ЕГЭ (профиль) / Текстовые задачи

1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 2)$$ деталей в час.

2. Время изготовления $$80$$ деталей вторым: $$\frac{80}{x}$$ ч, $$60$$ деталей первым: $$\frac{60}{x + 2}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{80}{x} - \frac{60}{x + 2} = 4$$.

4. Умножаем на $$x(x + 2)$$: $$80(x + 2) - 60x = 4x(x + 2)$$.

5. $$80x + 160 - 60x = 4x^2 + 8x \Rightarrow 20x + 160 = 4x^2 + 8x$$.

6. $$4x^2 - 12x - 160 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 40 = 0$$.

7. Дискриминант: $$9 + 160 = 169 = 13^2$$. $$x = \frac{3 + 13}{2} = 8$$.

Ответ: $$8$$

1. Пусть второй рабочий делает $$x$$ деталей в час, тогда первый $$(x + 4)$$ деталей в час.

2. Время изготовления $$725$$ деталей вторым: $$\frac{725}{x}$$ ч, $$696$$ деталей первым: $$\frac{696}{x + 4}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{725}{x} - \frac{696}{x + 4} = 5$$.

4. Умножаем на $$x(x + 4)$$: $$725(x + 4) - 696x = 5x(x + 4)$$.

5. $$725x + 2900 - 696x = 5x^2 + 20x \Rightarrow 29x + 2900 = 5x^2 + 20x$$.

6. $$5x^2 - 9x - 2900 = 0$$.

7. Дискриминант: $$81 + 58000 = 58081 = 241^2$$. $$x = \frac{9 + 241}{10} = 25$$.

8. Производительность первого рабочего: $$25 + 4 = 29$$ деталей в час.

Ответ: $$29$$

1. Производительность первого мастера: $$\frac{1}{36}$$ заказа в час.

2. Производительность второго мастера: $$\frac{1}{12}$$ заказа в час.

3. Совместная производительность: $$\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$ заказа в час.

4. Время выполнения заказа вместе: $$9$$ часов.

Ответ: $$9$$

1. Пусть скорость первого теплохода $$v$$ км/ч, тогда второго $$(v + 3)$$ км/ч.

2. Время первого: $$\frac{108}{v}$$ ч, второго: $$\frac{108}{v + 3}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{108}{v} - \frac{108}{v + 3} = 3$$.

4. Умножаем на $$v(v + 3)$$: $$108(v + 3) - 108v = 3v(v + 3)$$.

5. $$324 = 3v^2 + 9v \Rightarrow v^2 + 3v - 108 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 9$$ (так как $$9 \cdot (-12) = -108$$ и $$9 + (-12) = -3$$).

Ответ: $$9$$

1. Пусть скорость первого теплохода $$v$$ км/ч, тогда второго $$(v + 2)$$ км/ч.

2. Время первого: $$\frac{120}{v}$$ ч, второго: $$\frac{120}{v + 2}$$ ч.

3. Уравнение: $$\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 2} = 2$$.

4. Умножаем на $$v(v + 2)$$: $$120(v + 2) - 120v = 2v(v + 2)$$.

5. $$240 = 2v^2 + 4v \Rightarrow v^2 + 2v - 120 = 0$$.

6. По теореме Виета: $$v = 10$$ (так как $$10 \cdot (-12) = -120$$ и $$10 + (-12) = -2$$).

7. Скорость второго теплохода: $$10 + 2 = 12$$ км/ч.

Ответ: $$12$$

Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х+8 км/ч - скорость второго. Время первого $$t_{1}=\frac{70}{x}$$ часов, время второго $$t_{2}=\frac{70}{x+8}$$ часов. При этом первый плыл на час дольше, тогда:

$$t_{1}-t_{2}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{70}{x}-\frac{70}{x+8}=1|*(x^{2}+64)\Leftrightarrow$$$$70x+560-70x=x^{2}+8x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+8x-560=0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-8\\x_{1}*x_{2}=-560\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-28\\x_{2}=20\end{matrix}\right.$$

Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляла 20 км/ч

1. Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая за $$(x + 13)$$ минут.

2. Производительность второй: $$\frac{1}{x}$$, первой: $$\frac{1}{x + 13}$$.

3. Совместная производительность: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 13} = \frac{1}{42}$$.

4. Умножаем на $$42x(x + 13)$$: $$42(x + 13) + 42x = x(x + 13)$$.

5. $$42x + 546 + 42x = x^2 + 13x \Rightarrow x^2 - 71x - 546 = 0$$.

6. Дискриминант: $$5041 + 2184 = 7225 = 85^2$$. $$x = \frac{71 + 85}{2} = 78$$.

Ответ: $$78$$

1. Пусть вторая труба пропускает $$x$$ л/мин, тогда первая $$(x - 6)$$ л/мин.

2. Время заполнения резервуара первой трубой: $$\frac{112}{x - 6}$$ мин, второй: $$\frac{112}{x}$$ мин.

3. Уравнение: $$\frac{112}{x - 6} - \frac{112}{x} = 6$$.

4. Умножаем на $$x(x - 6)$$: $$112x - 112(x - 6) = 6x(x - 6)$$.

5. $$672 = 6x^2 - 36x \Rightarrow x^2 - 6x - 112 = 0$$.

6. Дискриминант: $$36 + 448 = 484 = 22^2$$. $$x = \frac{6 + 22}{2} = 14$$.

Ответ: $$14$$

1. Пусть первая труба пропускает $$x$$ л/мин, тогда вторая $$(x + 8)$$ л/мин.

2. Время заполнения резервуара первой трубой: $$\frac{180}{x}$$ мин, второй: $$\frac{180}{x + 8}$$ мин.

3. Уравнение: $$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 8} = 8$$.

4. Умножаем на $$x(x + 8)$$: $$180(x + 8) - 180x = 8x(x + 8)$$.

5. $$1440 = 8x^2 + 64x \Rightarrow x^2 + 8x - 180 = 0$$.

6. Дискриминант: $$64 + 720 = 784 = 28^2$$. $$x = \frac{-8 + 28}{2} = 10$$.

Ответ: $$10$$

1. Время на каждом участке: $$\frac{120}{60} = 2$$ ч, $$\frac{200}{100} = 2$$ ч, $$\frac{160}{120} = \frac{4}{3}$$ ч.

2. Общий путь: $$120 + 200 + 160 = 480$$ км.

3. Общее время: $$2 + 2 + \frac{4}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$ ч.

4. Средняя скорость: $$\frac{480}{\frac{16}{3}} = 480 \cdot \frac{3}{16} = 30 \cdot 3 = 90$$ км/ч.

Ответ: $$90$$

1. Время третьего насоса: $$1$$ ч $$24$$ мин = $$84$$ мин.

2. Производительность первого: $$\frac{1}{12}$$, второго: $$\frac{1}{14}$$, третьего: $$\frac{1}{84}$$ бака в минуту.

3. Совместная производительность: $$\frac{1}{12} + \frac{1}{14} + \frac{1}{84}$$.

4. НОК$$(12, 14, 84) = 84$$.

5. $$\frac{7}{84} + \frac{6}{84} + \frac{1}{84} = \frac{14}{84} = \frac{1}{6}$$ бака в минуту.

6. Время наполнения бака: $$6$$ минут.

Ответ: $$6$$

1. Общий путь: $$100 \cdot 1 + 85 \cdot 2 + 60 \cdot 3 = 100 + 170 + 180 = 450$$ км.

2. Общее время: $$1 + 2 + 3 = 6$$ ч.

3. Средняя скорость: $$\frac{450}{6} = 75$$ км/ч.

Ответ: $$75$$