Задание 7185
Задание 7185
Первая труба наполняет резервуар на $$13$$ минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за $$42$$ минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая за $$(x + 13)$$ минут.
2. Производительность второй: $$\frac{1}{x}$$, первой: $$\frac{1}{x + 13}$$.
3. Совместная производительность: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 13} = \frac{1}{42}$$.
4. Умножаем на $$42x(x + 13)$$: $$42(x + 13) + 42x = x(x + 13)$$.
5. $$42x + 546 + 42x = x^2 + 13x \Rightarrow x^2 - 71x - 546 = 0$$.
6. Дискриминант: $$5041 + 2184 = 7225 = 85^2$$. $$x = \frac{71 + 85}{2} = 78$$.
Ответ: $$78$$
Задание 7186
Первая труба наполняет резервуар на $$48$$ минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за $$45$$ минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая за $$(x + 48)$$ минут.
2. Производительность второй: $$\frac{1}{x}$$, первой: $$\frac{1}{x + 48}$$.
3. Совместная производительность: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 48} = \frac{1}{45}$$.
4. Умножаем на $$45x(x + 48)$$: $$45(x + 48) + 45x = x(x + 48)$$.
5. $$45x + 2160 + 45x = x^2 + 48x \Rightarrow x^2 - 42x - 2160 = 0$$.
6. Дискриминант: $$1764 + 8640 = 10404 = 102^2$$. $$x = \frac{42 + 102}{2} = 72$$.
Ответ: $$72$$
Задание 7187
Первая труба наполняет резервуар на $$90$$ минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за $$24$$ минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая за $$(x + 90)$$ минут.
2. Производительность второй: $$\frac{1}{x}$$, первой: $$\frac{1}{x + 90}$$.
3. Совместная производительность: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 90} = \frac{1}{24}$$.
4. Умножаем на $$24x(x + 90)$$: $$24(x + 90) + 24x = x(x + 90)$$.
5. $$24x + 2160 + 24x = x^2 + 90x \Rightarrow x^2 + 42x - 2160 = 0$$.
6. Дискриминант: $$1764 + 8640 = 10404 = 102^2$$. $$x = \frac{-42 + 102}{2} = 30$$.
Ответ: $$30$$
Задание 7188
Первая труба наполняет резервуар на $$42$$ минуты дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за $$20$$ минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая за $$(x + 42)$$ минуты.
2. Производительность второй: $$\frac{1}{x}$$, первой: $$\frac{1}{x + 42}$$.
3. Совместная производительность: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 42} = \frac{1}{20}$$.
4. Умножаем на $$20x(x + 42)$$: $$20(x + 42) + 20x = x(x + 42)$$.
5. $$20x + 840 + 20x = x^2 + 42x \Rightarrow x^2 + 2x - 840 = 0$$.
6. Дискриминант: $$4 + 3360 = 3364 = 58^2$$. $$x = \frac{-2 + 58}{2} = 28$$.
Ответ: $$28$$
Задание 7012
Первая труба наполняет резервуар на $$24$$ минуты дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за $$35$$ минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая за $$(x + 24)$$ минут.
2. Производительность второй: $$\frac{1}{x}$$, первой: $$\frac{1}{x + 24}$$.
3. Совместная производительность: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 24} = \frac{1}{35}$$.
4. Умножаем на $$35x(x + 24)$$: $$35(x + 24) + 35x = x(x + 24)$$.
5. $$35x + 840 + 35x = x^2 + 24x \Rightarrow x^2 - 46x - 840 = 0$$.
6. По теореме Виета: $$x = 60$$ (так как $$60 \cdot (-14) = -840$$ и $$60 + (-14) = 46$$).
Ответ: $$60$$