Задачи на движение по прямой и окружности

1. Пусть скорость из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 4)$$ км/ч.

2. Время пути из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{117}{v}$$ ч.

3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{117}{v + 4}$$ ч.

4. С учётом остановки: $$\frac{117}{v + 4} + 4 = \frac{117}{v}$$.

5. Умножаем на $$v(v + 4)$$: $$117v + 4v(v + 4) = 117(v + 4)$$.

6. $$117v + 4v^2 + 16v = 117v + 468 \Rightarrow 4v^2 + 16v - 468 = 0 \Rightarrow v^2 + 4v - 117 = 0$$.

7. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-13) = -117$$ и $$9 + (-13) = -4$$).

8. Скорость из $$B$$ в $$A$$: $$9 + 4 = 13$$ км/ч.

Ответ: $$13$$

1. Пусть скорость из $$A$$ в $$B$$ равна $$v$$ км/ч, тогда обратно $$(v + 5)$$ км/ч.

2. Время пути из $$A$$ в $$B$$: $$\frac{126}{v}$$ ч.

3. Время обратного пути (без остановки): $$\frac{126}{v + 5}$$ ч.

4. С учётом остановки: $$\frac{126}{v + 5} + 5 = \frac{126}{v}$$.

5. Умножаем на $$v(v + 5)$$: $$126v + 5v(v + 5) = 126(v + 5)$$.

6. $$126v + 5v^2 + 25v = 126v + 630 \Rightarrow 5v^2 + 25v - 630 = 0 \Rightarrow v^2 + 5v - 126 = 0$$.

7. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-14) = -126$$ и $$9 + (-14) = -5$$).

Ответ: $$9$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть х - скорость первого дня

$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8$$

$$\frac{22,5}{x}-\frac{22,5}{x+8}=1$$

$$22,5x+180-22,5x=x^{2}+8x$$

$$x^{2}+8x-180=0$$ $$D=64+720=784$$

$$x_{1}=\frac{-8+28}{2}=10$$

$$x_{2}<0$$

1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 4)$$ км/ч.

2. Время второго: $$\frac{140}{v}$$ ч, первого: $$\frac{140}{v + 4}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{140}{v} - \frac{140}{v + 4} = 4$$.

4. Умножаем на $$v(v + 4)$$: $$140(v + 4) - 140v = 4v(v + 4)$$.

5. $$140v + 560 - 140v = 4v^2 + 16v \Rightarrow 4v^2 + 16v - 560 = 0 \Rightarrow v^2 + 4v - 140 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-14) = -140$$ и $$10 + (-14) = -4$$).

7. Скорость первого: $$10 + 4 = 14$$ км/ч.

Ответ: $$14$$

1. Пусть скорость второго $$v$$ км/ч, тогда первого $$(v + 3)$$ км/ч.

2. Время второго: $$\frac{154}{v}$$ ч, первого: $$\frac{154}{v + 3}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{154}{v} - \frac{154}{v + 3} = 3$$.

4. Умножаем на $$v(v + 3)$$: $$154(v + 3) - 154v = 3v(v + 3)$$.

5. $$154v + 462 - 154v = 3v^2 + 9v \Rightarrow 3v^2 + 9v - 462 = 0 \Rightarrow v^2 + 3v - 154 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 11$$ (так как $$11 \cdot (-14) = -154$$ и $$11 + (-14) = -3$$).

Ответ: $$11$$

Путь х км/ч - скорость второго, тогда х+10 км/ч - скорость первого, тогда, время первого $$t_{1}=\frac{60}{x+10}$$ часов, $$t_{2}=\frac{60}{x}$$ часов - время второго. При этом второй ехал на 3 часа дольше, то есть : $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3|*\frac{x(x+10)}{3}\Leftrightarrow$$$$20x+200-20x=x^{2}+10x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+10x-200=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-10\\x_{1}*x_{2}=-200 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-20\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость второго составляла 10 км/ч.

1. Время на подъём: $$7 - 4 = 3$$ ч.

2. Пусть скорость на подъёме $$v$$ км/ч, тогда на спуске $$(v + 2)$$ км/ч.

3. Расстояние на подъёме: $$3v$$, на спуске: $$4(v + 2)$$.

4. Уравнение: $$3v + 4(v + 2) = 15$$.

5. $$3v + 4v + 8 = 15 \Rightarrow 7v = 7 \Rightarrow v = 1$$ км/ч.

6. Скорость на спуске: $$1 + 2 = 3$$ км/ч.

Ответ: $$3$$

1. Пусть расстояние между городами $$S$$ км, скорость мотоциклиста $$v_1$$, велосипедиста $$v_2$$.

2. Время до встречи: $$3$$ ч $$45$$ мин = $$\frac{15}{4}$$ ч. Тогда $$\frac{15}{4}(v_1 + v_2) = S$$.

3. Время мотоциклиста до $$B$$: $$\frac{S}{v_1}$$, велосипедиста до $$A$$: $$\frac{S}{v_2}$$.

4. По условию: $$\frac{S}{v_2} - \frac{S}{v_1} = 10$$.

5. Из второго уравнения: $$S = \frac{15}{4}(v_1 + v_2)$$.

6. Подставляем: $$\frac{15(v_1 + v_2)}{4v_2} - \frac{15(v_1 + v_2)}{4v_1} = 10$$.

7. Пусть $$k = \frac{v_1}{v_2}$$, тогда $$\frac{15(k + 1)}{4} - \frac{15(k + 1)}{4k} = 10$$.

8. $$\frac{15(k + 1)(k - 1)}{4k} = 10 \Rightarrow 15(k^2 - 1) = 40k \Rightarrow 3k^2 - 8k - 3 = 0$$.

9. $$k = 3$$ (так как $$k > 0$$).

10. Тогда $$v_1 = 3v_2$$, $$S = \frac{15}{4} \cdot 4v_2 = 15v_2$$.

11. Время велосипедиста: $$\frac{S}{v_2} = \frac{15v_2}{v_2} = 15$$ ч.

Ответ: $$15$$

1. Пусть скорость велосипедиста $$v$$ км/ч, тогда автомобилиста $$(v + 65)$$ км/ч.

2. Время велосипедиста: $$\frac{40}{v}$$ ч, автомобилиста: $$\frac{40}{v + 65}$$ ч.

3. Разница во времени: $$2$$ ч $$10$$ мин = $$\frac{13}{6}$$ ч.

4. Уравнение: $$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 65} = \frac{13}{6}$$.

5. Умножаем на $$v(v + 65)$$: $$40(v + 65) - 40v = \frac{13}{6}v(v + 65)$$.

6. $$2600 = \frac{13}{6}v^2 + \frac{845}{6}v \Rightarrow v^2 + 65v - 1200 = 0$$.

7. По теореме Виета: $$v = 15$$ (так как $$15 \cdot (-80) = -1200$$ и $$15 + (-80) = -65$$).

Ответ: $$15$$

1. Время на каждом участке: $$\frac{120}{60} = 2$$ ч, $$\frac{200}{100} = 2$$ ч, $$\frac{160}{120} = \frac{4}{3}$$ ч.

2. Общий путь: $$120 + 200 + 160 = 480$$ км.

3. Общее время: $$2 + 2 + \frac{4}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$ ч.

4. Средняя скорость: $$\frac{480}{\frac{16}{3}} = 480 \cdot \frac{3}{16} = 30 \cdot 3 = 90$$ км/ч.

Ответ: $$90$$

1. Общий путь: $$100 \cdot 1 + 85 \cdot 2 + 60 \cdot 3 = 100 + 170 + 180 = 450$$ км.

2. Общее время: $$1 + 2 + 3 = 6$$ ч.

3. Средняя скорость: $$\frac{450}{6} = 75$$ км/ч.

Ответ: $$75$$

Скорость обгона пассажирским поездом товарного составляет $$100-80=20$$ км/ч. Товарный поезд имеет длину 2100 метров или 2,1 км. В задаче сказано, что пассажирский поезд прошел мимо товарного за 7,5 минут (за $$\frac{7,5}{60}$$ часа) со скоростью 20 км/ч. То есть была пройдена вся длина товарного поезда и еще длина самого пассажирского поезда. Обозначим через $$x$$ длину пассажирского поезда, тогда расстояние равное $$x+2,1$$ было пройдено за $$\frac{7,5}{60}=\frac{1}{8}$$ часа со скоростью 20 км/ч. Получаем уравнение

$$(x+2,1):\frac{1}{8}=20$$

$$(x+2,1)\cdot8=20$$

$$8x+16,8=20$$

$$8x=3,2$$

$$x=\frac{3,2}{8}=0,4$$

То есть длина пассажирского поезда равна 0,4 км или 400 метров.