Показательные уравнения

Представим правую часть как степень с основанием $$\frac{1}{2}$$:

$$\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6$$

Получаем:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-6} = \left(\frac{1}{2}\right)^6$$

Приравняем показатели степеней:

$$x - 6 = 6$$

Прибавим к обеим частям $$6$$:

$$x = 12$$

Представим левую часть как степень с основанием $$9$$:

$$\frac{1}{9} = 9^{-1}$$

Получаем:

$$(9^{-1})^{x-7} = 9^x$$

Применим свойство степени $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

$$9^{-(x-7)} = 9^x$$

Приравняем показатели степеней:

$$-(x - 7) = x$$

Раскроем скобки:

$$-x + 7 = x$$

Прибавим к обеим частям $$x$$:

$$7 = 2x$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x = 3,5$$

Представим обе части как степени с основанием $$9$$:

$$(9^{-1})^{x+9} = (9^2)^x$$

$$9^{-(x+9)} = 9^{2x}$$

Приравняем показатели степеней:

$$-(x + 9) = 2x$$

Раскроем скобки:

$$-x - 9 = 2x$$

Прибавим к обеим частям $$x$$:

$$-9 = 3x$$

Разделим обе части на $$3$$:

$$x = -3$$

Представим правую часть как степень с основанием $$2$$:

$$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$

Получаем:

$$2^{x-3} = 2^{-3}$$

Приравняем показатели степеней:

$$x - 3 = -3$$

Прибавим к обеим частям $$3$$:

$$x = 0$$

Представим $$49$$ как $$7^2$$:

$$7^{1+2x} = (7^2)^{2x}$$

Применим свойство степени $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

$$7^{1+2x} = 7^{4x}$$

Приравняем показатели степеней:

$$1 + 2x = 4x$$

Вычтем из обеих частей $$2x$$:

$$1 = 2x$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x = 0,5$$

Представим обе части как степени с основанием $$3$$:

$$(3^2)^{x-6} = 3^4$$

$$3^{2(x-6)} = 3^4$$

Приравняем показатели степеней:

$$2(x - 6) = 4$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x - 6 = 2$$

Прибавим к обеим частям $$6$$:

$$x = 8$$