Задание 7741
Задание 7741
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $$1$$ и $$8$$. Боковые ребра призмы равны $$\frac{6}{\pi}$$. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
1. Цилиндр описан около призмы, значит диаметр его основания равен гипотенузе прямоугольного треугольника.
2. Находим гипотенузу: $$c = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$$.
3. Радиус основания цилиндра: $$r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{65}}{2}$$.
4. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $$h = \frac{6}{\pi}$$.
5. Объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{65}}{2}\right)^2 \cdot \frac{6}{\pi} = \pi \cdot \frac{65}{4} \cdot \frac{6}{\pi} = \frac{65 \cdot 6}{4} = 97,5$$.
Задание 7739
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $$5$$ и $$7$$. Боковые рёбра призмы равны $$\frac{3}{\pi}$$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
1. Цилиндр описан около призмы, значит диаметр его основания равен гипотенузе прямоугольного треугольника.
2. Находим гипотенузу: $$c = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$$.
3. Радиус основания цилиндра: $$r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{74}}{2}$$.
4. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $$h = \frac{3}{\pi}$$.
5. Объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{74}}{2}\right)^2 \cdot \frac{3}{\pi} = \pi \cdot \frac{74}{4} \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{74 \cdot 3}{4} = 55,5$$.
Задание 7740
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $$10$$ и $$9$$. Боковые рёбра призмы равны $$\frac{2}{\pi}$$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
1. Цилиндр описан около призмы, значит диаметр его основания равен гипотенузе прямоугольного треугольника.
2. Находим гипотенузу: $$c = \sqrt{10^2 + 9^2} = \sqrt{100 + 81} = \sqrt{181}$$.
3. Радиус основания цилиндра: $$r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{181}}{2}$$.
4. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $$h = \frac{2}{\pi}$$.
5. Объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{181}}{2}\right)^2 \cdot \frac{2}{\pi} = \pi \cdot \frac{181}{4} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{181 \cdot 2}{4} = 90,5$$.
Задание 7742
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $$20$$ и $$21$$. Боковые ребра призмы равны $$\frac{4}{\pi}$$. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
1. Цилиндр описан около призмы, значит диаметр его основания равен гипотенузе прямоугольного треугольника.
2. Находим гипотенузу: $$c = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$.
3. Радиус основания цилиндра: $$r = \frac{c}{2} = \frac{29}{2}$$.
4. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $$h = \frac{4}{\pi}$$.
5. Объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{29}{2}\right)^2 \cdot \frac{4}{\pi} = \pi \cdot \frac{841}{4} \cdot \frac{4}{\pi} = 841$$.
Задание 7743
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $$7$$ и $$24$$. Боковые ребра призмы равны $$\frac{8}{\pi}$$. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
1. Цилиндр описан около призмы, значит диаметр его основания равен гипотенузе прямоугольного треугольника.
2. Находим гипотенузу: $$c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$.
3. Радиус основания цилиндра: $$r = \frac{c}{2} = \frac{25}{2}$$.
4. Высота цилиндра равна боковому ребру призмы: $$h = \frac{8}{\pi}$$.
5. Объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{25}{2}\right)^2 \cdot \frac{8}{\pi} = \pi \cdot \frac{625}{4} \cdot \frac{8}{\pi} = \frac{625 \cdot 8}{4} = 1250$$.