Призма

1. Прямая $$BB_{1}$$ параллельна прямой $$CC_{1}$$. Искомый угол равен углу между $$CC_{1}$$ и $$AC_{1}$$.

2. Боковая грань $$ACC_{1}A_{1}$$ — квадрат, так как все рёбра равны.

3. $$AC_{1}$$ — диагональ квадрата, $$CC_{1}$$ — его сторона. Угол между диагональю и стороной квадрата равен $$45^{\circ}$$.

1. Прямая $$D_{1}E_{1}$$ параллельна прямой $$DE$$. Искомый угол равен углу между $$FA$$ и $$DE$$.

2. В правильном шестиугольнике $$FA \parallel CD$$. Угол между $$CD$$ и $$DE$$ равен $$120^{\circ}$$.

3. Острый угол между прямыми равен $$180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$.

1. Объём всей призмы: $$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 7 \cdot 9 = 63$$.

2. Многогранник $$ACA_{1}B_{1}C_{1}$$ составляет $$\frac{2}{3}$$ от объёма призмы.

3. Объём многогранника: $$V = \frac{2}{3} \cdot 63 = 42$$.

1. Многогранник $$A_{1}B_{1}F_{1}A$$ — пирамида с основанием $$A_{1}B_{1}F_{1}$$ и вершиной $$A$$.

2. Треугольник $$A_{1}B_{1}F_{1}$$ занимает $$\frac{1}{6}$$ площади правильного шестиугольника.

3. Площадь основания пирамиды: $$S_{осн} = \frac{12}{6} = 2$$.

4. Высота пирамиды: $$h = 15$$.

5. Объём: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 15 = 10$$.

1. Многогранник $$ABC C_{1}$$ — пирамида с основанием $$ABC$$ и вершиной $$C_{1}$$.

2. Площадь основания пирамиды: $$S_{осн} = 7$$.

3. Высота пирамиды равна боковому ребру призмы: $$h = 9$$.

4. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 7 \cdot 9 = 21$$.

1. Многогранник $$ABDEA_{1}B_{1}D_{1}E_{1}$$ — четырёхугольная призма с основаниями $$ABDE$$ и $$A_{1}B_{1}D_{1}E_{1}$$.

2. Четырёхугольник $$ABDE$$ занимает $$\frac{2}{3}$$ площади правильного шестиугольника.

3. Объём: $$V = \frac{2}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot 7 \cdot 15 = 70$$.

1. Объём всей призмы: $$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 8 \cdot 6 = 48$$.

2. Многогранник $$ACA_{1}B_{1}$$ остаётся после отсечения двух пирамид, нижней пирамиды с вершинами $$A, B, C, B_{1}$$ и верхней пирамиды с вершинами $$A_{1}, B_{1}, C_{1}, B$$, каждая из которых составляет $$\frac{1}{3}$$ объёма призмы.

3. Объём многогранника: $$V = \frac{1}{3} V_{призмы} = \frac{48}{3} = 16$$.

1. Многогранник $$ABFA_{1}B_{1}F_{1}$$ — треугольная призма с основаниями $$ABF$$ и $$A_{1}B_{1}F_{1}$$.

2. Треугольник $$ABF$$ занимает $$\frac{1}{6}$$ площади правильного шестиугольника.

3. Объём: $$V = \frac{1}{6} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{6} \cdot 8 \cdot 15 = 20$$.

1. Многогранник $$FA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ — пирамида с основанием $$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ и вершиной $$F$$.

2. Площадь основания пирамиды: $$S_{осн} = 4$$.

3. Высота пирамиды: $$h = 3$$.

4. Объём: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 4$$.

1. Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 = 14$$.

2. Объём призмы: $$V = S_{осн} \cdot h$$, где $$h$$ — боковое ребро.

3. Находим высоту: $$h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{56}{14} = 4$$.

1. Площадь основания: $$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 = 7$$.

2. Объём призмы: $$V = S \cdot h = 7 \cdot 6 = 42$$.

1. Боковая поверхность призмы: $$S = P \cdot h$$, где $$P$$ — периметр основания, $$h$$ — высота.

2. Средняя линия треугольника делит стороны пополам, поэтому периметр основания отсечённой призмы равен $$\frac{P}{2}$$.

3. Высота остаётся той же $$h$$.

4. Боковая поверхность отсечённой призмы: $$S_{отс} = \frac{P}{2} \cdot h = \frac{S}{2} = \frac{75}{2} = 37,5$$.

1. Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $$\frac{1}{2}$$.

2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$.

3. Высота отсечённой призмы равна высоте исходной, поэтому объёмы относятся как площади оснований: $$\frac{V_{отс}}{V_{исх}} = \frac{1}{4}$$.

4. Объём исходной призмы: $$V_{исх} = 4 \cdot V_{отс} = 4 \cdot 7 = 28$$.

1. Боковая поверхность отсечённой призмы: $$S_{отс} = \frac{P}{2} \cdot h$$.

2. Боковая поверхность исходной призмы: $$S = P \cdot h$$.

3. Отсюда $$S = 2 \cdot S_{отс} = 2 \cdot 43 = 86$$.

1. Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $$\frac{1}{2}$$.

2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$.

3. Высота отсечённой призмы равна высоте исходной.

4. Объёмы призм с одинаковой высотой относятся как площади оснований: $$\frac{V_{отс}}{V_{исх}} = \frac{1}{4}$$.

5. Находим объём: $$V_{отс} = \frac{48}{4} = 12$$.