ЕГЭ (профиль) / Вычисления и преобразования

1. Упрощаем: $$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$, $$\sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$. Выносим $$3\sqrt{3}$$: $$3\sqrt{3}\left(1-2\sin^2\frac{11\pi}{12}\right) = 3\sqrt{3}\cos\frac{11\pi}{6}$$.

2. Так как $$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем: $$3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$.

1. Подставляем значения тригонометрических функций: $$\sin150° = \sin30° = 0,5$$, $$\cos120° = -\cos60° = -0,5$$.

2. Вычисляем: $$12 \cdot 0,5 \cdot (-0,5) = 12 \cdot (-0,25) = -3$$.

1. Используем чётность косинуса: $$\cos(-225°) = \cos225°$$.

2. Находим значение: $$\cos225° = \cos(180°+45°) = -\cos45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

3. Вычисляем: $$12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 12 \cdot (-1) = -12$$.

1. Подставляем значения: $$\text{tg}\frac{5\pi}{4} = 1$$, $$\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

2. Вычисляем: $$12\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \cdot \frac{2}{2} = 12$$.

1. Представляем числа как степени: $$12 = 2^2 \cdot 3$$, $$4 = 2^2$$.

2. Упрощаем: $$12^{2,2} \cdot 4^{-3,2} \cdot 3^{0,8} = (2^2 \cdot 3)^{2,2} \cdot (2^2)^{-3,2} \cdot 3^{0,8} = 2^{4,4} \cdot 3^{2,2} \cdot 2^{-6,4} \cdot 3^{0,8}$$.

3. Складываем показатели: $$2^{4,4-6,4} \cdot 3^{2,2+0,8} = 2^{-2} \cdot 3^3 = \frac{27}{4} = 6,75$$.

1. Применяем формулу понижения степени: $$2\sqrt{3} \cdot \frac{1+\cos\frac{13\pi}{6}}{2} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\left(1+\cos\frac{13\pi}{6}\right) - \sqrt{3} = \sqrt{3}\cos\frac{13\pi}{6}$$.

2. Так как $$\cos\frac{13\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем: $$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$.

1. Представляем корень как степень: $$\sqrt[4]{27} = 27^{\frac{1}{4}}$$.

2. Выносим показатель: $$20 \cdot \frac{1}{4} \log_3 27 = 5 \log_3 27$$.

3. Представляем 27 как степень: $$27 = 3^3$$, откуда $$5 \cdot 3 = 15$$.

1. Представляем 9 как степень с основанием 3: $$9 = 3^2$$

2. Применяем свойство степеней: $$3^{1,34} \cdot (3^2)^{0,83} = 3^{1,34} \cdot 3^{1,66}$$

3. Складываем показатели: $$3^{1,34+1,66} = 3^3 = 27$$

Ответ: 27

1. Замечаем, что $$0,8 = \frac{1}{1,25} = 1,25^{-1}$$, откуда $$\log_5 0,8 = \log_5 1,25^{-1} = -\log_5 1,25$$.

2. Применяем формулу перехода: $$4 \cdot \log_{1,25} 5 \cdot (-\log_5 1,25) = -4 \cdot \log_{1,25} 5 \cdot \frac{\log_{1,25} 1,25}{\log_{1,25} 5} = -4 \cdot 1 = -4$$.

1. Выносим общий множитель и применяем формулу косинуса двойного угла: $$4\sqrt{3}\left(\cos^2\frac{7\pi}{12}-\sin^2\frac{7\pi}{12}\right) = 4\sqrt{3}\cos\frac{7\pi}{6}$$.

2. Так как $$\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем: $$4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -6$$.

1. Применяем формулу синуса двойного угла: $$3\sqrt{3}\sin\frac{5\pi}{3}$$.

2. Так как $$\sin\frac{5\pi}{3} = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем: $$3\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{9}{2} = -4{,}5$$.