Задачи на прогрессии

1. Производительность Тани: $$\frac{1}{36}$$ грядки в минуту.

2. Совместная производительность Ани и Тани: $$\frac{1}{24}$$ грядки в минуту.

3. Производительность Ани: $$\frac{1}{24} - \frac{1}{36} = \frac{3}{72} - \frac{2}{72} = \frac{1}{72}$$ грядки в минуту.

4. Время работы одной Ани: $$72$$ минуты.

Ответ: $$72$$

Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ часов. Первая труба заполняет бассейн за  40 часов, а обе за $$18+\frac{40}{60}=18+\frac{2}{3}=\frac{56}{3}$$ часа. Условно примем объем резервуара за 1. Тогда первая труба будет наполнять его со скоростью $$\frac{1}{x}$$, а вторая со скоростью $$\frac{1}{40}$$. И так как обе трубы заполняют этот резервуар за $$\frac{56}{54}$$ часа, то можно записать уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{40}=\frac{3}{56}$$

откуда

$$\frac{1}{x}=\frac{3}{56}-\frac{1}{40}=\frac{15-7}{280}=\frac{8}{280}=\frac{1}{35}$$

$$x=35$$

1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 6)$$ деталей в час.

2. Время выполнения заказа вторым: $$\frac{247}{x}$$ ч, первым: $$\frac{247}{x + 6}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{247}{x} - \frac{247}{x + 6} = 6$$.

4. Умножаем на $$x(x + 6)$$: $$247(x + 6) - 247x = 6x(x + 6)$$.

5. $$1482 = 6x^2 + 36x \Rightarrow x^2 + 6x - 247 = 0$$.

6. Дискриминант: $$36 + 988 = 1024 = 32^2$$. $$x = \frac{-6 + 32}{2} = 13$$.

Ответ: $$13$$

1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 3)$$ деталей в час.

2. Время выполнения заказа вторым: $$\frac{88}{x}$$ ч, первым: $$\frac{88}{x + 3}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{88}{x} - \frac{88}{x + 3} = 3$$.

4. Умножаем на $$x(x + 3)$$: $$88(x + 3) - 88x = 3x(x + 3)$$.

5. $$264 = 3x^2 + 9x \Rightarrow x^2 + 3x - 88 = 0$$.

6. Дискриминант: $$9 + 352 = 361 = 19^2$$. $$x = \frac{-3 + 19}{2} = 8$$.

7. Производительность первого рабочего: $$8 + 3 = 11$$ деталей в час.

Ответ: $$11$$

1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 2)$$ деталей в час.

2. Время изготовления $$80$$ деталей вторым: $$\frac{80}{x}$$ ч, $$60$$ деталей первым: $$\frac{60}{x + 2}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{80}{x} - \frac{60}{x + 2} = 4$$.

4. Умножаем на $$x(x + 2)$$: $$80(x + 2) - 60x = 4x(x + 2)$$.

5. $$80x + 160 - 60x = 4x^2 + 8x \Rightarrow 20x + 160 = 4x^2 + 8x$$.

6. $$4x^2 - 12x - 160 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 40 = 0$$.

7. Дискриминант: $$9 + 160 = 169 = 13^2$$. $$x = \frac{3 + 13}{2} = 8$$.

Ответ: $$8$$

1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 4)$$ деталей в час.

2. Время изготовления $$725$$ деталей вторым: $$\frac{725}{x}$$ ч, $$696$$ деталей первым: $$\frac{696}{x + 4}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{725}{x} - \frac{696}{x + 4} = 5$$.

4. Умножаем на $$x(x + 4)$$: $$725(x + 4) - 696x = 5x(x + 4)$$.

5. $$725x + 2900 - 696x = 5x^2 + 20x \Rightarrow 29x + 2900 = 5x^2 + 20x$$.

6. $$5x^2 - 9x - 2900 = 0$$.

7. Дискриминант: $$81 + 58000 = 58081 = 241^2$$. $$x = \frac{9 + 241}{10} = 25$$.

8. Производительность первого рабочего: $$25 + 4 = 29$$ деталей в час.

Ответ: $$29$$

1. Производительность первого мастера: $$\frac{1}{36}$$ заказа в час.

2. Производительность второго мастера: $$\frac{1}{12}$$ заказа в час.

3. Совместная производительность: $$\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$ заказа в час.

4. Время выполнения заказа вместе: $$9$$ часов.

Ответ: $$9$$

1. Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая за $$(x + 13)$$ минут.

2. Производительность второй: $$\frac{1}{x}$$, первой: $$\frac{1}{x + 13}$$.

3. Совместная производительность: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 13} = \frac{1}{42}$$.

4. Умножаем на $$42x(x + 13)$$: $$42(x + 13) + 42x = x(x + 13)$$.

5. $$42x + 546 + 42x = x^2 + 13x \Rightarrow x^2 - 71x - 546 = 0$$.

6. Дискриминант: $$5041 + 2184 = 7225 = 85^2$$. $$x = \frac{71 + 85}{2} = 78$$.

Ответ: $$78$$

1. Пусть вторая труба пропускает $$x$$ л/мин, тогда первая $$(x - 6)$$ л/мин.

2. Время заполнения резервуара первой трубой: $$\frac{112}{x - 6}$$ мин, второй: $$\frac{112}{x}$$ мин.

3. Уравнение: $$\frac{112}{x - 6} - \frac{112}{x} = 6$$.

4. Умножаем на $$x(x - 6)$$: $$112x - 112(x - 6) = 6x(x - 6)$$.

5. $$672 = 6x^2 - 36x \Rightarrow x^2 - 6x - 112 = 0$$.

6. Дискриминант: $$36 + 448 = 484 = 22^2$$. $$x = \frac{6 + 22}{2} = 14$$.

Ответ: $$14$$

1. Пусть первая труба пропускает $$x$$ л/мин, тогда вторая $$(x + 8)$$ л/мин.

2. Время заполнения резервуара первой трубой: $$\frac{180}{x}$$ мин, второй: $$\frac{180}{x + 8}$$ мин.

3. Уравнение: $$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 8} = 8$$.

4. Умножаем на $$x(x + 8)$$: $$180(x + 8) - 180x = 8x(x + 8)$$.

5. $$1440 = 8x^2 + 64x \Rightarrow x^2 + 8x - 180 = 0$$.

6. Дискриминант: $$64 + 720 = 784 = 28^2$$. $$x = \frac{-8 + 28}{2} = 10$$.

Ответ: $$10$$

1. Время третьего насоса: $$1$$ ч $$24$$ мин = $$84$$ мин.

2. Производительность первого: $$\frac{1}{12}$$, второго: $$\frac{1}{14}$$, третьего: $$\frac{1}{84}$$ бака в минуту.

3. Совместная производительность: $$\frac{1}{12} + \frac{1}{14} + \frac{1}{84}$$.

4. НОК$$(12, 14, 84) = 84$$.

5. $$\frac{7}{84} + \frac{6}{84} + \frac{1}{84} = \frac{14}{84} = \frac{1}{6}$$ бака в минуту.

6. Время наполнения бака: $$6$$ минут.

Ответ: $$6$$