ЕГЭ (профиль) / Задачи с прикладным содержанием

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$a=3000$$ км/ч². Скорость $$v$$ (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=\sqrt{2la}$$, где $$l$$ – пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 60 км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$a$$ (в км/ч²). Скорость $$v$$ (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=\sqrt{2la}$$, где $$l$$ – пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $$0,4$$ км, приобрести скорость $$80$$ км/ч.

Автомобиль, движущийся со скоростью $$v_0=24$$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $$a=3$$ м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь $$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$$ (м). Определите время, если за это время автомобиль проехал 90 метров.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $$H(t)=at^2+bt+H_0$$, где $$H_0=2,5$$ м – начальный уровень воды, $$a=\frac{1}{160}$$ м/мин² и $$b=-\frac{1}{4}$$ м/мин – постоянные, $$t$$ – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $$R_1=36$$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого $$R_2$$ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $$R_1$$ и $$R_2$$ их общее сопротивление вычисляется по формуле $$R_{общ}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление $$R_2$$ электрообогревателя.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $$m$$ (в мг) уменьшается по закону $$m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$, где $$m_0$$ (мг) – начальная масса изотопа, $$t$$ (мин.) – время, прошедшее от начального момента, $$T$$ (мин.) – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $$m_0=160$$ мг. Период его полураспада $$T=8$$ мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна $$5$$ мг?

Водолазный колокол, содержащий $$\nu=5$$ моль воздуха при давлении $$p_1=2,3$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $$p_2$$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A=\alpha\nu T\log_2\frac{p_2}{p_1}$$, где $$\alpha=15,6$$ Дж/(моль·К) – постоянная, $$T=300$$ К – температура воздуха. Найдите, какое давление $$p_2$$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $$23400$$ Дж.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $$\nu=2$$ моль воздуха объёмом $$V_1=120$$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $$V_2$$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $$A=\alpha\nu T\log_2\frac{V_1}{V_2}$$, где $$\alpha=8,7$$ Дж/(моль·К) – постоянная, $$T=300$$ К – температура воздуха. Найдите, какой объём $$V_2$$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $$10440$$ Дж.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t)=2+11t-5t^2$$, где $$h$$ – высота в метрах, $$t$$ – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Груз массой $$0,5$$ кг колеблется на пружине. Его скорость $$v$$ (в м/с) меняется по закону $$v=v_0\sin\frac{2\pi t}{T}$$, где $$t$$ – время с момента начала колебаний в секундах, $$T=27$$ с – период колебаний, $$v_0=0,8$$ м/с. Кинетическая энергия $$E$$ (в Дж) груза вычисляется по формуле $$E=\frac{mv^2}{2}$$, где $$m$$ – масса груза (в кг), $$v$$ – скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через $$9$$ секунд после начала колебаний.

Два тела, массой $$m=2$$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $$v=8$$ м/с под углом $$2\alpha$$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $$Q=mv^2\sin^2\alpha$$, где $$m$$ – масса (в кг), $$v$$ – скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $$2\alpha$$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная $$32$$ Дж.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: $$T(t)=T_0+bt+at^2$$, где $$t$$ – время (в мин.), $$T_0=1450$$ К, $$a=-30$$ К/мин², $$b=180$$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $$T_п=25$$ °C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой $$T_в=89$$ °C. Расход проходящей через трубу радиатора воды $$m=0,2$$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $$x$$, вода охлаждается от начальной температуры $$T$$ (°C), причём $$x=\alpha\cdot\frac{cm}{\gamma}\cdot\log_2\frac{T_в-T_п}{T-T_п}$$, где $$c=4200$$ Вт·с/(кг·°C) – теплоёмкость воды, $$\gamma=63$$ Вт/(м²·°C) – коэффициент теплообмена, $$\alpha=1,9$$ – постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $$76$$ м.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения $$P$$ (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: $$P=\sigma ST^4$$, где $$\sigma=5,7\cdot 10^{-8}$$ Вт/(м²·К⁴) – постоянная, площадь поверхности $$S$$ измеряется в квадратных метрах, а температура $$T$$ – в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности $$S=\frac{1}{18}\cdot 10^{21}$$ м², а излучаемая ею мощность $$P$$ равна $$4,104\cdot 10^{27}$$ Вт. Определите температуру этой звезды.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $$f=20$$ см. Расстояние $$d_1$$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 см до 40 см, а расстояние $$d_2$$ от линзы до экрана – в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким.