ЕГЭ (профиль) / Простейшие уравнения

Используем свойство: если $$A^2 = B^2$$, то $$A = B$$ или $$A = -B$$.

Случай 1:

$$4x + 3 = 4x + 7$$

Вычтем из обеих частей $$4x$$:

$$3 = 7$$

Неверное равенство, решений нет.

Случай 2:

$$4x + 3 = -(4x + 7)$$

Раскроем скобки:

$$4x + 3 = -4x - 7$$

Прибавим к обеим частям $$4x$$:

$$8x + 3 = -7$$

Вычтем из обеих частей $$3$$:

$$8x = -10$$

Разделим обе части на $$8$$:

Представим $$512$$ как $$2^9$$:

$$(x-7)^9 = 2^9$$

Извлечём корень девятой степени из обеих частей (показатель нечётный, поэтому корень единственный):

$$x - 7 = 2$$

Прибавим к обеим частям $$7$$:

$$x = 9$$

ОДЗ: $$2x + 5 \neq 0$$, откуда $$x \neq -2,5$$

Приравняем знаменатели:

$$2x + 5 = 2$$

Вычтем из обеих частей $$5$$:

$$2x = -3$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x = -1,5$$

Корень входит в ОДЗ.

ОДЗ: $$4x - 2 \neq 0$$, откуда $$x \neq \frac{1}{2}$$

Умножим обе части уравнения на $$(4x - 2)$$:

$$1 = 5(4x - 2)$$

Раскроем скобки в правой части:

$$1 = 20x - 10$$

Перенесём $$-10$$ в левую часть с противоположным знаком:

$$1 + 10 = 20x$$

$$11 = 20x$$

Поделим обе части на $$20$$:

$$x = \frac{11}{20}$$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ:

$$\frac{11}{20} \neq \frac{1}{2}$$ — условие выполняется

ОДЗ: $$5x - 8 \neq 0$$ и $$3x + 21 \neq 0$$, откуда $$x \neq 1,6$$ и $$x \neq -7$$

Приравняем знаменатели:

$$5x - 8 = 3x + 21$$

Вычтем из обеих частей $$3x$$:

$$2x - 8 = 21$$

Прибавим к обеим частям $$8$$:

$$2x = 29$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x = 14,5$$

Корень входит в ОДЗ.

Представим правую часть как степень с основанием $$\frac{1}{2}$$:

$$\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6$$

Получаем:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-6} = \left(\frac{1}{2}\right)^6$$

Приравняем показатели степеней:

$$x - 6 = 6$$

Прибавим к обеим частям $$6$$:

$$x = 12$$

Представим левую часть как степень с основанием $$9$$:

$$\frac{1}{9} = 9^{-1}$$

Получаем:

$$(9^{-1})^{x-7} = 9^x$$

Применим свойство степени $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$:

$$9^{-(x-7)} = 9^x$$

Приравняем показатели степеней:

$$-(x - 7) = x$$

Раскроем скобки:

$$-x + 7 = x$$

Прибавим к обеим частям $$x$$:

$$7 = 2x$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x = 3,5$$

Представим обе части как степени с основанием $$9$$:

$$(9^{-1})^{x+9} = (9^2)^x$$

$$9^{-(x+9)} = 9^{2x}$$

Приравняем показатели степеней:

$$-(x + 9) = 2x$$

Раскроем скобки:

$$-x - 9 = 2x$$

Прибавим к обеим частям $$x$$:

$$-9 = 3x$$

Разделим обе части на $$3$$:

$$x = -3$$

ОДЗ: $$-5x - 6 > 0$$, откуда $$x < -\frac{6}{5}$$

По определению логарифма:

$$-5x - 6 = 2^6$$

$$-5x - 6 = 64$$

Прибавим к обеим частям $$6$$:

$$-5x = 70$$

Разделим обе части на $$-5$$:

$$x = -14$$

Корень входит в ОДЗ.

ОДЗ: $$x - 1 > 0$$, откуда $$x > 1$$

По определению логарифма:

$$x - 1 = 2^4$$

$$x - 1 = 16$$

Прибавим к обеим частям $$1$$:

$$x = 17$$

Корень входит в ОДЗ.

По определению логарифма:

$$8^4 = 2^{3x+9}$$

Представим $$8$$ как $$2^3$$:

$$(2^3)^4 = 2^{3x+9}$$

$$2^{12} = 2^{3x+9}$$

Приравняем показатели степеней:

$$12 = 3x + 9$$

Вычтем из обеих частей $$9$$:

$$3 = 3x$$

Разделим обе части на $$3$$:

$$x = 1$$

Возведём обе части уравнения в куб:

$$x + 6 = 64$$

Вычтем из обеих частей $$6$$:

$$x = 58$$

ОДЗ: $$4x + 24 \ge 0$$, откуда $$x \ge -6$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$4x + 24 = 64$$

Вычтем из обеих частей $$24$$:

$$4x = 40$$

Разделим обе части на $$4$$:

$$x = 10$$

Корень входит в ОДЗ.

Представим правую часть как степень с основанием $$2$$:

$$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$

Получаем:

$$2^{x-3} = 2^{-3}$$

Приравняем показатели степеней:

$$x - 3 = -3$$

Прибавим к обеим частям $$3$$:

$$x = 0$$

ОДЗ: $$4x + 1 > 0$$, откуда $$x > -0,25$$

Представим правую часть как степень с основанием $$3$$:

$$3^{\log_9(4x+1)} = 3^2$$

Приравняем показатели степеней:

$$\log_9(4x + 1) = 2$$

По определению логарифма:

$$4x + 1 = 9^2$$

$$4x + 1 = 81$$

Вычтем из обеих частей $$1$$:

$$4x = 80$$

Разделим обе части на $$4$$:

$$x = 20$$

Корень входит в ОДЗ.