Конус

1. Жидкость образует конус, подобный сосуду с коэффициентом $$k = \frac{3}{4}$$.

2. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента: $$\frac{V_{жидк}}{V_{сосуда}} = k^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$$.

3. Полный объём сосуда: $$V_{сосуда} = 270 \cdot \frac{64}{27} = 640$$ мл.

4. Нужно долить: $$640 - 270 = 370$$ мл.

1. Объём конуса вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$.

2. При увеличении радиуса в $$k$$ раз объём увеличивается в $$k^2$$ раз.

3. Объём увеличится в $$8^2 = 64$$ раза.

1. Объём конуса вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$.

2. При уменьшении высоты в $$k$$ раз объём уменьшается в $$k$$ раз.

3. Объём уменьшится в $$4$$ раза.

1. По теореме Пифагора находим радиус: $$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$$.

2. Диаметр основания: $$d = 2r = 42$$.

3. Площадь осевого сечения: $$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 20 = 420$$.

1. Высота $$h$$, радиус $$r$$ и образующая $$l$$ образуют прямоугольный треугольник.

2. По теореме Пифагора: $$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{58^2 - 42^2} = \sqrt{3364 - 1764} = \sqrt{1600} = 40$$.

3. Диаметр основания: $$d = 2r = 2 \cdot 40 = 80$$.

1. Радиус основания: $$r = \frac{d}{2} = \frac{48}{2} = 24$$.

2. Высота $$h$$, радиус $$r$$ и образующая $$l$$ образуют прямоугольный треугольник.

3. По теореме Пифагора: $$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{45^2 + 24^2} = \sqrt{2025 + 576} = \sqrt{2601} = 51$$.

1. Радиус основания: $$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$$.

2. Высота $$h$$, радиус $$r$$ и образующая $$l$$ образуют прямоугольный треугольник.

3. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$.

1. Радиус основания: $$r = \frac{d}{2} = \frac{140}{2} = 70$$.

2. По теореме Пифагора находим высоту: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{74^2 - 70^2} = \sqrt{5476 - 4900} = \sqrt{576} = 24$$.

3. Осевое сечение конуса — треугольник с основанием $$d$$ и высотой $$h$$.

4. Площадь осевого сечения: $$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 140 \cdot 24 = 1680$$.

1. Из площади основания находим радиус: $$\pi r^2 = 4\pi$$, откуда $$r = 2$$.

2. Диаметр основания: $$d = 2r = 4$$.

3. Площадь осевого сечения: $$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$$.

1. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию.

2. Высота от вершины до сечения: $$h_1 = 6$$.

3. Полная высота конуса: $$H = 6 + 12 = 18$$.

4. Коэффициент подобия: $$k = \frac{h_1}{H} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$.

5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$.

6. Площадь сечения: $$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \frac{1}{9} = 72 \cdot \frac{1}{9} = 8$$.

1. Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом $$k = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$$.

2. Площади поверхностей: $$\frac{S_{отс}}{S_{полн}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$$.

3. Площадь поверхности отсечённого конуса: $$S_{отс} = 35 \cdot \frac{9}{25} = 12,6$$.