруктов

В сушенных 30% воды, следовательно, 70% (х) - сухой массы, тогда: 6 кг - 100% x кг - 70% $$x=\frac{70*6}{100}$$ кг - сухая масса, именно она перешла из свежих фруктов, но, с учетом того, что воды в них 88%, то сухая масса составляет 12%, тогда: $$x=\frac{70*6}{100}$$ ru - 12% y кг - 100% $$y=\frac{\frac{70*6}{100}*100}{12}=35$$ кг - масса свежих фркутов

1. Пусть доход мужа $$M$$, жены $$W$$, дочери $$D$$. Общий доход $$S = M + W + D$$.

2. Увеличение мужа вдвое дает рост на $$53\%$$: $$M = 0,53S$$.

3. Уменьшение стипендии в $$4$$ раза (то есть на $$\frac{3}{4}$$ от $$D$$) дает снижение на $$3\%$$: $$\frac{3}{4}D = 0,03S \Rightarrow D = 0,04S$$.

4. Зарплата жены: $$W = S - M - D = S - 0,53S - 0,04S = 0,43S$$.

5. Это составляет $$43\%$$.

Ответ: $$43$$

1. Пусть масса $$11\%$$ раствора $$x$$ кг, $$72\%$$ — $$y$$ кг.

2. Первая ситуация (с водой): $$0,11x + 0,72y = 0,31(x + y + 10)$$.

3. Вторая ситуация (с $$50\%$$ раствором): $$0,11x + 0,72y + 0,5 \cdot 10 = 0,51(x + y + 10)$$.

4. Вычтем первое уравнение из второго: $$5 = 0,2(x + y + 10) \Rightarrow x + y + 10 = 25 \Rightarrow x + y = 15$$.

5. Подставим $$y = 15 - x$$ в первое уравнение: $$0,11x + 0,72(15 - x) = 0,31 \cdot 25$$.

6. $$0,11x + 10,8 - 0,72x = 7,75 \Rightarrow -0,61x = -3,05 \Rightarrow x = 5$$.

Ответ: $$5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1. Пусть масса каждого раствора равна $$m$$.

2. Масса вещества в первом растворе: $$0,11m$$, во втором: $$0,15m$$.

3. Общая масса вещества: $$0,11m + 0,15m = 0,26m$$.

4. Общая масса раствора: $$2m$$.

5. Концентрация: $$\frac{0,26m}{2m} \cdot 100\% = 13\%$$.

Ответ: $$13$$