ЕГЭ (профиль) / Задачи с прикладным содержанием
Задание 6789
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$, где t – время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $$\omega=25$$ град./мин – начальная угловая скорость вращения катушки, а $$\beta=10$$ град./мин² – угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, если за это время угол намотки $$\varphi$$ достиг 1500°.
1. Подставляем: $$1500=25t+\frac{10t^2}{2}=25t+5t^2$$.
2. Получаем: $$5t^2+25t-1500=0$$, делим на 5: $$t^2+5t-300=0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=25+1200=1225$$, $$\sqrt{D}=35$$.
4. Находим положительный корень: $$t=\frac{-5+35}{2}=\frac{30}{2}=15$$ мин.
Задание 6934
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $$C=4\cdot 10^{-6}$$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $$R=2\cdot 10^6$$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $$U_0=22$$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $$U$$ (кВ) за время, определяемое выражением $$t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}$$ (с), где $$\alpha=1,7$$ – постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее $$27,2$$ секунды.
1. Вычисляем коэффициент $$\alpha RC$$: $$1,7\cdot 2\cdot 10^6\cdot 4\cdot 10^{-6}=1,7\cdot 8=13,6$$ с.
2. Подставляем в формулу: $$27,2=13,6\cdot\log_2\frac{22}{U}$$.
3. Делим обе части на $$13,6$$: $$\log_2\frac{22}{U}=2$$.
4. Находим отношение: $$\frac{22}{U}=2^2=4$$.
5. Вычисляем напряжение: $$U=\frac{22}{4}=5,5$$ кВ.
Задание 6794
Зависимость объёма спроса $$q$$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $$p$$ (тыс. руб.) задаётся формулой $$q=60-5p$$. Выручка предприятия за месяц $$r$$ (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $$r(p)=q\cdot p$$. Определите наибольшую цену $$p$$, при которой месячная выручка $$r(p)$$ составит не менее $$100$$ тыс. руб.
1. Записываем выручку: $$r(p)=(60-5p)\cdot p=60p-5p^2$$.
2. Решаем неравенство: $$60p-5p^2\geq 100$$.
3. Переносим все в одну сторону: $$5p^2-60p+100\leq 0$$, делим на 5: $$p^2-12p+20\leq 0$$.
4. Находим корни: $$p_1=2$$, $$p_2=10$$. Наибольшее значение: $$p=10$$ тыс. руб.
Задание 6809
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле $$T(t)=T_0+bt+at^2$$, где $$t$$ – время в минутах, $$T_0=1320$$ К, $$a=-20$$ К/мин², $$b=200$$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.
1. Решаем уравнение: $$1320+200t-20t^2=1800$$.
2. Получаем: $$-20t^2+200t-480=0$$, делим на -20: $$t^2-10t+24=0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=100-96=4$$, $$\sqrt{D}=2$$.
4. Находим корни: $$t_1=\frac{10+2}{2}=6$$, $$t_2=\frac{10-2}{2}=4$$. Наибольшее время: $$t=4$$ мин.
Задание 6828
К источнику с ЭДС $$\varepsilon=115$$ В и внутренним сопротивлением $$r=0,6$$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $$R$$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $$U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 100 В?
1. Подставляем: $$100=\frac{115R}{R+0,6}$$.
2. Умножаем на $$(R+0,6)$$: $$100(R+0,6)=115R$$.
3. Раскрываем: $$100R+60=115R$$.
4. Переносим: $$115R-100R=60$$, откуда $$15R=60$$.
5. Находим: $$R=\frac{60}{15}=4$$ Ом.
Задание 6866
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 198 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $$v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$$, где $$c=1500$$ м/с – скорость звука в воде, $$f_0$$ – частота испускаемых импульсов (в МГц), $$f$$ – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала $$f$$, если скорость погружения батискафа не должна превышать 15 м/с.
1. Записываем условие: $$v\leq 15$$ м/с.
2. Подставляем формулу: $$1500\cdot\frac{f-198}{f+198}\leq 15$$.
3. Делим обе части на 15: $$100\cdot\frac{f-198}{f+198}\leq 1$$.
4. Умножаем на $$(f+198)$$: $$100(f-198)\leq f+198$$.
5. Раскрываем скобки: $$100f-19800\leq f+198$$.
6. Решаем: $$99f\leq 19998$$, откуда $$f\leq 202$$ МГц.
Задание 6862
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 247 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $$v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}$$, где $$c=1500$$ м/с – скорость звука в воде, $$f_0$$ – частота испускаемых импульсов (в МГц), $$f$$ – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала $$f$$, если скорость погружения батискафа не должна превышать 18 м/с.
1. Записываем условие: $$v\leq 18$$ м/с.
2. Подставляем формулу: $$1500\cdot\frac{f-247}{f+247}\leq 18$$.
3. Делим обе части на 6: $$250\cdot\frac{f-247}{f+247}\leq 3$$.
4. Умножаем на $$(f+247)$$: $$250(f-247)\leq 3(f+247)$$.
5. Раскрываем скобки: $$250f-61750\leq 3f+741$$.
6. Решаем: $$247f\leq 62491$$, откуда $$f\leq 253$$ МГц.
Задание 6784
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $$v_0=60$$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $$a=18$$ км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$, где t – время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, если за это время он удалился от города на 21 км.
1. Подставляем: $$21=60t+\frac{18t^2}{2}=60t+9t^2$$.
2. Получаем: $$9t^2+60t-21=0$$.
3. Находим дискриминант: $$D=3600+756=4356$$, $$\sqrt{D}=66$$.
4. Находим корень: $$t=\frac{-60+66}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$ ч.
5. Переводим в минуты: $$\frac{1}{3}\cdot 60=20$$ мин.
Задание 6945
Мяч бросили под углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле $$t=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}$$. При каком наименьшем значении угла $$\alpha$$ (в градусах) время полёта будет не меньше $$3$$ секунд, если мяч бросают с начальной скоростью $$v_0=30$$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $$g=10$$ м/с².
1. Подставляем известные значения в неравенство: $$\frac{2\cdot 30\cdot\sin\alpha}{10}\geq 3$$.
2. Упрощаем: $$\frac{60\sin\alpha}{10}\geq 3$$, откуда $$6\sin\alpha\geq 3$$.
3. Делим на $$6$$: $$\sin\alpha\geq 0,5$$.
4. Наименьший угол, для которого $$\sin\alpha=0,5$$, равен $$\alpha=30^\circ$$.
Задание 6777
На рисунке изображена схема моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вверх вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке.
В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой $$y=0,0032x^2-0,62x+34$$, где $$x$$ и $$y$$ измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 60 метрах от пилона.
1. Подставляем $$x=60$$ в формулу: $$y=0,0032\cdot 60^2-0,62\cdot 60+34$$.
2. Вычисляем: $$y=0,0032\cdot 3600-37,2+34=11,52-37,2+34=8,32$$.
Задание 6879
Наблюдатель находится на высоте $$h$$ (в км). Расстояние $$l$$ (в км) от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $$l=\sqrt{2Rh}$$, где $$R=6400$$ км – радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 64 км?
1. Возводим формулу в квадрат: $$l^2=2Rh$$.
2. Выражаем высоту: $$h=\frac{l^2}{2R}$$.
3. Подставляем значения: $$h=\frac{64^2}{2\cdot 6400}=\frac{4096}{12800}$$.
4. Вычисляем: $$h=0,32$$ км.
Задание 6885
Наблюдатель находится на высоте $$h$$, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$$, где $$R=6400$$ км – радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 6,4 километра?
1. Возводим формулу в квадрат: $$l^2=\frac{Rh}{500}$$.
2. Выражаем высоту: $$h=\frac{l^2}{12,8}$$.
3. Подставляем значение: $$h=\frac{6,4^2}{12,8}=\frac{40,96}{12,8}$$.
4. Вычисляем: $$h=3,2$$ м.
Задание 6964
Небольшой мячик бросают под острым углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика $$H$$ (в м) вычисляется по формуле $$H=\frac{v_0^2}{4g}(1-\cos 2\alpha)$$, где $$v_0=16$$ м/с — начальная скорость мячика, а $$g$$ — ускорение свободного падения (считайте $$g=10$$ м/с$$^2$$). При каком наименьшем значении угла $$\alpha$$ мячик пролетит над стеной высотой $$8,6$$ м на расстоянии $$1$$ м? Ответ дайте в градусах.
1. Высота полёта должна быть: $$H = 8,6 + 1 = 9,6$$ м.
2. Подставляем в формулу: $$9,6 = \frac{16^2}{4 \cdot 10}(1-\cos 2\alpha) = 6,4(1-\cos 2\alpha)$$.
3. Решаем уравнение: $$1-\cos 2\alpha = \frac{9,6}{6,4} = 1,5$$, откуда $$\cos 2\alpha = -0,5$$.
4. Находим угол: $$2\alpha = 120°$$, следовательно $$\alpha = 60°$$.
Задание 6834
Независимое агентство намерено ввести рейтинг $$R$$ новостных изданий на основе показателей информативности $$I_н$$, оперативности $$O_р$$ и объективности $$T_т$$ публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от 0 до 9. Аналитик, составляющий формулу, считает, что объективность публикаций ценится втрое, а информативность – вдвое дороже, чем оперативность. В результате, формула примет вид $$R=\frac{2I_н+O_р+3T_т}{A}$$. Каким должно быть число $$A$$, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 10?
1. Максимальные значения показателей: $$I_н=9$$, $$O_р=9$$, $$T_т=9$$.
2. Подставляем в формулу: $$R=\frac{2\cdot 9+9+3\cdot 9}{A}=\frac{18+9+27}{A}=\frac{54}{A}$$.
3. Приравниваем к 10: $$\frac{54}{A}=10$$, откуда $$A=\frac{54}{10}=5,4$$.
Задание 6849
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $$f_0=154$$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $$f$$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $$v$$ (в м/с) по закону $$f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$$ (Гц), где $$c$$ – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 6 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $$c=320$$ м/с.
1. Записываем условие: $$f-f_0\geq 6$$, откуда $$f\geq 160$$ Гц.
2. Подставляем формулу: $$\frac{154}{1-\frac{v}{320}}\geq 160$$.
3. Умножаем на $$1-\frac{v}{320}$$: $$154\geq 160\left(1-\frac{v}{320}\right)$$.
4. Раскрываем скобки: $$154\geq 160-\frac{v}{2}$$.
5. Решаем: $$\frac{v}{2}\geq 6$$, откуда $$v\geq 12$$ м/с.