Пирамида

1. Основание — равносторонний треугольник со стороной $$a = 10,5$$.

2. Расстояние от центра основания до вершины (радиус описанной окружности): $$r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{10,5}{\sqrt{3}}$$.

3. Из прямоугольного треугольника (высота, радиус, боковое ребро): $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{7^2 - \left(\frac{10,5}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{49 - \frac{110,25}{3}} = \sqrt{49 - 36,75} = \sqrt{12,25} = 3,5$$.

1. Точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, поэтому $$OA = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$$.

2. Треугольник $$SOA$$ — прямоугольный ($$SO \perp AC$$).

3. По теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30$$.

1. Точка $$O$$ — центр квадрата $$ABCD$$, середина диагонали $$BD$$. Длина $$OA$$ равна половине диагонали: $$OA = \frac{BD}{2} = \frac{42}{2} = 21$$.

2. Высота $$SO$$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому треугольник $$SOA$$ — прямоугольный с катетами $$SO = 28$$ и $$OA = 21$$.

3. По теореме Пифагора: $$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{28^2 + 21^2} = \sqrt{784 + 441} = \sqrt{1225} = 35$$.

1. Высота $$SO$$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому треугольник $$SOC$$ — прямоугольный.

2. По теореме Пифагора: $$OC = \sqrt{SC^2 - SO^2} = \sqrt{73^2 - 48^2} = \sqrt{5329 - 2304} = \sqrt{3025} = 55$$.

3. Точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, значит $$AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot 55 = 110$$.

1. Диагональ квадратного основания: $$d = a\sqrt{2} = 35\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 70$$.

2. Половина диагонали: $$r = \frac{d}{2} = 35$$.

3. Высота: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{37^2 - 35^2} = \sqrt{1369 - 1225} = \sqrt{144} = 12$$.

4. Площадь основания: $$S = (35\sqrt{2})^2 = 2450$$.

5. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2450 \cdot 12 = 9800$$.

1. Основание — квадрат со стороной $$a = 6$$. Диагональ квадрата: $$d = 6\sqrt{2}$$.

2. Расстояние от центра основания до вершины: $$r = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}$$.

3. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{4,5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{20,25 - 18} = \sqrt{2,25} = 1,5$$.

1. Сечение, проходящее через середины боковых рёбер, параллельно основанию и подобно ему.

2. Коэффициент подобия равен $$\frac{1}{2}$$, поэтому сторона квадрата в сечении: $$a_{сеч} = \frac{6}{2} = 3$$.

3. Площадь сечения: $$S = 3^2 = 9$$.

1. Из прямоугольного треугольника (высота, половина диагонали основания, боковое ребро): $$r^2 = l^2 - h^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$$, где $$r$$ — половина диагонали основания.

2. Диагональ квадрата: $$d = 2r = 2\sqrt{12}$$.

3. Площадь основания: $$S = \frac{d^2}{2} = \frac{48}{2} = 24$$.

4. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 = 16$$.

1. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: $$r = a = 4$$.

2. Высота $$h$$, боковое ребро $$l = 8,5$$ и радиус $$r$$ образуют прямоугольный треугольник.

3. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{8,5^2 - 4^2} = \sqrt{72,25 - 16} = \sqrt{56,25} = 7,5$$.

1. Пирамида $$SABC$$ составляет половину пирамиды $$SABCD$$, так как треугольник $$ABC$$ — половина квадрата $$ABCD$$: $$V_{SABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD}$$.

2. В пирамиде $$EABC$$ основание то же ($$ABC$$), а вершина $$E$$ — середина ребра $$SB$$. Высота из $$E$$ на плоскость основания в 2 раза меньше высоты из $$S$$.

3. Объём пирамиды $$EABC$$: $$V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABC} = \frac{1}{4} V_{SABCD} = \frac{152}{4} = 38$$.

1. Плоскость проходит через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $$\frac{1}{2}$$.

2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$.

3. Высота отсечённой пирамиды равна высоте исходной (так как плоскость проходит через вершину).

4. Объёмы пирамид с одинаковой высотой относятся как площади оснований: $$\frac{V_{отс}}{V_{исх}} = \frac{S_{отс}}{S_{исх}} = \frac{1}{4}$$.

5. Находим объём: $$V_{отс} = \frac{V_{исх}}{4} = \frac{94}{4} = 23,5$$.