Логарифмические уравнения и неравенства
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 6925
Водолазный колокол, содержащий $$\nu=5$$ моль воздуха при давлении $$p_1=2,3$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $$p_2$$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A=\alpha\nu T\log_2\frac{p_2}{p_1}$$, где $$\alpha=15,6$$ Дж/(моль·К) – постоянная, $$T=300$$ К – температура воздуха. Найдите, какое давление $$p_2$$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $$23400$$ Дж.
1. Подставляем известные значения в формулу: $$23400=15,6\cdot 5\cdot 300\cdot\log_2\frac{p_2}{2,3}$$.
2. Вычисляем коэффициент: $$15,6\cdot 5\cdot 300=23400$$.
3. Делим обе части на $$23400$$: $$\log_2\frac{p_2}{2,3}=\frac{23400}{23400}=1$$.
4. Находим отношение давлений: $$\frac{p_2}{2,3}=2^1=2$$.
5. Вычисляем конечное давление: $$p_2=2,3\cdot 2=4,6$$ атм.
Задание 6931
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $$\nu=2$$ моль воздуха объёмом $$V_1=120$$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $$V_2$$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $$A=\alpha\nu T\log_2\frac{V_1}{V_2}$$, где $$\alpha=8,7$$ Дж/(моль·К) – постоянная, $$T=300$$ К – температура воздуха. Найдите, какой объём $$V_2$$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $$10440$$ Дж.
1. Подставляем известные значения в формулу: $$10440=8,7\cdot 2\cdot 300\cdot\log_2\frac{120}{V_2}$$.
2. Вычисляем коэффициент: $$8,7\cdot 2\cdot 300=5220$$.
3. Делим обе части на $$5220$$: $$\log_2\frac{120}{V_2}=\frac{10440}{5220}=2$$.
4. Находим отношение объёмов: $$\frac{120}{V_2}=2^2=4$$.
5. Вычисляем конечный объём: $$V_2=\frac{120}{4}=30$$ л.
Задание 6940
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $$T_п=25$$ °C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой $$T_в=89$$ °C. Расход проходящей через трубу радиатора воды $$m=0,2$$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $$x$$, вода охлаждается от начальной температуры $$T$$ (°C), причём $$x=\alpha\cdot\frac{cm}{\gamma}\cdot\log_2\frac{T_в-T_п}{T-T_п}$$, где $$c=4200$$ Вт·с/(кг·°C) – теплоёмкость воды, $$\gamma=63$$ Вт/(м²·°C) – коэффициент теплообмена, $$\alpha=1,9$$ – постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $$76$$ м.
1. Вычисляем коэффициент $$\alpha\cdot\frac{cm}{\gamma}$$: $$1,9\cdot\frac{4200\cdot 0,2}{63}=1,9\cdot\frac{840}{63}=1,9\cdot\frac{40}{3}=\frac{76}{3}$$.
2. Подставляем в формулу: $$76=\frac{76}{3}\cdot\log_2\frac{89-25}{T-25}$$.
3. Делим на $$\frac{76}{3}$$: $$\log_2\frac{64}{T-25}=3$$.
4. Находим отношение: $$\frac{64}{T-25}=2^3=8$$.
5. Вычисляем температуру: $$T-25=\frac{64}{8}=8$$, откуда $$T=33$$ °C.
Задание 6934
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $$C=4\cdot 10^{-6}$$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $$R=2\cdot 10^6$$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $$U_0=22$$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $$U$$ (кВ) за время, определяемое выражением $$t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}$$ (с), где $$\alpha=1,7$$ – постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее $$27,2$$ секунды.
1. Вычисляем коэффициент $$\alpha RC$$: $$1,7\cdot 2\cdot 10^6\cdot 4\cdot 10^{-6}=1,7\cdot 8=13,6$$ с.
2. Подставляем в формулу: $$27,2=13,6\cdot\log_2\frac{22}{U}$$.
3. Делим обе части на $$13,6$$: $$\log_2\frac{22}{U}=2$$.
4. Находим отношение: $$\frac{22}{U}=2^2=4$$.
5. Вычисляем напряжение: $$U=\frac{22}{4}=5,5$$ кВ.