Сложные задачи на вероятность
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 7392
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $$0,01$$. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $$0,94$$. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $$0,04$$. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
1. $$P = 0,01 \cdot 0,94 + 0,99 \cdot 0,04 = 0,0094 + 0,0396 = 0,049$$.
Задание 7390
В коробке $$5$$ синих, $$9$$ красных и $$11$$ зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
1. Всего: $$5 + 9 + 11 = 25$$.
2. $$C_{25}^2 = 300$$.
3. Благоприятных: $$5 \cdot 9 = 45$$.
4. $$P = \frac{45}{300} = 0,15$$.
Задание 7343
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна $$0,2$$. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна $$0,05$$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
1. $$P(A \cup B) = 0,2 + 0,2 - 0,05 = 0,35$$.
2. $$P(\text{останется в обоих}) = 1 - 0,35 = 0,65$$.
Задание 7325
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже $$36,8°C$$, равна $$0,87$$. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется $$36,8°C$$ или выше.
1. События противоположны, их сумма равна $$1$$.
2. Искомая вероятность: $$P = 1 - 0,87 = 0,13$$.
Задание 7331
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше $$11$$ задач, равна $$0,66$$. Вероятность того, что А. верно решит больше $$10$$ задач, равна $$0,76$$. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно $$11$$ задач.
1. $$P(\text{ровно 11}) = P(>10) - P(>11)$$.
2. Вычисляем: $$P = 0,76 - 0,66 = 0,1$$.
Задание 7333
Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна $$0,94$$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $$0,87$$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше 2-х лет, но больше года.
1. Событие «больше года» включает «больше двух лет» и «от 1 до 2 лет».
2. $$P(1-2 \text{ года}) = P(>1) - P(>2)$$.
3. Вычисляем: $$P = 0,94 - 0,87 = 0,07$$.
Задание 7350
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью $$0,6$$. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $$0,45$$. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
1. $$P = 0,6 \cdot 0,45 = 0,27$$.
Задание 7348
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна $$10$$».
1. Всего исходов без шестёрок: $$25$$.
2. Сумму $$10$$ без шестёрок дают: $$(5;5)$$ — $$1$$ исход.
3. $$P = \frac{1}{25} = 0,04$$.
Задание 7336
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $$20$$ пассажиров, равна $$0,79$$. Вероятность того, что окажется меньше $$11$$ пассажиров, равна $$0,61$$. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $$11$$ до $$19$$ включительно.
1. $$P(11-19) = P(<20) - P(<11)$$.
2. Вычисляем: $$P = 0,79 - 0,61 = 0,18$$.
Задание 7324
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Площадь», равна $$0,45$$. Вероятность того, что это вопрос на тему «Углы», равна $$0,45$$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
1. События несовместны: $$P = P(A) + P(B)$$.
2. Вычисляем: $$P = 0,45 + 0,45 = 0,9$$.
Задание 7360
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $$0,6$$. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
1. $$P(\text{все перегорят}) = 0,6^3 = 0,216$$.
2. $$P = 1 - 0,216 = 0,784$$.
Задание 7340
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше $$805$$ г, равна $$0,95$$. Вероятность того, что масса окажется больше $$795$$ г, равна $$0,81$$. Найдите вероятность того, что масса буханки больше $$795$$ г, но меньше $$805$$ г.
1. $$P(795-805) = P(<805) + P(>795) - 1$$.
2. Вычисляем: $$P = 0,95 + 0,81 - 1 = 0,76$$.
Задание 7377
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $$0,4$$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше $$0,7$$?
1. $$1 - 0,6^n \geq 0,7$$, откуда $$0,6^n \leq 0,3$$.
2. При $$n=2$$: $$0,36 > 0,3$$. При $$n=3$$: $$0,216 \leq 0,3$$.
3. Ответ: $$3$$ патрона.
Задание 7355
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $$0,6$$. Найдите вероятность того, что стрелок в первые три мишени попадёт и не попадёт в последнюю.
1. $$P = 0,6^3 \cdot 0,4 = 0,216 \cdot 0,4 = 0,0864$$.
Задание 7368
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $$4$$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $$3$$ очка, в случае ничьей – $$1$$ очко, если проигрывает – $$0$$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $$0,1$$.
1. $$P(\text{выигрыш}) = 0,1$$, $$P(\text{проигрыш}) = 0,1$$, $$P(\text{ничья}) = 0,8$$.
2. $$P(\text{2 победы}) = 0,1^2 = 0,01$$.
3. $$P(\text{победа + ничья}) = 2 \cdot 0,1 \cdot 0,8 = 0,16$$.
4. Итого: $$P = 0,01 + 0,16 = 0,17$$.