Стереометрия

1. Формула площади боковой поверхности цилиндра: $$S_{бок} = \pi d h$$.

2. Подставляем значения: $$12\pi = \pi \cdot 6 \cdot h$$.

3. Находим высоту: $$h = \frac{12\pi}{6\pi} = 2$$.

1. Формула площади боковой поверхности цилиндра: $$S_{бок} = \pi d h$$.

2. Подставляем значения: $$20\pi = \pi \cdot d \cdot 4$$.

3. Находим диаметр: $$d = \frac{20\pi}{4\pi} = 5$$.

1. Из площади основания находим радиус: $$\pi r^2 = 4\pi$$, откуда $$r = 2$$.

2. Диаметр основания: $$d = 2r = 4$$.

3. Площадь осевого сечения: $$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$$.

1. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию.

2. Высота от вершины до сечения: $$h_1 = 6$$.

3. Полная высота конуса: $$H = 6 + 12 = 18$$.

4. Коэффициент подобия: $$k = \frac{h_1}{H} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$.

5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$.

6. Площадь сечения: $$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \frac{1}{9} = 72 \cdot \frac{1}{9} = 8$$.

1. Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом $$k = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$$.

2. Площади поверхностей: $$\frac{S_{отс}}{S_{полн}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$$.

3. Площадь поверхности отсечённого конуса: $$S_{отс} = 35 \cdot \frac{9}{25} = 12,6$$.

1. Если параллелепипед описан около сферы, то это куб с ребром, равным диаметру сферы: $$a = 2r = 2 \cdot 8,5 = 17$$.

2. Объём параллелепипеда: $$V = a^3 = 17^3 = 4913$$.

1. Сторона основания: $$a = 2r = 2 \cdot 2 = 4$$.

2. Высота параллелепипеда: $$h = 2$$.

3. Объём: $$V = a^2 \cdot h = 4^2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$$.

1. Сторона основания: $$a = 2r = 2 \cdot 3 = 6$$.

2. Объём параллелепипеда: $$V = a^2 \cdot h$$.

3. Высота цилиндра: $$h = \frac{V}{a^2} = \frac{36}{6^2} = \frac{36}{36} = 1$$.

1. Площадь поверхности шара: $$S = 4\pi r^2$$.

2. Сумма площадей: $$S_{сумм} = 4\pi(9^2 + 12^2) = 4\pi(81 + 144) = 4\pi \cdot 225$$.

3. Для нового шара: $$r^2 = 225 \implies r = 15$$.

1. Дано: $$h = r$$. Образующая конуса: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = r\sqrt{2}$$.

2. Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{кон} = \pi r^2 \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$. Отсюда $$\pi r^2 = 7$$.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S_{цил} = 2\pi r^2 = 2 \cdot 7 = 14$$.

1. Дано: $$h = r$$. Образующая конуса: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = r\sqrt{2}$$.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S_{цил} = 2\pi r^2 = 11\sqrt{2}$$. Отсюда $$\pi r^2 = \frac{11\sqrt{2}}{2}$$.

3. Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{кон} = \pi r^2 \sqrt{2} = \frac{11\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 11$$.

1. Формулы объёмов: $$V_{цил} = \pi r^2 h$$, $$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$.

2. Отношение объёмов: $$V_{цил} = 3 \cdot V_{кон}$$.

3. Находим объём цилиндра: $$V_{цил} = 3 \cdot 36 = 108$$.

1. Формулы объёмов: $$V_{цил} = \pi r^2 h$$, $$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$.

2. Поскольку у конуса и цилиндра общее основание и высота: $$V_{кон} = \frac{1}{3} V_{цил}$$.

3. Находим объём конуса: $$V_{кон} = \frac{162}{3} = 54$$.

1. Объем цилиндра: $$V_{цил} = 2\pi r^3 = 36$$.

2. Объем шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$$.

3. Отношение объемов: $$\frac{V_{шара}}{V_{цил}} = \frac{2}{3}$$.

4. Находим объём шара: $$V_{шара} = \frac{2}{3} \cdot 36 = 24$$.

1. Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $$\frac{1}{2}$$.

2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$.

3. Высота отсечённой призмы равна высоте исходной, поэтому объёмы относятся как площади оснований: $$\frac{V_{отс}}{V_{исх}} = \frac{1}{4}$$.

4. Объём исходной призмы: $$V_{исх} = 4 \cdot V_{отс} = 4 \cdot 7 = 28$$.