Тригонометрические выражения

1. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{91}{100} = \frac{9}{100}$$.

2. Так как $$\alpha$$ в IV четверти, $$\cos \alpha > 0$$, поэтому $$\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0,3$$.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$.

2. Находим $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{91}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{91}{100} = \frac{9}{100}$$.

3. Так как $$\alpha$$ в IV четверти, $$\sin \alpha < 0$$, поэтому $$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{100}} = -\frac{3}{10} = -0,3$$.

1. Находим $$\sin \alpha$$: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$$.

2. Так как $$\alpha$$ в III четверти, $$\sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{13}}$$.

3. Находим тангенс: $$\text{tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{\sqrt{13}}}{-\frac{2}{\sqrt{13}}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$.

1. Находим $$\cos \alpha$$: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{41} = \frac{25}{41}$$.

2. Так как $$\alpha$$ в III четверти, $$\cos \alpha = -\frac{5}{\sqrt{41}}$$.

3. Находим тангенс: $$\text{tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{4}{\sqrt{41}}}{-\frac{5}{\sqrt{41}}} = \frac{4}{5} = 0{,}8$$.

1. Используем формулу двойного угла: $$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$$.

2. Подставляем: $$\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot 0{,}6^2 = 1 - 2 \cdot 0{,}36 = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$$.

3. Вычисляем: $$3 \cdot 0{,}28 = 0{,}84$$.

1. Применяем формулу приведения: $$\text{tg}56° = \text{tg}(90°-34°) = \text{ctg}34° = \frac{1}{\text{tg}34°}$$.

2. Подставляем: $$-42\text{tg}34° \cdot \frac{1}{\text{tg}34°} + 6 = -42 + 6 = -36$$.

1. Применяем формулу синуса двойного угла в числителе: $$2\sin 98° \cdot \cos 98° = \sin 196°$$.

2. Подставляем: $$\frac{8 \cdot \sin 196°}{\sin 196°} = 8$$.

1. Применяем формулу косинуса двойного угла: $$\sin^2 77° - \cos^2 77° = -\cos154°$$.

2. Подставляем: $$\frac{19 \cdot (-\cos154°)}{2\cos154°}$$.

3. Сокращаем: $$-\frac{19}{2} = -9,5$$.

1. Применяем формулу приведения: $$\sin146° = \sin(180°-34°) = \sin34° = \cos56°$$.

2. Подставляем: $$\sin^2 146° = \cos^2 56°$$, знаменатель $$\sin^2 56° + \cos^2 56° + 1 = 1 + 1 = 2$$.

3. Вычисляем: $$\frac{23}{2} = 11,5$$.

1. Применяем формулу приведения: $$\cos4° = \sin(90°-4°) = \sin86°$$.

2. Подставляем: $$\frac{51\sin86°}{\sin86°} + 8 = 51 + 8 = 59$$.

1. Применяем формулу произведения косинусов: $$\cos 81° \cdot \cos 9° = \frac{1}{2}(\cos 90° + \cos 72°) = \frac{1}{2}\cos 72°$$.

2. Так как $$\sin 162° = \sin 18°$$ и $$\cos 72° = \sin 18°$$, получаем: $$\frac{9\sin 18°}{\frac{1}{2}\sin 18°} = 18$$.

1. Приводим угол: $$\sin392° = \sin(392°-360°) = \sin32°$$.

2. Подставляем: $$\frac{9\sin32°}{\sin32°} = 9$$.

1. Упрощаем: $$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$, $$\sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$. Выносим $$3\sqrt{3}$$: $$3\sqrt{3}\left(1-2\sin^2\frac{11\pi}{12}\right) = 3\sqrt{3}\cos\frac{11\pi}{6}$$.

2. Так как $$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем: $$3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$.

1. Подставляем значения тригонометрических функций: $$\sin150° = \sin30° = 0,5$$, $$\cos120° = -\cos60° = -0,5$$.

2. Вычисляем: $$12 \cdot 0,5 \cdot (-0,5) = 12 \cdot (-0,25) = -3$$.

1. Используем чётность косинуса: $$\cos(-225°) = \cos225°$$.

2. Находим значение: $$\cos225° = \cos(180°+45°) = -\cos45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

3. Вычисляем: $$12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 12 \cdot (-1) = -12$$.