Векторы

Используем формулу скалярного произведения через координаты:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$$

Подставим координаты:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = (-3) \cdot 1 + 5 \cdot 13$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = -3 + 65 = 62$$

Найдём координаты вектора $$\vec{a}+3\vec{b}$$:

$$3\vec{b} = 3(1;4) = (3;12)$$

$$\vec{a} + 3\vec{b} = (2;0) + (3;12) = (5; 12)$$

Найдём длину вектора:

$$|\vec{a}+3\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Используем формулу скалярного произведения:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$$

Подставим известные значения ($$\cos 60° = 0,5$$):

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3 \cdot 5 \cdot 0,5$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = 15 \cdot 0,5 = 7,5$$

Определим координаты векторов по рисунку:

$$\vec{a}$$: от точки $$(1; 3)$$ до точки $$(3; 1)$$, значит $$\vec{a} = (3-1; 1-3) = (2; -2)$$

$$\vec{b}$$: от точки $$(4; 1)$$ до точки $$(6; 6)$$, значит $$\vec{b} = (6-4; 6-1) = (2; 5)$$

Найдём координаты вектора $$\vec{a}+2\vec{b}$$:

$$2\vec{b} = 2(2; 5) = (4; 10)$$

$$\vec{a} + 2\vec{b} = (2; -2) + (4; 10) = (6; 8)$$

Найдём длину вектора:

$$|\vec{a}+2\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Определим координаты векторов по рисунку:

$$\vec{a}$$: от точки $$(1; 2)$$ до точки $$(6; 6)$$, значит $$\vec{a} = (6-1; 6-2) = (5; 4)$$

$$\vec{b}$$: от точки $$(1; 1)$$ до точки $$(7; 2)$$, значит $$\vec{b} = (7-1; 2-1) = (6; 1)$$

Найдём скалярное произведение:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = 5 \cdot 6 + 4 \cdot 1 = 30 + 4 = 34$$