Задание 6668

1. Применяем формулу понижения степени: $$6\sqrt{3} \cdot \frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\left(1+\cos\frac{\pi}{6}\right) - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}$$.

2. Так как $$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем: $$3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$.

1. Применяем формулу понижения степени: $$8\sqrt{2} \cdot \frac{1+\cos\frac{7\pi}{4}}{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\left(1+\cos\frac{7\pi}{4}\right) - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4}$$.

2. Так как $$\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, получаем: $$4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$$.

1. Выносим $$\sqrt{2}$$ и применяем формулу косинуса двойного угла: $$\sqrt{2}\left(1-2\sin^2\frac{15\pi}{8}\right) = \sqrt{2}\cos\frac{15\pi}{4}$$.

2. Так как $$\cos\frac{15\pi}{4} = \cos\left(4\pi-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, получаем: $$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$$.

1. Выносим $$5\sqrt{3}$$ и применяем формулу косинуса двойного угла: $$5\sqrt{3}\left(1-2\sin^2\frac{13\pi}{12}\right) = 5\sqrt{3}\cos\frac{13\pi}{6}$$.

2. Так как $$\cos\frac{13\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем: $$5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5$$.

1. Упрощаем: $$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$, $$\sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$. Выносим $$4\sqrt{2}$$: $$4\sqrt{2}\left(1-2\sin^2\frac{9\pi}{8}\right) = 4\sqrt{2}\cos\frac{9\pi}{4}$$.

2. Так как $$\cos\frac{9\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, получаем: $$4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$$.

1. Упрощаем корни: $$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$, $$\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$.

2. Используем формулу половинного угла: $$\sin^2\frac{5\pi}{8} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$$.

3. Подставляем: $$5\sqrt{2} - 10\sqrt{2} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{4} = -5$$.